فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا

يُطلق على الفضاء المتجهي الطوبولوجي ( TVS) اسمتكون المجموعة محدبة محليًا إذا كان لهاأساس جوار(أي أساس محلي) عند نقطة الأصل يتكون منمجموعاتمحدبةمتوازنة. ^{[ 7 ]} المصطلحيُختصر مصطلح الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا أحيانًا إلىالفضاء المحدب محليًا أوLCTVS .

في الواقع، كل نظام TVS محدب محليًا له أساس جوار للأصل يتكون منالمجموعات المحدبة تمامًا (أي الأقراص)، حيث يمكن اختيار أساس الجوار هذا ليتكون بالكامل من مجموعات مفتوحة أو بالكامل من مجموعات مغلقة. ^{[ 8 ]} لكل نظام TVS أساس جوار عند نقطة الأصل يتكون من مجموعات متوازنة، ولكن نظام TVS المحدب محليًا فقط هو الذي يمتلك أساس جوار عند نقطة الأصل يتكون من مجموعات متوازنة ومحدبة في آن واحد.من الممكن أن يحتوي نظام TVS علىبعضجوارات نقطة الأصل المحدبة، ومع ذلك لا يكون محدبًا محليًا لأنه لا يمتلك أساس جوار عند نقطة الأصل يتكون بالكامل من مجموعات محدبة (أي أن كل أساس جوار عند نقطة الأصل يحتوي على بعض المجموعات غير المحدبة)؛ على سبيل المثال، كل نظام TVS غير محدب محليًا${\displaystyle X}$له نفسه (أي،${\displaystyle X}$) كجوار محدب للأصل.

لأن الإزاحة مستمرة (بحسب تعريف الفضاء المتجهي الطوبولوجي )، فإن جميع الإزاحات هي تماثلات ، لذا يمكن ترجمة كل أساس لجوار الأصل إلى أساس لجوار أي متجه معين.

شبه معيار في${\displaystyle X}$هي خريطة${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$بحيث

1. ${\displaystyle p}$غير سالبة أو شبه موجبة:${\displaystyle p(x)\geq 0}$؛
2. ${\displaystyle p}$متجانس موجب أو قابل للتوسع موجب:${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$لكل عدد قياسي${\displaystyle s.}$لذا، على وجه الخصوص،${\displaystyle p(0)=0}$؛
3. ${\displaystyle p}$هي دالة شبه جمعية. وهي تحقق متباينة المثلث:${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

لو${\displaystyle p}$يحقق التحديد الإيجابي، والذي ينص على أنه إذا${\displaystyle p(x)=0}$ثم${\displaystyle x=0,}$ثم${\displaystyle p}$هو معيار . في حين أن المعايير الجزئية لا يجب أن تكون معايير، إلا أن هناك نظيرًا لهذا المعيار لعائلات المعايير الجزئية - الانفصال - المحدد أدناه.

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي و${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي عائلة من أنصاف المعايير على${\displaystyle X}$ثم مجموعة فرعية${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يُطلق عليه اسم قاعدة شبه المعايير لـ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$يوجد${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$وحقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle p\leq rq.}$^{[ 9 ]}

التعريف (النسخة الثانية): يُعرَّف الفضاء المحدب محليًا بأنه فضاء متجهي${\displaystyle X}$إلى جانب عائلة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$من المعايير شبه العادية${\displaystyle X.}$

لنفترض أن${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {K} ,}$أين${\displaystyle \mathbb {K} }$هي إما أعداد حقيقية أو أعداد مركبة. عائلة من أنصاف المعايير${\displaystyle {\mathcal {P}}}$في الفضاء المتجهي${\displaystyle X}$يُنشئ طوبولوجيا فضاء متجهي متعارف عليها على${\displaystyle X}$تُسمى هذه البنية الطوبولوجية الأولية المستحثة بواسطة المعايير شبهية، مما يجعلها فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا (TVS). وبحسب التعريف، فهي أدق بنية طوبولوجية على${\displaystyle X}$والتي تشمل جميع الخرائط في${\displaystyle {\mathcal {P}}}$متصلة.

من الممكن وجود طوبولوجيا محدبة محليًا على فضاء${\displaystyle X}$أن يتم تحفيزها بواسطة مجموعة من المعايير ولكن لـ${\displaystyle X}$أن لا يكون قابلاً للتطبيع (أي أن يتم استنباط بنيته الطوبولوجية بواسطة معيار واحد).

مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$له الشكل${\displaystyle [0,r)}$، أين${\displaystyle r}$هو عدد حقيقي موجب. عائلة الصور العكسية${\displaystyle p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$مثل${\displaystyle p}$يتراوح بين مجموعة من المعايير شبه الطبيعية${\displaystyle {\mathcal {P}}}$و${\displaystyle r}$تُشكّل النطاقات على الأعداد الحقيقية الموجبة أساسًا فرعيًا عند نقطة الأصل للطوبولوجيا المستحثة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هذه المجموعات محدبة، كما يتضح من الخاصيتين 2 و3 لشبه المعايير. وبالتالي، فإن تقاطعات عدد محدود من هذه المجموعات تكون محدبة أيضاً، وبما أن مجموعة جميع هذه التقاطعات المحدودة تشكل أساساً عند نقطة الأصل، فإن الطوبولوجيا تكون محدبة محلياً بالمعنى الوارد في التعريف الأول المذكور أعلاه.

تذكر أن طوبولوجيا TVS ثابتة تحت الإزاحة، مما يعني أنه إذا${\displaystyle S}$هي أي مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$يحتوي على الأصل إذن لأي${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle S}$تكون منطقة مجاورة للأصل إذا وفقط إذا${\displaystyle x+S}$هو حي من${\displaystyle x}$لذا يكفي تعريف الطوبولوجيا عند نقطة الأصل. قاعدة من جوارات${\displaystyle y}$يتم الحصول على هذه الطوبولوجيا بالطريقة التالية: لكل مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle F}$ل${\displaystyle {\mathcal {P}}}$وكل${\displaystyle r>0,}$يترك $${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

لو${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا، وإذا${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي مجموعة من المعايير شبه المستمرة على${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يُطلق عليها اسم قاعدة المعايير شبه المتصلة إذا كانت قاعدة معايير شبه لمجموعة جميع المعايير شبه المتصلة على${\displaystyle X}$[ ^{9 ]} وهذا يعني صراحةً أنه بالنسبة لجميع المعايير شبه ^{المستمرة}${\displaystyle p}$على${\displaystyle X}$يوجد${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$وحقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle p\leq rq.}$^{[ 9 ]} إذا${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي قاعدة من المعايير شبه المستمرة لنظام TVS محدب محليًا${\displaystyle X}$ثم عائلة جميع المجموعات من الشكل${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$مثل${\displaystyle q}$يختلف باختلاف${\displaystyle {\mathcal {P}}}$و${\displaystyle r}$تتفاوت على الأعداد الحقيقية الموجبة، وهي قاعدة جوارات الأصل في${\displaystyle X}$(ليس مجرد أساس فرعي، لذا لا حاجة لأخذ تقاطعات محدودة لمثل هذه المجموعات). ^{[ 9 ] [ البرهان 1 ]}

عائلة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$من أنصاف المعايير على فضاء متجهي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم مشبع إذا كان لأي${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$في${\displaystyle {\mathcal {P}},}$المعيار شبه المحدد بواسطة${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ينتمي إلى${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

لو${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي عائلة مشبعة من المعايير شبه المستمرة التي تحفز الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$ثم مجموعة جميع المجموعات من الشكل${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$مثل${\displaystyle p}$نطاقات${\displaystyle {\mathcal {P}}}$و${\displaystyle r}$تُشكّل هذه المجموعة، التي تمتد على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة، أساسًا مجاورًا عند نقطة الأصل يتألف من مجموعات مفتوحة محدبة؛ ^{[ 9 ]} وهذا يُشكّل أساسًا عند نقطة الأصل وليس مجرد أساس فرعي، وبالتالي، على وجه الخصوص، لا حاجة لأخذ تقاطعات منتهية لهذه المجموعات. ^{[ 9 ]}

