حلقة شبه فروبينيوس

في الرياضيات، وخاصةً في نظرية الحلقات ، تُعدّ فئة حلقات فروبينيوس وتعميماتها امتدادًا للأعمال التي أُجريت على جبر فروبينيوس . ولعلّ أهمّ هذه التعميمات هو حلقات شبه فروبينيوس (حلقات QF)، والتي تُعمّم بدورها بحلقات شبه فروبينيوس اليمنى (حلقات PF) وحلقات شبه فروبينيوس اليمنى المحدودة (حلقات FPF). ومن التعميمات الأخرى المتنوعة لحلقات شبه فروبينيوس حلقات QF-1 و QF-2 و QF-3 .

يمكن اعتبار هذه الأنواع من الحلقات امتدادًا للجبر الذي درسه جورج فروبينيوس . وتشمل قائمة جزئية لرواد حلقات شبه فروبينيوس كلاً من ر. براور ، وك. موريتا، وت . ناكاياما ، وسي. جيه. نيسبيت ، وآر . إم. ثرال .

تكون الحلقة R شبه فروبينيوس إذا وفقط إذا كانت R تحقق أيًا من الشروط المكافئة التالية:

1. R نوثيري من جانب وذاتي الحقن من جانب آخر.
2. R تعني أرتينيان من جانب وحقن ذاتي من جانب آخر.
3. جميع وحدات R اليمنى (أو جميع الوحدات اليسرى) التي تكون إسقاطية هي أيضًا وحدات حقنية .
4. جميع وحدات R اليمنى (أو جميع وحدات R اليسرى) التي تكون حقنية هي أيضًا إسقاطية.

حلقة فروبينيوس R هي حلقة تحقق أيًا من الشروط المتكافئة التالية. ليكن J = J( R ) هو جذر جاكوبسون لـ R.

1. R هو شبه فروبينيوس والقاعدة${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J}$كما هو الحال مع وحدات R الصحيحة .
2. R شبه فروبينيوس و${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}$كما هو الحال في وحدات R اليسرى .
3. كما هو الحال في وحدات R${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J}$ووحدات R اليسرى${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}$.

بالنسبة للحلقة التبديلية R ، فإن ما يلي متكافئ:

1. R هو فروبينيوس
2. R شبه فروبينيوس
3. R عبارة عن مجموع مباشر محدود لحلقات أرتينية محلية لها مثاليات دنيا فريدة. (هذه الحلقات هي أمثلة على " حلقات غورنشتاين المحلية ذات الأبعاد الصفرية ").

تكون الحلقة R شبه فروبينيوسية يمنى إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. كل وحدة R صحيحة ومخلصة هي مولد لفئة وحدات R الصحيحة .
2. R هو حقن ذاتي من اليمين وهو مولد مشترك لـ Mod- R .
3. R هي ذاتية الحقن من اليمين ويتم توليدها بشكل نهائي كوحدة نمطية R من اليمين .
4. R عبارة عن حلقة ذاتية الحقن يمنى وحلقة كاش يمنى .
5. R هي ذاتية الحقن من اليمين، شبه محلية ، و socle soc( R _R ) هي وحدة فرعية أساسية من R.
6. R هو مولد مشترك لـ Mod- R وهو حلقة كاش يسارية.

تكون الحلقة R منتهية يمينًا شبه فروبينيوس إذا وفقط إذا كان كل نموذج R منتهيًا ومخلصًا يمينًا مولدًا لـ Mod- R .

في المقالة الرائدة ( ثرال، 1948 ) ، ركز آر إم ثرال على ثلاث خصائص محددة لجبر QF (ذي الأبعاد المحدودة) ودرسها بشكل منفصل. وبافتراضات إضافية، يمكن استخدام هذه التعريفات لتعميم حلقات QF. ومن بين علماء الرياضيات الآخرين الذين ساهموا في هذه التعميمات، ك. موريتا وهـ. تاتشيكاوا.

استنادًا إلى ( أندرسون وفولر 1992 ) ، ليكن R حلقة أرتينية يسارية أو يمينية:

• R هي QF-1 إذا كانت جميع الوحدات اليسرى المخلصة والوحدات اليمنى المخلصة وحدات متوازنة .
• R هي QF-2 إذا كان لكل وحدة إسقاطية يمنى غير قابلة للتحليل ولكل وحدة إسقاطية يسرى غير قابلة للتحليل وحدة فرعية دنيا فريدة. (أي أن لها قواعد بسيطة.)
• R هو QF-3 إذا كانت الأغلفة الحقنية E( R _R ) و E( _R R ) كلاهما وحدات إسقاطية.

لا يُحدد نظام الترقيم بالضرورة تسلسلًا هرميًا. في ظل شروط أقل صرامة، قد لا تحتوي هذه الفئات الثلاث من الحلقات على بعضها البعض. مع ذلك، بافتراض أن R حلقة أرتينية يسارية أو يمينية، فإن حلقات QF-2 هي حلقات QF-3. بل يوجد مثال لحلقة QF-1 وQF-3 ليست QF-2.

عرّف ت. ناكاياما (ناكاياما 41) حلقات شبه فروبينيوس على أنها حلقات أرتينية مع تبديل ناكاياما .

