عدد ناقص

في نظرية الأعداد ، يُعرَّف العدد الناقص أو المعيب بأنه عدد صحيح موجب n يكون مجموع قواسمه أقل من 2n . وبعبارة أخرى، هو عدد يكون مجموع قواسمه الحقيقية (أو مجموع أجزاء القسمة ) أقل من n . على سبيل المثال، القواسم الحقيقية للعدد 8 هي 1 و2 و4 ، ومجموعها أقل من 8، لذا فإن 8 عدد ناقص .

الأرقام القليلة الأولى الناقصة هي

1، 2، 3، 4، 5، 7، 8، 9، 10، 11، 13، 14، 15، 16، 17، 19، 21، 22، 23، 25، 26، 27، 29، 31، 32، 33، 34، 35، 37، 38، 39، 41، 43، 44، 45، 46، 47، 49، 50، ... (التسلسل A005100 في OEIS )

على سبيل المثال، لنأخذ العدد 21. قواسمه الحقيقية هي 1 و3 و7، ومجموعها 11. ولأن 11 أصغر من 21، فإن العدد 21 ناقص. ونقصه هو 21 - 11 = 10.

بما أن مجموع أجزاء الأعداد الأولية يساوي 1، فإن جميع الأعداد الأولية ناقصة. ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، فإن جميع الأعداد الفردية التي لها عامل أولي واحد أو عاملان أوليان مختلفان ناقصة. ويترتب على ذلك وجود عدد لا نهائي من الأعداد الفردية الناقصة. كما يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الزوجية الناقصة، حيث أن مجموع جميع قوى العدد 2 هو ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2x ^{- 1} = ^2x - 1 ). كذلك، فإن عائلة الأعداد اللانهائية التي تأخذ الشكل 2n ^{- 1} × pm ^، حيث m > 0 و p عدد أولي أكبر من ²ⁿ - 1، هي أعداد ناقصة.

وبشكل أعم، جميع القوى الرئيسية${\displaystyle p^{k}}$وهي ناقصة، لأن قواسمها الصحيحة الوحيدة هي${\displaystyle 1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}}$والتي مجموعها يساوي${\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1}}}$وهو على الأكثر${\displaystyle p^{k}-1}$[ ^{2 ]​}

جميع القواسم الصحيحة للأعداد الناقصة ناقصة. ^{[ 3 ]} علاوة على ذلك، فإن جميع القواسم الصحيحة للأعداد الكاملة ناقصة. ^{[ 4 ]}

يوجد على الأقل عدد ناقص واحد في الفترة${\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}]}$لجميع قيم n الكبيرة بما فيه الكفاية . ^{[ 5 ]}

ترتبط الأعداد الكاملة التي يكون فيها σ ( n )  =  2 n ارتباطًا وثيقًا بالأعداد الناقصة ، والأعداد الوفيرة التي يكون فيها σ ( n )  >  2 n .

كان نيكوماخوس أول من قسم الأعداد إلى ناقصة، وكاملة، ووفيرة، وذلك في كتابه "مقدمة في الحساب" (حوالي عام 100 ميلادي). ومع ذلك، فقد طبق هذا التصنيف على الأعداد الزوجية فقط . ^{[ 6 ]}

• رقم شبه مثالي
• رقم ودي
• رقم اجتماعي
• عدد فائض

• ديكسون، ليونارد يوجين (1919). تاريخ نظرية الأعداد، المجلد الأول: قابلية القسمة والأولوية . معهد كارنيجي في واشنطن.
• بريليب، روبرت و. (1970). "الأعداد الكاملة، والأعداد الوفيرة، والأعداد الناقصة". مُعلّم الرياضيات . 63 (8): 692-696 . doi : 10.5951/MT.63.8.0692 . JSTOR 27958492 . 
• ساندور، جوزيف؛ ميترينوفيتش، دراغوسلاف س.؛ كرستيسي، بوريسلاف، محرران. (2006). دليل نظرية الأعداد الأول . دوردريخت: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 

• المعجم الرئيسي: العدد الناقص
• وايسستين، إريك دبليو. “الرقم الناقص” . عالم الرياضيات .
• عدد ناقص في PlanetMath .