حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار معين

" Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse " ( الترجمة الإنجليزية المعتادة : " حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين ") هي ورقة بحثية مكونة من 9 صفحات بقلم بيرنهارد ريمان نُشرت في طبعة نوفمبر 1859 من Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .

تتناول هذه الورقة البحثية دالة عدّ الأعداد الأولية باستخدام الأساليب التحليلية . ورغم أنها الورقة الوحيدة التي نشرها ريمان في نظرية الأعداد ، إلا أنها تتضمن أفكارًا أثرت في آلاف الباحثين خلال أواخر القرن التاسع عشر وحتى يومنا هذا. تتألف الورقة بشكل أساسي من تعريفات ، وحجج استدلالية ، وملخصات للبراهين ، وتطبيق أساليب تحليلية فعّالة؛ وقد أصبحت جميعها مفاهيم وأدوات أساسية في نظرية الأعداد التحليلية الحديثة .

من بين التعريفات والأفكار والرموز الجديدة التي تم تقديمها:

• استخدام الحرف اليوناني زيتا ( ζ ) لدالة سبق أن ذكرها أويلر
• الاستمرار التحليلي لدالة زيتا ζ ( s ) إلى جميع الأعداد المركبة s ≠ 1
• الدالة الكاملة ξ ( s )، المرتبطة بدالة زيتا من خلال دالة جاما (أو دالة Π ، في استخدام ريمان)
• الدالة المنفصلة J ( x ) المعرفة لـ x ≥ 0 ، والتي تُعرف بـ J (0) = 0 و J ( x ) تقفز بمقدار 1/ n عند كل قوة أولية p ⁿ . (يُطلق ريمان على هذه الدالة اسم f ( x ).)

من بين البراهين ومخططات البراهين:

• إثبات تمثيل هانكل للدالة زيتا ^{[ 1 ]}
• برهانان للمعادلة الوظيفية لـ ζ ( s )
• رسم تخطيطي لإثبات تمثيل الضرب لـ ξ ( s )
• رسم تخطيطي لإثبات تقريب عدد جذور ξ ( s ) التي تقع أجزاؤها التخيلية بين 0 و T .

من بين التخمينات التي طُرحت:

• تنص فرضية ريمان على أن جميع أصفار الدالة ζ ( s ) (غير التافهة) لها جزء حقيقي يساوي 1/2. ويذكر ريمان ذلك بدلالة جذور الدالة ξ المرتبطة بها .

  ... es ist sehr wahrscheinlich، dass alle Wurzeln reel sind. كان هيرفون يحذر من أقوى Beweis zu Wünschen؛ لقد كانت موجودة بالفعل في الحصول على منتجات جديدة من خلال مجموعة من المنتجات المسطحة من جميع أنحاء العالم، وهذا من أجل تحقيق هدف Zweck التالي في مجال ريادة الأعمال.

  إنه،

  من المرجح جدًا أن تكون جميع الجذور حقيقية. ومع ذلك، يرغب المرء في الحصول على دليل قاطع على ذلك؛ إلا أنني، بعد بعض المحاولات العابرة غير المجدية، أوقفت مؤقتًا البحث عن مثل هذا الدليل، إذ يبدو أنه غير ضروري للهدف التالي من بحثي.

  (كان يناقش نسخة من دالة زيتا، معدلة بحيث تكون جذورها حقيقية بدلاً من أن تكون على الخط الحرج.)

أساليب وتقنيات جديدة مستخدمة في نظرية الأعداد:

• المعادلات الوظيفية الناشئة عن الأشكال التلقائية
• استمرار تحليلي (وإن لم يكن بروح فايرشتراس)
• دمج الكونتور
• انعكاس فورييه .

ناقش ريمان أيضًا العلاقة بين ζ ( s ) وتوزيع الأعداد الأولية، مستخدمًا الدالة J ( x ) كمقياس أساسي لتكامل ستيلتجس . ثم توصل إلى النتيجة الرئيسية للورقة البحثية، وهي صيغة لـ J ( x )، بمقارنتها مع ln( ζ ( s )). بعد ذلك، وجد ريمان صيغة لدالة عد الأعداد الأولية π ( x ) (والتي سماها F ( x )). ويشير إلى أن معادلته تفسر حقيقة أن π ( x ) تنمو ببطء أكبر من التكامل اللوغاريتمي ، كما وجد كارل فريدريش جاوس وكارل فولفغانغ بنيامين غولدشميت .

تحتوي الورقة على بعض الخصائص المميزة للقراء المعاصرين، مثل استخدام Π ( s − 1) بدلاً من Γ( s )، وكتابة tt بدلاً من t ² ، واستخدام حدود ∞ إلى ∞ للدلالة على محيط هانكل .

• إدواردز، إتش إم (1974)، دالة زيتا لريمان ، نيويورك: أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-232750-0، Zbl 0315.10035 

• مخطوطة ريمان
• Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse (نسخة من مقالة ريمان)
• حول عدد الأعداد الأولية الأقل من كمية معينة (الترجمة الإنجليزية لمقال ريمان)