تُشير النظرية التالية إلى أنه إذا${\displaystyle X}$إذا كانت فضاءً محدبًا محليًا، فإن طوبولوجيا${\displaystyle X}$يمكن تعريفها بواسطة مجموعة من المعايير المستمرة على${\displaystyle X}$( المعيار هو شبه معيار)${\displaystyle s}$أين${\displaystyle s(x)=0}$يشير إلى${\displaystyle x=0}$) إذا وفقط إذا كان هناك معيار متصل واحد على الأقل على${\displaystyle X}$[ ^{10 ]} وذلك لأن مجموع المعيار وشبه المعيار هو معيار، لذا إذا تم تعريف فضاء محدب محليًا بواسطة عائلة ^معينة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$من أنصاف المعايير (كل منها متصل بالضرورة) ثم العائلة${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$من المعايير (المستمرة أيضًا) التي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة معيار مستمر معين${\displaystyle n}$لكل عنصر، ستكون بالضرورة عائلة من المعايير التي تحدد نفس الطوبولوجيا المحدبة محليًا. إذا وُجد معيار متصل على فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle X}$من الضروري أن تكون هاوسدورف ولكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام (ولا حتى بالنسبة للفضاءات المحدبة محليًا أو فضاءات فريشيه ).

لنفترض أن طوبولوجيا فضاء محدب محليًا${\displaystyle X}$يتم تحفيزه بواسطة عائلة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$من المعايير شبه المستمرة على${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle x\in X}$وإذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$هي شبكة في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا للجميع${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}-x\right)\right)_{i\in I}\to 0.}$^{[ 12 ]} علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle x_{\bullet }}$هل كوشي في${\displaystyle X}$إذن كذلك${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$لكل${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$^{[ 12 ]}

على الرغم من أن التعريف باستخدام قاعدة الجوار يُعطي صورة هندسية أفضل، إلا أن التعريف باستخدام أنصاف المعايير أسهل في التطبيق العملي. وتنتج تكافؤ التعريفين من بناء يُعرف بدالة مينكوفسكي أو مقياس مينكوفسكي. وتتمثل السمة الرئيسية لأنصاف المعايير في ضمان تحدبها.${\displaystyle \varepsilon }$- الكرات هي متباينة المثلث .

للحصول على مجموعة جذابة${\displaystyle C}$بحيث إذا${\displaystyle x\in C,}$ثم${\displaystyle tx\in C}$حينما${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$عرّف دالة مينكوفسكي لـ${\displaystyle C}$يكون $${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

ويترتب على هذا التعريف أن${\displaystyle \mu _{C}}$يُعتبر شبه معيار إذا${\displaystyle C}$متوازن ومحدب (وهو أيضًا ماصٌّ بافتراض ذلك). وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلى عائلة من المعايير شبهية، فإن المجموعات $${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$ تشكل قاعدة من مجموعات متوازنة محدبة ماصة.

مثال: المساحات المعيارية المساعدة

لو${\displaystyle W}$محدب وممتص في​​${\displaystyle X}$ثم المجموعة المتناظرة${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$سيكون محدبًا ومتوازنًا (يُعرف أيضًا باسم مجموعة محدبة تمامًا أو قرص ) بالإضافة إلى كونه ماصًا في${\displaystyle X.}$ وهذا يضمن أن يكون مينكوفسكي وظيفيًا${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ل${\displaystyle D}$سيكون ذلك شبه طبيعي في${\displaystyle X,}$وبذلك يجعل${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$إلى فضاء شبه معياري يحمل طوبولوجيته شبه القياسية القابلة للقياس . مجموعة المضاعفات العددية${\displaystyle rD}$مثل${\displaystyle r}$نطاقات${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$(أو على أي مجموعة أخرى من القيم العددية غير الصفرية التي لها${\displaystyle 0}$تشكل نقطة النهاية أساسًا مجاورًا للأقراص الماصة عند نقطة الأصل لهذه الطوبولوجيا المحدبة محليًا. إذا${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي وإذا كانت هذه المجموعة الفرعية المحدبة الماصة${\displaystyle W}$وهي أيضًا مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X,}$ثم القرص الممتص${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$وستكون محدودة أيضًا، وفي هذه الحالة${\displaystyle p_{D}}$سيصبح هذا هو الوضع الطبيعي و${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$سيشكل ما يُعرف بالفضاء المعياري المساعد . إذا كان هذا الفضاء المعياري فضاء باناخ، فإن${\displaystyle D}$يُطلق عليه اسم قرص باناش .

