العدد العملي

في نظرية الأعداد ، يُعرف العدد العملي أو العدد الشامل ^{[ 1 ]} بأنه عدد صحيح موجب${\displaystyle n}$بحيث يمكن تمثيل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر كمجموع قواسم مختلفة لـ${\displaystyle n}$على سبيل المثال، يعتبر العدد 12 عددًا عمليًا لأن جميع الأعداد من 1 إلى 11 يمكن التعبير عنها كمجموع قواسمها 1 و2 و3 و4 و6: بالإضافة إلى هذه القواسم نفسها، لدينا 5 = 3 + 2، و7 = 6 + 1، و8 = 6 + 2، و9 = 6 + 3، و10 = 6 + 3 + 1، و11 = 6 + 3 + 2.

يبدأ تسلسل الأرقام العملية (التسلسل A005153 في OEIS )

استخدم فيبوناتشي الأعداد العملية في كتابه "ليبر أباتشي " (1202) لمعالجة مسألة تمثيل الأعداد النسبية بالكسور المصرية . لم يُعرّف فيبوناتشي الأعداد العملية تعريفًا رسميًا، ولكنه قدّم جدولًا لتوسيعات الكسور المصرية للكسور ذات المقامات العملية. ^{[ 2 ]}

يُعزى مصطلح "العدد العملي" إلى سرينيفاسان (1948) . فقد لاحظ أن "تقسيمات النقود والأوزان والمقاييس تتضمن أعدادًا مثل 4 و12 و16 و20 و28، والتي يُفترض عادةً أنها غير عملية لدرجة تستدعي استبدالها بقوى العدد 10". وقد أكمل ستيوارت (1954) وسيربينسكي (1955) تصنيفه الجزئي لهذه الأعداد . يُمكّن هذا التصنيف من تحديد ما إذا كان العدد عمليًا من خلال فحص تحليله إلى عوامله الأولية. كل عدد زوجي كامل وكل قوة من قوى العدد 2 هو أيضًا عدد عملي.

وقد ثبت أيضاً أن الأعداد العملية مماثلة للأعداد الأولية في العديد من خصائصها. ^{[ 3 ]}

عرّف سرينيفاسان (1948) العدد العملي بأنه لا يمكن أن يكون عددًا ناقصًا ، أي عددًا يكون مجموع جميع قواسمه (بما في ذلك 1 ونفسه) أقل من ضعف العدد إلا إذا كان النقص واحدًا. إذا كانت المجموعة المرتبة لجميع قواسم العدد العملي${\displaystyle n}$يكون${\displaystyle {d_{1},d_{2},...,d_{j}}}$مع${\displaystyle d_{1}=1}$و${\displaystyle d_{j}=n}$إذاً، يمكن التعبير عن عبارة سرينيفاسان من خلال المتباينة $${\displaystyle 2n\leq 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}.}$$ بمعنى آخر، التسلسل المرتب لجميع القواسم${\displaystyle {d_{1}<d_{2<...<d_{j}}}$يجب أن يكون العدد العملي عبارة عن متتالية فرعية كاملة .

تم توسيع هذا التوصيف الجزئي وإكماله بواسطة ستيوارت (1954) وسيربينسكي (1955)، اللذين أظهرا أنه من السهل تحديد ما إذا كان العدد عمليًا من خلال تحليله إلى عوامله الأولية . العدد الصحيح الموجب الأكبر من واحد له تحليل إلى عوامله الأولية.${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$(مع الأعداد الأولية مرتبة ترتيبًا تصاعديًا)${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$) يكون عمليًا إذا وفقط إذا كان كل عامل من عوامله الأولية${\displaystyle p_{i}}$صغير بما يكفي لـ${\displaystyle p_{i}-1}$أن يكون له تمثيل كمجموع قواسم أصغر. ولكي يكون هذا صحيحًا، فإن العدد الأولي الأول${\displaystyle p_{1}}$يجب أن يساوي 2، ولكل i من 2 إلى k ، كل عدد أولي متتالي ${\displaystyle p_{i}}$يجب أن يطيع عدم المساواة

