حاجز محتمل مستطيل الشكل

في ميكانيكا الكم ، الحاجز المحتمل المستطيل (أو المربع أحيانًا ) هو مشكلة أحادية البعد قياسية توضح ظاهرتي النفق الميكانيكي الموجي (يُطلق عليه أيضًا "النفق الكمومي") والانعكاس الميكانيكي الموجي. تتكون المشكلة من حل معادلة شرودنجر أحادية البعد المستقلة عن الزمن لجسيم يواجه حاجز طاقة محتملة مستطيل الشكل . يُفترض عادةً، كما هو الحال هنا، أن جسيمًا حرًا يصطدم بالحاجز من اليسار.

على الرغم من أن الجسيم الذي يتصرف كلاسيكيًا ككتلة نقطية سينعكس إذا كانت طاقته أقل من ، فإن الجسيم الذي يتصرف فعليًا كموجة مادية لديه احتمال غير صفري لاختراق الحاجز ومواصلة رحلته كموجة على الجانب الآخر. في فيزياء الموجة الكلاسيكية، يُعرف هذا التأثير باسم اقتران الموجة المتلاشية . يتم تحديد احتمالية مرور الجسيم عبر الحاجز بواسطة معامل النقل ، بينما يتم تحديد احتمالية انعكاسه بواسطة معامل الانعكاس . تسمح معادلة موجة شرودنجر بحساب هذه المعاملات. ${\displaystyle V_{0}}$

معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن لدالة الموجة تقرأ حيث هو هاملتوني ، هو ثابت بلانك (المخفض) ، هو الكتلة ، طاقة الجسيم و هو جهد الحاجز مع الارتفاع والعرض . هي دالة خطوة هيفيسايد ، أي، ${\displaystyle \psi(x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle م}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle V(x)=V_{0}[\ثيتا (x)-\ثيتا (xa)]}$$${\displaystyle V_{0}>0}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

يقع الحاجز بين و . ويمكن تحريك الحاجز إلى أي موضع دون تغيير النتائج. المصطلح الأول في الهاميلتوني هو الطاقة الحركية. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x}$${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

يقسم الحاجز الفضاء إلى ثلاثة أجزاء ( ). في أي من هذه الأجزاء، يكون الجهد ثابتًا، مما يعني أن الجسيم حر تقريبًا، ويمكن كتابة حل معادلة شرودنجر على هيئة تراكب للموجات المتحركة اليسرى واليمنى (انظر الجسيم الحر ). إذا كانت أرقام الموجة مرتبطة بالطاقة عبر ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

يشير المؤشر الموجود على المعاملات و إلى اتجاه متجه السرعة. لاحظ أنه إذا كانت طاقة الجسيم أقل من ارتفاع الحاجز، تصبح وهمية وتتلاشى دالة الموجة بشكل أسي داخل الحاجز. ومع ذلك، فإننا نحتفظ بالترميز حتى لو لم تعد الموجات تنتشر في هذه الحالة. هنا افترضنا . سيتم التعامل مع الحالة أدناه.${\displaystyle r/l}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle r/l}$${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$

يجب إيجاد المعاملات من الشروط الحدودية للدالة الموجية عند و . يجب أن تكون الدالة الموجية ومشتقتها متصلتين في كل مكان، لذا ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

عند إدخال الدوال الموجية، فإن الشروط الحدودية تعطي القيود التالية على المعاملات

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$ $${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$ $${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$ $${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

في هذه المرحلة، من المفيد مقارنة الموقف بالحالة الكلاسيكية. في كلتا الحالتين، يتصرف الجسيم كجسيم حر خارج منطقة الحاجز. الجسيم الكلاسيكي الذي تبلغ طاقته أكبر من ارتفاع الحاجز سوف يمر عبر الحاجز دائمًا ، والجسيم الكلاسيكي الذي يسقط على الحاجز سوف ينعكس دائمًا .${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E<V_{0}}$

لدراسة الحالة الكمومية، ضع في اعتبارك الموقف التالي: جسيم يسقط على الحاجز من الجانب الأيسر ( ).${\displaystyle A_{r}}$ قد ينعكس ( )${\displaystyle A_{l}}$ أو ينتقل ( ).${\displaystyle C_{r}}$

لإيجاد سعة الانعكاس والانتقال للسقوط من اليسار، نضع المعادلات أعلاه (جسيم وارد)، (انعكاس)، (لا يوجد جسيم وارد من اليمين)، و (انتقال). ثم نستبعد المعاملات من المعادلة ونحلها لـ و .${\displaystyle A_{r}=1}$${\displaystyle A_{l}=r}$${\displaystyle C_{l}=0}$${\displaystyle C_{r}=t}$${\displaystyle B_{l},B_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$

النتيجة هي:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$ $${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

بسبب تماثل المرآة في النموذج، فإن سعات السقوط من اليمين هي نفسها سعات السقوط من اليسار. لاحظ أن هذه التعبيرات صحيحة لأي طاقة ، . إذا ، إذن ، فهناك تفرد في كلا التعبيرين. ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$${\displaystyle k_{1}=0}$

النتيجة المدهشة هي أنه بالنسبة للطاقات الأقل من ارتفاع الحاجز، هناك احتمال غير صفري ${\displaystyle E<V_{0}}$$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