يترك${\displaystyle X}$لنفترض أن لدينا فضاءً متجهيًا.${\displaystyle M}$ل${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية التمديد إذا كانت أي دالة خطية متصلة على${\displaystyle M}$يمكن توسيعها لتصبح دالة خطية متصلة على${\displaystyle X}$[ ^{13 ] قل} ذلك${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية امتداد هان-باناخ ( HBEP ) إذا كان كل فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$يمتلك خاصية الامتداد. ^{[ 13 ]}

تضمن نظرية هان -باناخ أن كل فضاء هاوسدورف محدب محليًا يمتلك نقطة تفوق هان-باناخ. أما بالنسبة للفضاءات المترية الكاملة القابلة للقياس، فهناك عكس ذلك.

إذا كان فضاء متجهي${\displaystyle X}$له أبعاد لا تُحصى، وإذا زودناه بأفضل طوبولوجيا متجهة، فإنه يصبح فضاءً متجهيًا ذا طوبولوجيا متجهة مع مسألة طوبولوجيا متجهة موجبة، وهو ليس محدبًا محليًا ولا قابلًا للقياس. ^{[ 13 ]}

الخصائص الجبرية للمجموعات الجزئية المحدبة

مجموعة فرعية${\displaystyle C}$تكون محدبة إذا وفقط إذا${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$للجميع${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$^{[ 18 ]} أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$لكل شيء إيجابي حقيقي${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$^{[ 19 ]} حيث لأن${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$علامة المساواة تبقى ثابتة دائمًا${\displaystyle \,=\,}$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$لو${\displaystyle C}$إذا كانت مجموعة محدبة تحتوي على نقطة الأصل،${\displaystyle C}$يكون شكله نجميًا عند نقطة الأصل ولجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

مجموع مينكوفسكي لمجموعتين محدبتين هو مجموعة محدبة؛ علاوة على ذلك، فإن المضاعف القياسي لمجموعة محدبة هو أيضاً مجموعة محدبة. ^{[ 20 ]}

الخصائص الطوبولوجية للمجموعات الجزئية المحدبة

• لنفترض أن${\displaystyle Y}$هي مجموعة متغيرة (ليست بالضرورة محدبة محليًا أو هاوسدورف) على الأعداد الحقيقية أو المركبة. عندئذٍ تكون المجموعات الفرعية المحدبة المفتوحة من${\displaystyle Y}$وهي تحديداً تلك التي تأتي على شكل${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle z\in Y}$وبعض الدوال الخطية الفرعية المستمرة الموجبة${\displaystyle p}$على${\displaystyle Y.}$^{[ 21 ]}
• الجزء الداخلي والإغلاق لمجموعة فرعية محدبة من TVS يكون محدبًا أيضًا. ^{[ 20 ]}
• لو${\displaystyle C}$إذا كانت مجموعة محدبة ذات باطن غير فارغ، فإن إغلاقها${\displaystyle C}$يساوي إغلاق الجزء الداخلي من${\displaystyle C}$علاوة على ذلك، فإن الجزء الداخلي من${\displaystyle C}$يساوي الجزء الداخلي من إغلاق${\displaystyle C.}$^{[ 20 ] [ 22 ]}
  • إذا كان الجزء الداخلي لمجموعة محدبة${\displaystyle C}$إذا لم تكن فارغة${\displaystyle C}$تكون المجموعة مغلقة (على التوالي، مفتوحة) إذا وفقط إذا كانت مجموعة مغلقة منتظمة (على التوالي، مجموعة مفتوحة منتظمة).
• لو${\displaystyle C}$محدب و${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ثم ^{[ 23 ]}${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$وهذا يعني صراحةً أنه إذا${\displaystyle C}$هي مجموعة فرعية محدبة من TVS${\displaystyle X}$(ليس بالضرورة هاوسدورف أو محدب محليًا)،${\displaystyle y}$ينتمي إلى إغلاق${\displaystyle C,}$و${\displaystyle x}$ينتمي إلى الجزء الداخلي من${\displaystyle C,}$ثم قطعة الخط المفتوحة التي تربط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ينتمي إلى الجزء الداخلي من${\displaystyle C;}$إنه،${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$^{[ 22 ] [ 24 ] [ الإثبات 2 ]}
• لو${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي مغلق جزئي من فضاء محدب محليًا (ليس بالضرورة هاوسدورف)${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$هي جوار محدب للأصل في${\displaystyle M,}$وإذا${\displaystyle z\in X}$هو متجه ليس في${\displaystyle V,}$ثم توجد جوار محدب${\displaystyle U}$من أصل في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle V=U\cap M}$و${\displaystyle z\not \in U.}$^{[ 20 ]}
• إغلاق مجموعة فرعية محدبة من فضاء هاوسدورف محدب محليًا${\displaystyle X}$وينطبق الأمر نفسه على جميع طوبولوجيات هاوسدورف TVS المحدبة محليًا على${\displaystyle X}$التي تتوافق مع الازدواجية بين${\displaystyle X}$وفضائها الثنائي المتصل. ^{[ 25 ]}
• في الفضاء المحدب محلياً، يكون الغلاف المحدب والغلاف القرصي لمجموعة محدودة كلياً محدودين كلياً. ^{[ 7 ]}
• في فضاء محدب محليًا كامل ، يكون كل من الغلاف المحدب والغلاف القرصي لمجموعة مضغوطة مضغوطين. ^{[ 7 ]}
  • وبشكل أعم، إذا${\displaystyle K}$إذا كانت مجموعة جزئية مضغوطة من فضاء محدب محليًا، فإن الغلاف المحدب${\displaystyle \operatorname {co} K}$(على التوالي، الهيكل القرصي)${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$تكون المجموعة مضغوطة إذا وفقط إذا كانت كاملة. ^{[ 7 ]}
• في الفضاء المحدب محلياً، تكون الأغلفة المحدبة للمجموعات المحدودة محدودة. وهذا لا ينطبق على فضاءات التباين المكاني بشكل عام. ^{[ 26 ]}
• في فضاء فريشيه ، يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة مضغوطة مضغوطًا. ^{[ 27 ]}
• في الفضاء المحدب محلياً، يكون أي تركيب خطي من المجموعات المحدودة كلياً محدوداً كلياً. ^{[ 26 ]}

لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$من تلفزيون${\displaystyle X,}$الغلاف المحدب (على التوالي، الغلاف المحدب المغلق ، الغلاف المتوازن ، الغلاف المحدب المتوازن ) لـ${\displaystyle S,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {co} S}$(على التوالى،${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$), هي أصغر مجموعة فرعية محدبة (على التوالي، محدبة مغلقة، متوازنة، محدبة متوازنة) من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle S.}$

• الغلاف المحدب لمجموعة جزئية مضغوطة من فضاء هيلبرت ليس بالضرورة مغلقًا ، وبالتالي ليس بالضرورة مضغوطًا أيضًا. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle H}$كن فضاء هيلبرت القابل للفصل${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$من المتتابعات القابلة للجمع التربيعي ذات المعيار المعتاد${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ودع${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ليكن الأساس المتعامد القياسي (أي${\displaystyle 1}$في${\displaystyle n^{\text{th}}}$(الإحداثي). المجموعة المغلقة${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{1},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$إنها صغيرة الحجم ولكن هيكلها محدب${\displaystyle \operatorname {co} S}$ليست مجموعة مغلقة لأن${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ينتمي إلى إغلاق${\displaystyle \operatorname {co} S}$في${\displaystyle H}$لكن${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$(بما أن كل تسلسل${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$هي مجموعة محدبة محدودة من عناصر${\displaystyle S}$وبالتالي فمن الضروري${\displaystyle 0}$في جميع الإحداثيات باستثناء عدد محدود منها، وهو ما لا ينطبق على${\displaystyle h}$^{[ 28 ]} ومع ذلك ، كما هو الحال في جميع فضاءات هاوسدورف المحدبة محليًا الكاملة ، فإن الغلاف المحدب المغلق${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$هذه المجموعة الجزئية المدمجة مدمجة. الفضاء المتجهي${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$يُعتبر فضاءً ما قبل هيلبرت عند تزويده بالبنية الفرعية التي يكون عليها فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$يحفز عليه ولكن${\displaystyle X}$غير مكتملة و${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$(منذ${\displaystyle h\not \in X}$). الغلاف المحدب المغلق لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle X}$(هنا، تعني كلمة "مغلق" فيما يتعلق بـ${\displaystyle X,}$وليس لـ${\displaystyle H}$كما في السابق) يساوي${\displaystyle K\cap X,}$وهي ليست مجموعة مضغوطة (لأنها ليست مجموعة جزئية كاملة). وهذا يدل على أنه في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا وغير الكامل، قد لا يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة جزئية مضغوطة مضغوطًا (على الرغم من أنه سيكون شبه مضغوط/محدودًا كليًا ).
• في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا${\displaystyle X,}$الهيكل المحدب المغلق${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$مجموعة جزئية مضغوطة${\displaystyle S}$ليست بالضرورة مضغوطة على الرغم من أنها مجموعة جزئية شبه مضغوطة (تسمى أيضًا "محدودة تمامًا")، مما يعني أن إغلاقها، عند أخذه في إكمال${\displaystyle {\widehat {X}}}$ل${\displaystyle X,}$سيكون مضغوطًا (هنا)${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$لهذا السبب.${\displaystyle X={\widehat {X}}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$مكتملة)؛ أي،${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$سيكون مضغوطًا. على سبيل المثال، الغلاف المحدب المغلق${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$من مجموعة فرعية مضغوطة من${\displaystyle S}$مساحة ما قبل هيلبرت${\displaystyle X}$هي دائمًا مجموعة فرعية مضغوطة مسبقًا من${\displaystyle X,}$وبالتالي إغلاق${\displaystyle C}$في أي فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$يحتوي على${\displaystyle X}$(مثل إتمام هاوسدورف لـ${\displaystyle X}$على سبيل المثال) ستكون مضغوطة (وهذا هو الحال في المثال السابق أعلاه).
• في نظام TVS شبه الكامل المحدب محليًا، يكون إغلاق الغلاف المحدب لمجموعة فرعية مضغوطة مضغوطًا مرة أخرى.
• في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا، يكون الغلاف المحدب لمجموعة شبه مضغوطة شبه مضغوطة أيضًا. ^{[ 29 ]} وبالتالي، في فضاء هاوسدورف المحدب محليًا الكامل ، يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة جزئية مضغوطة مضغوطة أيضًا. ^{[ 30 ]}
• في أي نظام TVS، يكون الغلاف المحدب لاتحاد محدود من المجموعات المحدبة المدمجة مدمجًا (ومحدبًا). ^{[ 7 ]}