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}})\sigma (p_{2}^{\alpha _{2}})\dots \sigma (p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

أين${\displaystyle \sigma (x)}$يرمز إلى مجموع قواسم x . على سبيل المثال، 2 × 3 ² × 29 × 823 = 429606 هو أمر عملي، لأن المتباينة أعلاه صحيحة لكل عامل من عوامله الأولية: 3 ≤ σ(2) + 1 = 4، 29 ≤ σ(2 × 3 ² ) + 1 = 40، و 823 ≤ σ(2 × 3 ² × 29) + 1 = 1171.

الشرط المذكور أعلاه ضروري وكافٍ لكي يكون الرقم عمليًا. من ناحية أخرى، هذا الشرط ضروري لكي يكون بالإمكان تمثيل${\displaystyle p_{i}-1}$كمجموع قواسم${\displaystyle n}$لأنه إذا لم تتحقق المتباينة، فإن جمع جميع القواسم الأصغر سيعطي مجموعًا صغيرًا جدًا بحيث لا يمكن الوصول إليه.${\displaystyle p_{i}-1}$في الاتجاه الآخر، يكون الشرط كافيًا، كما يمكن إثباته بالاستقراء. وبشكل أقوى، إذا كان تحليل${\displaystyle n}$إذا استوفى الشرط المذكور أعلاه، فإن أي${\displaystyle m\leq \sigma (n)}$يمكن تمثيلها كمجموع قواسم لـ${\displaystyle n}$، من خلال التسلسل التالي للخطوات: ^{[ 4 ]}

• بالحث على${\displaystyle j\in [1,\alpha _{k}]}$، ويمكن إثبات ذلك${\displaystyle p_{k}^{j}\leq 1+\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}-(j-1)})}$. لذلك${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}\leq 1+\sigma (n/p_{k})}$.
• بما أن الأجزاء الداخلية${\displaystyle [qp_{k}^{\alpha _{k}},qp_{k}^{\alpha _{k}}+\sigma (n/p_{k})]}$غطاء${\displaystyle [1,\sigma (n)]}$ل${\displaystyle 1\leq q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$هناك مثل هذا${\displaystyle q}$وبعض${\displaystyle r\in [0,\sigma (n/p_{k})]}$بحيث${\displaystyle m=qp_{k}^{\alpha _{k}}+r}$.
• منذ${\displaystyle q\leq \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})}$و${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$يمكن إثبات جدوى ذلك عمليًا بالاستقراء، ويمكننا إيجاد تمثيل لـ q كمجموع قواسم لـ${\displaystyle n/p_{k}^{\alpha _{k}}}$.
• منذ${\displaystyle r\leq \sigma (n/p_{k})}$و منذ ذلك الحين${\displaystyle n/p_{k}}$يمكن إثبات أن ذلك عملي بالاستقراء، ويمكننا إيجاد تمثيل لـ r كمجموع قواسم لـ${\displaystyle n/p_{k}}$.
• القواسم التي تمثل r ، بالإضافة إلى${\displaystyle p_{k}^{\alpha _{k}}}$بضرب كل قاسم من القواسم التي تمثل q ، تشكل معًا تمثيلًا لـ m كمجموع قواسم q${\displaystyle n}$.

