التسلسل الكامل

في الرياضيات ، تسمى سلسلة الأعداد الطبيعية سلسلة كاملة إذا كان من الممكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب كمجموع القيم في السلسلة، باستخدام كل قيمة مرة واحدة على الأكثر.

على سبيل المثال، تسلسل قوى الرقم اثنين (1، 2، 4، 8، ...)، أساس النظام الثنائي ، هو تسلسل كامل؛ بالنظر إلى أي عدد طبيعي، يمكننا اختيار القيم المقابلة للبتات 1 في تمثيله الثنائي وجمعها للحصول على هذا العدد (على سبيل المثال 37 = 100101 ₂ = 1 + 4 + 32). هذا التسلسل ضئيل، حيث لا يمكن إزالة أي قيمة منه دون جعل بعض الأعداد الطبيعية مستحيلة التمثيل. تشمل الأمثلة البسيطة للتسلسلات غير الكاملة الأعداد الزوجية ، حيث أن إضافة الأعداد الزوجية ينتج عنه أعداد زوجية فقط - لا يمكن تكوين عدد فردي .

بدون فقدان العمومية، افترض أن التسلسل a _n في ترتيب غير متناقص، وحدد المجاميع الجزئية لـ a _n على النحو التالي:

${\displaystyle s_{n}=\مجموع _{م=0}^{ن}أ_{م}}$.

ثم الشروط

${\displaystyle a_{0}=1\,}$

${\displaystyle s_{k-1}\geq a_{k}-1{\text{ لكل }}k\geq 1}$

كلاهما ضروري وكافٍ لكي تكون n تسلسلًا كاملاً. _[ ^{1] [2]}

النتيجة المترتبة على ما سبق هي أن

${\displaystyle a_{0}=1\,}$

${\displaystyle 2a_{k}\geq a_{k+1}{\text{ لكل }}k\geq 0}$

تكفي لكي تكون n تسلسلًا كاملاً. _[ ^1]

ومع ذلك، هناك تسلسلات كاملة لا تلبي هذه النتيجة،على سبيل المثال (التسلسل A203074 في OEIS )، يتكون من الرقم 1 والعدد الأولي الأول بعد كل قوة من 2.

تتضمن التسلسلات الكاملة ما يلي:

• تسلسل الرقم 1 متبوعًا بالأعداد الأولية (درسه إس إس بيلاي ^[3] وآخرون)؛ وهذا يتبع من فرضية برتراند . ^[1]
• تسلسل الأعداد العملية الذي يكون فيه 1 هو الحد الأول ويحتوي على جميع القوى الأخرى للعدد 2 كمجموعة فرعية. ^[4] (التسلسل A005153 في OEIS )
• أعداد فيبوناتشي ، وكذلك أعداد فيبوناتشي مع إزالة أي رقم منها. ^[1] وهذا يتبع من الهوية أن مجموع أول n من أعداد فيبوناتشي هو ( n  + 2)nd من أعداد فيبوناتشي ناقص 1.

تمامًا كما تشكل قوى الرقم 2 تسلسلًا كاملاً بسبب النظام الثنائي للأرقام، في الواقع يمكن استخدام أي تسلسل كامل لترميز الأعداد الصحيحة كسلاسل بتات. يتم تعيين موضع البت الأيمن لأول أصغر عضو في التسلسل؛ ويتم تعيين البت الأيمن التالي للعضو التالي؛ وهكذا. يتم تضمين البتات التي تم تعيينها على 1 في المجموع. قد لا تكون هذه التمثيلات فريدة.

على سبيل المثال، في نظام فيبوناتشي الحسابي ، الذي يعتمد على متتالية فيبوناتشي، يمكن ترميز الرقم 17 بستة طرق مختلفة:

 110111 (F ₆ + F ₅ + F ₃ + F ₂ + F ₁ = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17، الشكل الأقصى)

 111001 (ف ₆ + ف ₅ + ف ₄ + ف ₁ = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)

 111010 (ف ₆ + ف ₅ + ف ₄ + ف ₂ = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)

1000111 (ف ₇ + ف ₃ + ف ₂ + ف ₁ = 13 + 2 + 1 + 1 = 17)

1001001 (ف ₇ + ف ₄ + ف ₁ = 13 + 3 + 1 = 17)

1001010 (F ₇ + F ₄ + F ₂ = 13 + 3 + 1 = 17، الشكل الأدنى، كما هو مستخدم في ترميز فيبوناتشي )

سيستخدم الشكل الأقصى أعلاه دائمًا F ₁ وسيكون له دائمًا صفر لاحق. يمكن العثور على الترميز الكامل بدون الصفر اللاحق في (التسلسل A104326 في OEIS ). وبإسقاط الصفر اللاحق، يحدث الترميز لـ 17 أعلاه كحد 16 من A104326. لن يستخدم الشكل الأدنى F ₁ أبدًا وسيكون له دائمًا صفر لاحق. يمكن العثور على الترميز الكامل بدون الصفر اللاحق في (التسلسل A014417 في OEIS ). يُعرف هذا الترميز باسم تمثيل Zeckendorf .

في هذا النظام العددي، يمكن استبدال أي سلسلة فرعية "100" بـ "011" والعكس صحيح بسبب تعريف أرقام فيبوناتشي. ^[5] سيؤدي التطبيق المستمر لهذه القواعد إلى ترجمة الحد الأقصى إلى الحد الأدنى، والعكس صحيح. حقيقة أنه يمكن تمثيل أي رقم (أكبر من 1) بنهاية 0 تعني أنه من الممكن دائمًا إضافة 1، ونظرًا لأنه يمكن تمثيل 1 و2 في ترميز فيبوناتشي، فإن الاكتمال يتبعه الاستدلال .

• ترقيم أوستروفسكي

• وايسشتاين، إريك دبليو. "التسلسل الكامل". MathWorld .