  • وهذا يعني أنه في أي نظام Hausdorff TVS، يكون الغلاف المحدب لاتحاد محدود من المجموعات المحدبة المدمجة مغلقًا (بالإضافة إلى كونه مدمجًا ^{[ 31 ]} ومحدبًا)؛ على وجه الخصوص، يكون الغلاف المحدب لمثل هذا الاتحاد مساويًا للغلاف المحدب المغلق لهذا الاتحاد.
  • بشكل عام، ليس بالضرورة أن يكون الغلاف المحدب المغلق لمجموعة مضغوطة مضغوطًا. ومع ذلك، فإن كل مجموعة جزئية مضغوطة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أين${\displaystyle n<\infty }$() له هيكل محدب مضغوط. ^{[ 31 ]}
  • في أي نظام TVS غير هاوسدورف، توجد مجموعات فرعية مضغوطة (وبالتالي كاملة) ولكنها ليست مغلقة.
• تنص نظرية ثنائية القطب على أن ثنائية القطب (أي قطب القطب ) لمجموعة جزئية من فضاء هاوسدورف الموضعي المحدب يساوي الغلاف المحدب المغلق المتوازن لتلك المجموعة. ^{[ 32 ]}
• إن الهيكل المتوازن لمجموعة محدبة ليس بالضرورة محدبًا.
• لو${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$هي مجموعات فرعية محدبة من فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ثم يوجد${\displaystyle c\in C,}$${\displaystyle d\in D,}$وعدد حقيقي${\displaystyle r}$مُرضٍ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$بحيث${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$^{[ 20 ]}
• لو${\displaystyle M}$هو فضاء متجهي فرعي من فضاء متجهي${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$مجموعة فرعية محدبة من${\displaystyle M,}$و${\displaystyle D}$مجموعة فرعية محدبة من${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ثم${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$^{[ 20 ]}
• تذكر أن أصغر مجموعة جزئية متوازنة من${\displaystyle X}$تحتوي على مجموعة${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسم الهيكل المتوازن لـ${\displaystyle S}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$لأي مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X,}$الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle S,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$هي أصغر مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle S}$أي أنه محدب ومتوازن. ^{[ 33 ]} الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle S}$يساوي الغلاف المحدب للغلاف المتوازن لـ${\displaystyle S}$(أي${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$)، لكن الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle S}$لا يساوي بالضرورة الغلاف المتوازن للغلاف المحدب لـ${\displaystyle S}$(إنه،${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$لا يساوي بالضرورة${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$). ^{[ 33 ]}
• لو${\displaystyle A,B\subseteq X}$هي مجموعات فرعية من TVS${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle s}$إذا كان كمية قياسية${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$^{[ 34 ]}${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$و${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$مضغوطة إذن${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$^{[ 35 ]} ومع ذلك، فإن الغلاف المحدب لمجموعة مغلقة ليس بالضرورة أن يكون مغلقًا؛ ^{[ 34 ]} على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$مغلق في${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$لكن هيكلها المحدب هو المجموعة المفتوحة${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• لو${\displaystyle A,B\subseteq X}$هي مجموعات فرعية من TVS${\displaystyle X}$والتي تكون أغلفةها المحدبة المغلقة مضغوطة، إذن${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$^{[ 35 ]}
• لو${\displaystyle S}$هي مجموعة محدبة في فضاء متجهي معقد${\displaystyle X}$ويوجد بعض${\displaystyle z\in X}$بحيث${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ثم${\displaystyle rz+siz\in S}$لكل حقيقي${\displaystyle r,s}$بحيث${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$بخاصة،${\displaystyle az\in S}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle a}$بحيث${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• نظرية كاراثيودوري : إذا${\displaystyle S}$هي أي مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أين${\displaystyle n<\infty }$ثم لكل${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$توجد مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle F\subseteq S}$يحتوي على الأكثر${\displaystyle n+1}$النقاط التي يحتوي غلافها المحدب${\displaystyle x}$(إنه،${\displaystyle |F|\leq n+1}$و${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$). ^{[ 36 ]}