• العدد الفردي العملي الوحيد هو 1، لأنه إذا${\displaystyle n}$إذا كان عددًا فرديًا أكبر من 2، فلا يمكن التعبير عن 2 كمجموع قواسم مختلفة لـ${\displaystyle n}$. وبشكل أقوى، يلاحظ سرينيفاسان (1948) أنه باستثناء 1 و 2، فإن كل عدد عملي قابل للقسمة على 4 أو 6 (أو كليهما).
• حاصل ضرب عددين عمليين هو عدد عملي أيضًا. ^{[ 5 ]} وبالمثل، فإن مجموعة جميع الأعداد العملية مغلقة تحت عملية الضرب. وبصورة أدق، فإن المضاعف المشترك الأصغر لأي عددين عمليين هو عدد عملي أيضًا.
• من خلال التوصيف المذكور أعلاه من قبل ستيوارت وسيربينسكي، يمكن ملاحظة أنه إذا${\displaystyle n}$هو رقم عملي و${\displaystyle d}$إذن هو أحد قواسمه${\displaystyle n\cdot d}$يجب أن يكون عددًا عمليًا أيضًا. علاوة على ذلك، فإن العدد العملي مضروبًا في قوى أي من قواسمه يكون عمليًا أيضًا.
• في مجموعة جميع الأعداد العملية، توجد مجموعة أولية من الأعداد العملية. العدد العملي الأولي إما أن يكون عمليًا وخاليًا من المربعات، أو عمليًا، وعند قسمته على أي من عوامله الأولية التي يكون أس تحليلها أكبر من 1، فإنه يصبح غير عملي. تبدأ متتالية الأعداد العملية الأولية (المتتالية A267124 في OEIS )

• لكل عدد صحيح موجب مضاعف عملي. على سبيل المثال، لكل عدد صحيح${\displaystyle n}$، ومتعددها${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }n}$عملي. ^{[ 6 ]}
• لكل عدد أولي فردي مضاعف عملي أولي. على سبيل المثال، لكل عدد أولي فردي${\displaystyle p}$، ومتعددها${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}p\rfloor }p}$إنها عملية بدائية. وذلك لأن${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}p\rfloor }p}$يُعدّ عمليًا ^{[ 6 ]،} ولكن عند قسمته على 2 يصبح غير عملي. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك عدد ميرسين الأولي من الشكل${\displaystyle 2^{p}-1}$مضاعفها العملي الأولي هو${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$وهو عدد زوجي كامل .

تتكون العديد من مجموعات الأعداد الصحيحة الأخرى البارزة من أعداد عملية فقط:

• من الخصائص المذكورة أعلاه مع${\displaystyle n}$عدد عملي و${\displaystyle d}$أحد قواسمه (أي،${\displaystyle d|n}$) ثم${\displaystyle n\cdot d}$يجب أن يكون أيضًا عددًا عمليًا، لذلك يجب أن يكون ستة أضعاف كل قوة من قوى العدد 3 عددًا عمليًا، وكذلك ستة أضعاف كل قوة من قوى العدد 2.
• كل قوة من قوى العدد اثنين _هي عدد عملي. ^{[ 7 ]} قوى العدد اثنين تحقق بشكل بديهي توصيف الأعداد العملية من حيث تحليلها إلى عواملها الأولية: العدد الأولي الوحيد في تحليلاتها، p1 ، يساوي اثنين كما هو مطلوب.
• كل عدد زوجي كامل هو أيضًا عدد عملي. ^{[ 7 ]} وينتج هذا من نتيجة ليونارد أويلر التي تنص على أن العدد الزوجي الكامل يجب أن يكون على الصورة التالية:${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1)}$الجزء الفردي من هذا التحليل يساوي مجموع قواسم الجزء الزوجي، لذا فإن كل عامل أولي فردي لهذا العدد يجب ألا يتجاوز مجموع قواسم الجزء الزوجي منه. وبالتالي، يجب أن يستوفي هذا العدد خصائص الأعداد العملية. ويمكن استخدام حجة مماثلة لإثبات أن العدد الزوجي الكامل، عند قسمته على 2، يصبح غير عملي. لذلك، فإن كل عدد زوجي كامل هو أيضًا عدد عملي أولي.
• كل عدد أولي (ناتج الأول)${\displaystyle i}$الأعداد الأولية، بالنسبة للبعض${\displaystyle i}$هذا عملي. ^{[ 7 ]} بالنسبة لأول عددين أوليين، وهما اثنان وستة، يكون هذا واضحًا. يتكون كل عدد أولي لاحق من ضرب عدد أولي.${\displaystyle p_{i}}$بواسطة عدد أولي أصغر يقبل القسمة على كل من العددين والعدد الأولي الأصغر التالي،${\displaystyle p_{i-1}}$بحسب مسلمة برتراند ،${\displaystyle p_{i}<2p_{i-1}}$لذا، فإن كل عامل أولي متتالٍ في العدد الأولي يكون أصغر من أحد قواسم العدد الأولي السابق. وبالاستقراء، يتبين أن كل عدد أولي يحقق خصائص الأعداد العملية. ولأن العدد الأولي، بحكم تعريفه، خالٍ من المربعات، فهو أيضاً عدد عملي أولي.
• بتعميم الأعداد الأولية، أي عدد هو حاصل ضرب قوى غير صفرية للعدد الأول${\displaystyle k}$يجب أن تكون الأعداد الأولية عملية أيضًا. ويشمل ذلك أعداد رامانوجان المركبة للغاية (الأعداد التي لها قواسم أكثر من أي عدد صحيح موجب أصغر منها) بالإضافة إلى أعداد المضروب . ^{[ 7 ]}