لكي ينتقل الجسيم عبر الحاجز، مع . هذا التأثير، الذي يختلف عن الحالة الكلاسيكية، يسمى النفق الكمومي . يتم قمع النقل بشكل كبير مع عرض الحاجز، والذي يمكن فهمه من الشكل الوظيفي لدالة الموجة: خارج الحاجز يتذبذب مع متجه الموجة ، بينما داخل الحاجز يتم تخميده بشكل كبير على مسافة . إذا كان الحاجز أوسع بكثير من طول الاضمحلال هذا، فإن الجزء الأيسر والأيمن يكونان مستقلين تقريبًا ويتم قمع النفق نتيجة لذلك. ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle 1/k_{1}}$

في هذه الحالة حيث .$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

ومن المدهش بنفس القدر أنه بالنسبة للطاقات الأكبر من ارتفاع الحاجز، ، قد ينعكس الجسيم من الحاجز باحتمالية غير صفرية ${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

في الواقع، تتذبذب احتمالات النقل والانعكاس مع . النتيجة الكلاسيكية للنقل المثالي بدون أي انعكاس ( ، ) ​​لا تتكرر فقط في حدود الطاقة العالية ولكن أيضًا عندما تلبي الطاقة وعرض الحاجز ، حيث (انظر القمم القريبة و 1.8 في الشكل أعلاه). لاحظ أن الاحتمالات والسعات كما هو مكتوب هي لأي طاقة (أعلى/أسفل) من ارتفاع الحاجز. ${\displaystyle k_{1}a}$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle E\gg V_{0}}$${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$${\displaystyle n=1,2,\dots }$${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

احتمالية النقل عند [ ^1]${\displaystyle E=V_{0}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

يمكن الحصول على هذا التعبير عن طريق حساب معامل النقل من الثوابت المذكورة أعلاه كما هو الحال بالنسبة للحالات الأخرى أو عن طريق أخذ حد كما يقترب من . لهذا الغرض النسبة ${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

يتم تعريف ما يتم استخدامه في الدالة : ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

وفي المعادلة الأخيرة يتم تعريفها على النحو التالي: ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

يمكن إدراج هذه التعريفات في التعبير الذي تم الحصول عليه للحالة . ${\displaystyle T}$${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

الآن، عند حساب حد عندما يقترب x من 1 (باستخدام قاعدة لوبيتال )، ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

يمكن أيضًا الحصول على حد عندما يقترب من 1:${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

من خلال إدخال التعبير أعلاه في القيمة المقيمة للحد، يتم إعادة إنتاج التعبير أعلاه لـ T بنجاح. ${\displaystyle v_{0}}$

قد يبدو الحساب المقدم أعلاه غير واقعي وغير مفيد للوهلة الأولى. ومع ذلك فقد ثبت أنه نموذج مناسب لمجموعة متنوعة من الأنظمة في الحياة الواقعية. أحد الأمثلة على ذلك هي الواجهات بين مادتين موصلتين . في الجزء الأكبر من المواد، تكون حركة الإلكترونات حرة تقريبًا ويمكن وصفها بالمصطلح الحركي في هاملتونيان أعلاه بكتلة فعالة . غالبًا ما تكون أسطح هذه المواد مغطاة بطبقات أكسيد أو ليست مثالية لأسباب أخرى. يمكن بعد ذلك نمذجة هذه الطبقة الرقيقة غير الموصلة بواسطة جهد حاجز كما هو مذكور أعلاه. قد تنتقل الإلكترونات بعد ذلك من مادة إلى أخرى مما يؤدي إلى ظهور تيار. ${\displaystyle m}$

يعتمد تشغيل المجهر النفقي الماسح (STM) على تأثير النفق هذا. في هذه الحالة، يكون الحاجز ناتجًا عن الفجوة بين طرف المجهر النفقي الماسح والجسم الأساسي. نظرًا لأن تيار النفق يعتمد بشكل كبير على عرض الحاجز، فإن هذا الجهاز حساس للغاية لاختلافات الارتفاع في العينة المفحوصة.

النموذج أعلاه أحادي البعد، في حين أن الفضاء ثلاثي الأبعاد. ينبغي حل معادلة شرودنجر في ثلاثة أبعاد. من ناحية أخرى، تتغير العديد من الأنظمة فقط على طول اتجاه إحداثي واحد وتكون ثابتة انتقاليًا على طول الاتجاهات الأخرى؛ فهي قابلة للفصل . يمكن بعد ذلك اختزال معادلة شرودنجر إلى الحالة التي تم النظر فيها هنا بواسطة ansatz لدالة الموجة من النوع: . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

بالنسبة لنموذج آخر ذي صلة للحاجز، انظر حاجز دلتا المحتمل (QM) ، والذي يمكن اعتباره حالة خاصة لحاجز الإمكانات المحدودة. تنطبق جميع النتائج من هذه المقالة على الفور على حاجز دلتا المحتمل من خلال أخذ الحدود مع الحفاظ على الثبات. ${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

• مورس/إمكانات بعيدة المدى
• خطوة محتملة
• بئر ذو إمكانات محدودة

• جريفثس، ديفيد ج. (2004). مقدمة في ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية) . برنتيس هول. رقم ISBN 0-13-111892-7.
• كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي، فرانك؛ وآخرون. (1996). ميكانيكا الكم . ترجمة. من الفرنسيين لسوزان ريد هيملي. وايلي-Interscience: وايلي. ص 231-233. رقم ISBN 978-0-471-56952-7.