كل فضاء معياري هو فضاء هاوسدورف محدب محليًا، وجزء كبير من نظرية الفضاءات المحدبة محليًا يعمم أجزاءً من نظرية الفضاءات المعيارية. يمكن اعتبار عائلة أنصاف المعايير هي المعيار الوحيد. كل فضاء باناخ هو فضاء هاوسدورف محدب محليًا كامل، وعلى وجه الخصوص،${\displaystyle L^{p}}$مساحات مع${\displaystyle p\geq 1}$محدبة محلياً.

بشكل عام، كل فضاء فريشيه هو فضاء محدب محلياً. ويمكن تعريف فضاء فريشيه بأنه فضاء محدب محلياً كامل ذو عائلة قابلة للعد منفصلة من أنصاف المعايير.

المساحة${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$من المتتابعات ذات القيم الحقيقية مع عائلة المعايير شبهية المعطاة بواسطة $${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$ محدبة محليًا. عائلة المعايير الجزئية القابلة للعد كاملة وقابلة للفصل، لذا فهي فضاء فريشيه، وهو غير معياري. هذه أيضًا هي طوبولوجيا النهاية للفضاءات${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$مضمنة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$بالطريقة الطبيعية، من خلال إكمال المتتاليات المنتهية بعدد لا نهائي من${\displaystyle 0.}$

بالنظر إلى أي فضاء متجهي${\displaystyle X}$ومجموعة${\displaystyle F}$من الدوال الخطية عليها،${\displaystyle X}$يمكن تحويلها إلى فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا عن طريق إعطائها أضعف طوبولوجيا مما يجعل جميع الدوال الخطية في${\displaystyle F}$متصلة. يُعرف هذا باسم الطوبولوجيا الضعيفة أو الطوبولوجيا الأولية المحددة بواسطة${\displaystyle F.}$ المجموعة${\displaystyle F}$قد يكون النظير الجبري لـ${\displaystyle X}$أو أي مجموعة أخرى. تُعطى عائلة أنصاف المعايير في هذه الحالة بواسطة${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$للجميع${\displaystyle f}$في${\displaystyle F.}$

تُقدّم فضاءات الدوال القابلة للتفاضل أمثلة أخرى غير قابلة للقياس المعياري. لننظر إلى فضاء الدوال الملساء.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$بحيث${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle B}$هي مؤشرات متعددة . عائلة المعايير شبه المحددة بواسطة${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$هو فضاء منفصل وقابل للعد، والفضاء كامل، لذا فإن هذا الفضاء القابل للقياس هو فضاء فريشيه. يُعرف باسم فضاء شوارتز ، أو فضاء الدوال ذات التناقص السريع، وفضاؤه الثنائي هو فضاء التوزيعات المعتدلة .