لو${\displaystyle n}$إذا كان ذلك عمليًا، فإن أي عدد نسبي من الشكل${\displaystyle m/n}$مع${\displaystyle m<n}$يمكن تمثيلها كمجموع${\textstyle \sum d_{i}/n}$حيث كل${\displaystyle d_{i}}$هو قاسم مميز لـ${\displaystyle n}$يتبسط كل حد في هذا المجموع إلى كسر وحدة ، لذا فإن هذا المجموع يوفر تمثيلاً لـ${\displaystyle m/n}$ككسر مصري . على سبيل المثال ،$${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$$

يُورد فيبوناتشي، في كتابه "ليبر أباتشي" (Liber Abaci) الصادر عام ١٢٠٢ ^{[ ٢ ]} ، عدة طرق لإيجاد تمثيلات الكسور المصرية للأعداد النسبية. من بين هذه الطرق، الأولى هي التحقق مما إذا كان العدد نفسه كسرًا من الرتبة الأولى، أما الثانية فهي البحث عن تمثيل البسط كمجموع قواسم المقام، كما ذُكر سابقًا. هذه الطريقة مضمونة النجاح فقط مع المقامات العملية. يُقدم فيبوناتشي جداول لهذه التمثيلات للكسور التي مقاماتها الأعداد العملية ٦، ٨، ١٢، ٢٠، ٢٤، ٦٠، و١٠٠.

أظهر فوز (1985) أن كل عدد نسبي${\displaystyle x/y}$له تمثيل كسري مصري مع${\displaystyle O({\sqrt {\log y}})}$الشروط. يتضمن البرهان إيجاد متتالية من الأعداد العملية${\displaystyle n_{i}}$مع خاصية أن كل عدد أقل من${\displaystyle n_{i}}$يمكن كتابتها كمجموع لـ${\displaystyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})}$القواسم المميزة لـ${\displaystyle n_{i}}$. ثم،${\displaystyle i}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle n_{i-1}<y<n_{i}}$، و${\displaystyle xn_{i}}$يقسم على${\displaystyle y}$إعطاء ناتج القسمة${\displaystyle q}$والباقي${\displaystyle r}$ويترتب على هذه الخيارات أن${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}}$. بتوسيع كلا البسطين على الجانب الأيمن من هذه الصيغة إلى مجموع قواسم العدد${\displaystyle n_{i}}$ينتج عن ذلك التمثيل الكسوري المصري المطلوب. يستخدم تيننباوم ويوكوتا (1990) تقنية مماثلة تتضمن سلسلة مختلفة من الأعداد العملية لإظهار أن كل عدد نسبي${\displaystyle x/y}$له تمثيل كسري مصري يكون فيه المقام الأكبر هو${\displaystyle O(y\log ^{2}y/\log \log y)}$.