لخاتم أرتينيان ، أو خاتم شبه مثالي${\displaystyle R}$بشكل عام، يمكننا تعريف تبديل ناكاياما على النحو التالي:

بالنظر إلى مجموعة متعامدة كاملة${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{m}}$بالنسبة للعناصر المتطابقة المحلية ، يمكننا افتراض ترتيب هذه المجموعة بطريقة تجعلها لبعض${\displaystyle n\leq m}$الوحدات النمطية المناسبة${\displaystyle e_{1}R,\dots ,e_{n}R}$شكّل مجموعة كاملة من الوحدات الإسقاطية المولدة بشكل نهائي . ثم${\displaystyle \pi \in S_{n}}$هو تبديل ناكاياما لحلقة شبه مثالية${\displaystyle R}$إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle k\leq n}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {soc} (e_{k}R)&\cong \operatorname {top} (e_{\pi (k)}R)&&{\text{(R)}}\\\operatorname {soc} (Re_{\pi (k)})&\cong \operatorname {top} (Re_{k}).&&{\text{(L)}}\end{aligned}}}$$

على وجه الخصوص، تُعتبر الحلقة التي تحتوي على تبديل ناكاياما حلقة كاش من النوع QF-2 . وتكون الحلقة (يسارًا ويمينًا) شبه فروبينيوس إذا وفقط إذا كانت حلقة ذاتية الحقن تحتوي على تبديل ناكاياما.

تكون الحلقة شبه-فروبينيوسية حلقة فروبينيوسية إذا حافظ تبديل ناكاياما الخاص بها على التعددية. أي، بالنظر إلى تحليل غير قابل للتحليل لوحدة نمطية يمنى${\displaystyle R_{R}}$، عدد الحدود غير القابلة للتحليل المتماثلة مع${\displaystyle e_{k}R}$يساوي عدد الحدود غير القابلة للتحليل المتماثلة${\displaystyle e_{\pi (k)}R}$ لأي ${\displaystyle k\leq n}$. على وجه الخصوص، فإن الحلقة شبه فروبينيوس الأساسية هي حلقة فروبينيوس.

• كل جبر فروبينيوس k هو حلقة فروبينيوس.
• كل حلقة شبه بسيطة هي حلقة شبه فروبينية، لأن جميع وحداتها إسقاطية وحقنية. بل إن الأمر يتجاوز ذلك: جميع الحلقات شبه البسيطة هي حلقات فروبينية. ويمكن التحقق من ذلك بسهولة من خلال التعريف، حيث أن الحلقات شبه البسيطة${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})=\mathrm {soc} (_{R}R)=R}$و J  =  rad( R )  =  0.
• حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$QF لأي عدد صحيح موجب n > 1.
• جميع الحلقات المتسلسلة الأرتينية التبادلية هي حلقات فروبينيوس، بل وتتمتع بخاصية إضافية تتمثل في أن كل حلقة خارج قسمة R / I هي أيضًا حلقة فروبينيوس. يتضح أن الحلقات المتسلسلة من بين الحلقات الأرتينية التبادلية هي تحديدًا تلك الحلقات التي تكون جميع حلقات خارج قسمتها (غير الصفرية) حلقات فروبينيوس.
• يمكن العثور على العديد من خواتم PF و FPF الغريبة كأمثلة في كتاب Faith & Page (1984).

• جبر لي شبه فروبينيوس

من السهل ملاحظة أن تعريفات QF و PF و FPF هي خصائص فئوية، وبالتالي يتم الحفاظ عليها بواسطة تكافؤ موريتا ، ومع ذلك فإن كونها حلقة فروبينيوس لا يتم الحفاظ عليها.

بالنسبة للحلقات النويثرية أحادية الجانب، تتطابق شروط PF اليسرى أو اليمنى مع QF، لكن حلقات FPF لا تزال متميزة.

الجبر ذو الأبعاد المحدودة R على حقل k هو جبر فروبينيوس k إذا وفقط إذا كان R حلقة فروبينيوس.

تتميز حلقات QF بخاصية إمكانية تضمين جميع وحداتها في وحدة R حرة . ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي: تُضمَّن الوحدة M في غلافها الحقني E ( M )، الذي أصبح بدوره غلافًا إسقاطيًا. وباعتبارها وحدة إسقاطية، فإن E ( M ) هي حدٌّ من حدود الوحدة الحرة F ، وبالتالي تُضمَّن E ( M ) في F باستخدام دالة التضمين. وبتركيب هاتين الدالتين، تُضمَّن M في F.

• أندرسون، فرانك وايلي؛ فولر، كينت ر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-97845-1
• فيث، كارل؛ بيج، ستانلي (1984)، نظرية الحلقة FPF: الوحدات المخلصة ومولدات Mod-$R$ ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن رقم 88، ​​مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511721250 ، ISBN 0-521-27738-8، MR 0754181 
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• نيكلسون، دبليو كيه؛ يوسف، إم إف (2003)، حلقات شبه فروبينيوس ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-81593-2

• [ناك. 41] ناكاياما، ت. (1941). “في الجبر الفروبنيوسي الثاني”. حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 42 (1): 1– 21. دوى : 10.2307/1968984 . جستور 1968984 . 

بالنسبة لحلقات QF-1 و QF-2 و QF-3:

• موريتا، كيتي (1958)، "حول الجبر الذي يكون فيه كل تمثيل أمين هو مبدله الثاني"، مجلة الرياضيات ، 69 : 429-434 ، doi : 10.1007/bf01187420 ، ISSN 0025-5874 
• رينجل، كلاوس مايكل؛ تاتشيكاوا، هيرويوكي (1974)، “حلقات ${\rm QF}-3$”، ج. رين أنجيو. الرياضيات. ، 272 : 49-72 ، ISSN 0075-4102 
• ثرال، آر إم (1948)، "بعض التعميمات لجبر شبه فروبينيوس"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 64 : 173-183 ، doi : 10.1090/s0002-9947-1948-0026048-0 ، ISSN 0002-9947