يُعد الفضاء أحد أهم فضاءات الدوال في التحليل الوظيفي${\displaystyle D(U)}$وظائف سلسة مع دعم مدمج في${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ يلزم تصميم أكثر تفصيلاً لبنية هذا الفضاء لأن الفضاء${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$لا تكتمل في المعيار الموحد. الطوبولوجيا على${\displaystyle D(U)}$يُعرَّف على النحو التالي: لأي مجموعة مضغوطة ثابتة${\displaystyle K\subseteq U,}$المساحة${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$من الوظائف${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$مع${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$هو فضاء فريشيه ذو عائلة قابلة للعد من أنصاف المعايير${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$(هذه في الواقع معايير، واستكمال المساحة${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$مع${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$المعيار هو فضاء باناش${\displaystyle D^{m}(K)}$). بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$من المجموعات المتراصة، الموجهة بالاحتواء والتي يكون اتحادها متساوياً${\displaystyle U,}$ال${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$يشكل نظامًا مباشرًا ، و${\displaystyle D(U)}$يُعرَّف بأنه نهاية هذا النظام. تُعرف هذه النهاية لفضاءات فريشيه باسم فضاء LF . وبشكل أكثر تحديدًا،${\displaystyle D(U)}$هو اتحاد كل${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$مع أقوى طوبولوجيا محدبة محليًا مما يجعل كل خريطة تضمين${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$متصلة. هذا الفضاء محدب محليًا وكامل. ومع ذلك، فهو غير قابل للقياس، وبالتالي فهو ليس فضاء فريشيه. الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$هو فضاء التوزيعات على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

بصورة أكثر تجريدًا، بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X,}$المساحة${\displaystyle C(X)}$الدوال المتصلة (غير المحدودة بالضرورة) على${\displaystyle X}$يمكن إعطاؤها طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المدمجة. تُعرَّف هذه الطوبولوجيا بواسطة أنصاف المعايير.${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$(مثل${\displaystyle K}$يختلف على المجموعة الموجهة لجميع المجموعات الفرعية المدمجة من${\displaystyle X}$). متى${\displaystyle X}$هي مجموعة متراصة محليًا (على سبيل المثال، مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ينطبق مبدأ ستون -ويرستراس - في حالة الدوال ذات القيم الحقيقية، أي جبر فرعي من${\displaystyle C(X)}$الذي يفصل النقاط ويحتوي على الدوال الثابتة (على سبيل المثال، الجبر الفرعي لكثيرات الحدود) كثيف .

تتميز العديد من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية بخاصية التحدب الموضعي. ومن أمثلة الفضاءات التي تفتقر إلى هذه الخاصية ما يلي:

• المساحات​${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ل${\displaystyle 0<p<1}$مجهزة بمعيار F$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$إنها ليست محدبة محليًا، لأن الجوار المحدب الوحيد للصفر هو الفضاء بأكمله. وبشكل أعم، فإن الفضاءات${\displaystyle L^{p}(\mu )}$بمقياس محدود عديم الذرات${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle 0<p<1}$ليست محدبة محلياً.
• فضاء الدوال القابلة للقياس على الفترة [0, 1].${\displaystyle [0,1]}$(حيث نحدد دالتين متساويتين تقريبًا في كل مكان ) له طوبولوجيا فضاء متجهي معرفة بواسطة المقياس الثابت تحت الإزاحة (والذي يؤدي إلى تقارب في قياس الدوال القابلة للقياس؛ بالنسبة للمتغيرات العشوائية ، فإن التقارب في القياس هو التقارب في الاحتمال ):$${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$يُشار إلى هذه المساحة غالبًا بـ${\displaystyle L_{0}.}$

يتميز كلا المثالين بخاصية أن أي دالة خطية متصلة إلى الأعداد الحقيقية هي${\displaystyle 0.}$وعلى وجه الخصوص، فإن فضاءهم الثنائي تافه، أي أنه لا يحتوي إلا على الدالة الصفرية.

• فضاء التسلسل${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$${\displaystyle 0<p<1,}$ليست محدبة محلياً.

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي حقيقي أو مركب،${\displaystyle f}$دالة خطية على${\displaystyle X}$، و${\displaystyle p}$هو شبه معيار في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle |f|\leq p}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f\leq p.}$^{[ 41 ]} إذا${\displaystyle f}$دالة خطية غير صفرية على فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle p}$هو شبه معيار في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle f\leq p}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$^{[ 15 ]}