وفقًا لتخمينٍ طرحه تشي-وي صن في سبتمبر 2015 ، ^{[ 8 ]} فإن لكل عدد نسبي موجب تمثيلًا كسريًا مصريًا يكون فيه كل مقام عددًا عمليًا. وقد أثبت ديفيد إبستين هذا التخمين ( 2021 ) . 

أحد أسباب الاهتمام بالأعداد العملية هو تشابه العديد من خصائصها مع خصائص الأعداد الأولية . في الواقع، توجد نظريات مماثلة لتخمين غولدباخ وتخمين الأعداد الأولية التوأمية للأعداد العملية: كل عدد زوجي موجب هو مجموع عددين عمليين، وتوجد ثلاثيات لا نهائية من الأعداد العملية.${\displaystyle (x-2,x,x+2)}$[ ^{9 ]} كما أظهر ميلفي ^{[ 10 ]} أن هناك عددًا لا نهائيًا من أعداد فيبوناتشي العملية ⁽ المتتالية A124105 في OEIS ) ؛ وأثبت سانا ^{[ 11 ]} أن على الأقل${\displaystyle Cn/\log n}$من الأول${\displaystyle n}$تمثل حدود كل متتالية لوكاس أعدادًا عملية، حيث${\displaystyle C>0}$ثابت و${\displaystyle n}$كبيرة بما يكفي. أما المسائل المماثلة المتعلقة بوجود عدد لا نهائي من أعداد فيبوناتشي الأولية ، أو الأعداد الأولية في متتالية لوكاس، فهي لا تزال مفتوحة. وقد أظهر هاوسمان وشابيرو (1984) أنه يوجد دائمًا عدد عملي في الفترة${\displaystyle [x^{2},(x+1)^{2})]}$لأي شيء إيجابي حقيقي${\displaystyle x}$وهي نتيجة مماثلة لتخمين ليجاندر للأعداد الأولية. علاوة على ذلك، بالنسبة لجميع الأعداد الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle x}$الفاصل الزمني${\displaystyle [x-x^{0.4872},x]}$يحتوي على العديد من الأرقام العملية. ^{[ 12 ]}

يترك${\displaystyle p(x)}$احسب عدد الأرقام العملية التي لا تتجاوز الحد الأقصى${\displaystyle x}$افترض مارجنسترن (1991) أن${\displaystyle p(x)}$هو مقارب لـ${\displaystyle cx/\log x}$لبعض الثوابت${\displaystyle c}$وهي صيغة تشبه نظرية الأعداد الأولية ، مما يعزز الادعاء السابق لإردوش ولوكستون (1979) بأن كثافة الأعداد العملية تساوي صفرًا في الأعداد الصحيحة. وبتحسين تقدير تيننباوم (1986) ، وجد ساياس (1997) أن${\displaystyle p(x)}$له رتبة مقدارية${\displaystyle x/\log x}$أثبت واينغارتنر (2015) حدسية مارجنسترن . لدينا ^{[ 13 ]}$${\displaystyle p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {1}{\log x}}\right)\right),}$$ أين${\displaystyle c=1.33607...}$^{[ 14 ]} وبالتالي، فإن الأعداد العملية تزيد بنحو 33.6% عن الأعداد الأولية. القيمة الدقيقة للعامل الثابت${\displaystyle c}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 15 ]}$${\displaystyle c={\frac {1}{1-e^{-\gamma }}}\sum _{n\ {\text{practical}}}{\frac {1}{n}}{\Biggl (}\sum _{p\leq \sigma (n)+1}{\frac {\log p}{p-1}}-\log n{\Biggr )}\prod _{p\leq \sigma (n)+1}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني و${\displaystyle p}$يتفوق على الأعداد الأولية.

كما هو الحال مع الأعداد الأولية في المتتابعة الحسابية، عند إعطاء عددين طبيعيين${\displaystyle a}$و${\displaystyle q}$لدينا ^{[ 16 ]}$${\displaystyle |\{n\leq x:n{\text{ practical and }}n\equiv a{\bmod {q}}\}|={\frac {c_{q,a}x}{\log x}}+O_{q}\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right).}$$ العامل الثابت${\displaystyle c_{q,a}}$تكون موجبة إذا، وفقط إذا، كان هناك أكثر من عدد عملي واحد متطابق مع${\displaystyle a{\bmod {q}}}$. لو${\displaystyle \gcd(q,a)=\gcd(q,b)}$، ثم${\displaystyle c_{q,a}=c_{q,b}}$على سبيل المثال، حوالي 38.26٪ من الأرقام العملية لها رقم عشري أخير قدره 0، بينما تظهر الأرقام الأخيرة 2 و4 و6 و8 بنفس التردد النسبي البالغ 15.43٪.

تنص نظرية إردوش -كاك على أنه بالنسبة لعدد صحيح عشوائي كبير${\displaystyle n}$عدد العوامل الأولية لـ${\displaystyle n}$(سواء تم حسابها مع أو بدون تعدد) تتبع توزيعًا طبيعيًا تقريبيًا بمتوسط${\displaystyle \log \log n}$والتباين${\displaystyle \log \log n}$تشير النتيجة المقابلة للأعداد العملية ^{[ 17 ]} إلى أنه بالنسبة لعدد عملي عشوائي كبير${\displaystyle n}$عدد العوامل الأولية يتبع التوزيع الطبيعي تقريبًا بمتوسط${\displaystyle C\log \log n}$والتباين${\displaystyle V\log \log n}$، أين${\displaystyle C=1/(1-e^{-\gamma })=2.280\ldots }$و${\displaystyle V=0.414\ldots }$أي أن معظم الأعداد الصحيحة الكبيرة${\displaystyle n}$لدينا حول${\displaystyle \log \log n}$العوامل الأولية، في حين أن معظم الأعداد العملية الكبيرة${\displaystyle n}$لدينا حول${\displaystyle C\log \log n\approx 2.28\log \log n}$العوامل الأولية.

ونتيجة لذلك، فإن معظم الأعداد الصحيحة الكبيرة${\displaystyle n}$ يملك${\displaystyle 2^{(1+o(1))\log \log n}=(\log n)^{0.693\ldots }}$القواسم، بينما معظم الأعداد العملية الكبيرة${\displaystyle n}$يملك${\displaystyle 2^{(C+o(1))\log \log n}=(\log n)^{1.580\ldots }}$ القواسم. في كلتا الحالتين، يكون متوسط ​​عدد القواسم أكبر بكثير من العدد النموذجي للقواسم: بالنسبة للأعداد الصحيحة${\displaystyle n\leq x}$، ويبلغ متوسط ​​عدد القواسم حوالي${\displaystyle \log x}$أما بالنسبة للأرقام العملية${\displaystyle n\leq x}$الأمر يتعلق بـ${\displaystyle (\log x)^{1.713\ldots }}$[ ^{18 ]​}

متوسط ​​قيمة دالة مجموع القواسم${\displaystyle \sigma (n)}$، للأعداد الصحيحة${\displaystyle n\leq x}$وكذلك بالنسبة للأرقام العملية${\displaystyle n\leq x}$، له رتبة مقدار${\displaystyle x}$[ ^{19 ]​}

• جداول الأرقام العملية مؤرشفة بتاريخ 2017-12-26 في Wayback Machine ، قام بتجميعها جوزيبي ميلفي.
• الأعداد العملية في موقع PlanetMath .
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "العدد العملي" ، عالم الرياضيات