Socle (الرياضيات)

في الرياضيات ، مصطلح "القاعدة" له عدة معانٍ مترابطة.

في سياق نظرية الزمر ، تُعرَّف قاعدة الزمرة G ، ويُرمز لها بـ soc( G )، بأنها الزمرة الجزئية المولدة بواسطة الزمر الجزئية الطبيعية الدنيا لـ G. قد يحدث ألا تحتوي الزمرة على زمرة جزئية طبيعية غير تافهة دنيا (أي أن كل زمرة جزئية طبيعية غير تافهة تحتوي بشكل صحيح على زمرة جزئية أخرى مماثلة)، وفي هذه الحالة تُعرَّف القاعدة بأنها الزمرة الجزئية المولدة بواسطة عنصر المحايد. القاعدة هي حاصل ضرب مباشر للزمر الجزئية الطبيعية الدنيا. ^{[ 1 ]}

كمثال، لننظر إلى المجموعة الدورية Z ₁₂ ذات المولد u ، والتي تحتوي على مجموعتين جزئيتين طبيعيتين صغريتين، إحداهما مولدة بواسطة u ⁴ (مما ينتج عنه مجموعة جزئية طبيعية بثلاثة عناصر) والأخرى بواسطة u ⁶ (مما ينتج عنه مجموعة جزئية طبيعية بعنصرين). بالتالي، فإن قاعدة Z ₁₂ هي المجموعة المولدة بواسطة u ⁴ و u ⁶ ، وهي ببساطة المجموعة المولدة بواسطة u ² .

القاعدة هي زمرة فرعية مميزة ، وبالتالي فهي زمرة فرعية طبيعية. ومع ذلك، فهي ليست بالضرورة طبيعية بشكل متعدٍ .

إذا كانت المجموعة G مجموعة قابلة للحل منتهية ، فيمكن التعبير عن القاعدة كحاصل ضرب مجموعات أبيلية أولية من الرتبة p . وبالتالي، في هذه الحالة، هي مجرد حاصل ضرب نسخ من Z / p Z لقيم p مختلفة ، حيث قد تظهر قيمة p نفسها عدة مرات في حاصل الضرب.

في سياق نظرية الوحدات ونظرية الحلقات ، قاعدة الوحدة${\displaystyle M}$فوق خاتم${\displaystyle R}$يُعرَّف بأنه مجموع أصغر الوحدات الفرعية غير الصفرية لـ${\displaystyle M}$يمكن اعتباره مفهومًا مزدوجًا لمفهوم جذر الوحدة النمطية . في تدوين المجموعات،

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ is a simple submodule of }}M}N.}$

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ is an essential submodule of }}M}E.}$

قاعدة الخاتم${\displaystyle R}$يمكن أن يشير إلى إحدى المجموعتين في الحلقة. بالنظر إلى${\displaystyle R}$كحق${\displaystyle R}$-وحدة نمطية،${\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})}$يتم تعريفها، وبالنظر إلى${\displaystyle R}$كيسار${\displaystyle R}$-وحدة نمطية،${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)}$يتم تعريفها. كلا هذين القيدين هما مثاليان حلقيان ، ومن المعروف أنهما ليسا متساويين بالضرورة.

• لو${\displaystyle M}$هو وحدة أرتينية ،${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$وهي بحد ذاتها وحدة فرعية أساسية من${\displaystyle M}$.

في الواقع، إذا${\displaystyle M}$إذا كان وحدة شبه أرتينية ،${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$وهي بحد ذاتها وحدة فرعية أساسية من${\displaystyle M}$بالإضافة إلى ذلك، إذا${\displaystyle M}$إذا كان معاملًا غير صفري على حلقة شبه أرتينية يسارية ، فإن${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$وهي بحد ذاتها وحدة فرعية أساسية من${\displaystyle M}$وذلك لأن أي وحدة غير صفرية فوق حلقة شبه أرتينية يسارية هي وحدة شبه أرتينية.

• تكون الوحدة شبه بسيطة إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$. خواتم من أجلها${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$لجميع الوحدات${\displaystyle M}$هي حلقات شبه بسيطة تحديداً .
• ${\displaystyle \mathrm {soc} (\mathrm {soc} (M))=\mathrm {soc} (M)}$.
• ${\displaystyle M}$تكون وحدة نمطية مولدة بشكل محدود إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$يتم توليدها بشكل نهائي و${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$هي وحدة فرعية أساسية من${\displaystyle M}$.
• بما أن مجموع الوحدات شبه البسيطة هو وحدة شبه بسيطة، فإن قاعدة الوحدة يمكن تعريفها أيضًا على أنها الوحدة الفرعية شبه البسيطة القصوى الفريدة.
• من تعريف${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$من السهل أن نرى ذلك${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$يبيد${\displaystyle \mathrm {soc} (R)}$. لو${\displaystyle R}$هي جبر أحادي الأبعاد محدود و${\displaystyle M}$مولد نهائي${\displaystyle R}$-وحدة، إذن يتكون الموضع تحديدًا من العناصر التي تم إفناؤها بواسطة جذر جاكوبسون لـ${\displaystyle R}$[ ^{2 ]​}

في سياق جبر لي ، فإن قاعدة جبر لي المتناظر هي الفضاء الذاتي لتشاكله البنيوي الذي يتوافق مع القيمة الذاتية  -1. (يتحلل جبر لي المتناظر إلى المجموع المباشر لقاعدته وقاعدته المرافقة .) ^{[ 3 ]}

• هيكل حقن
• جذر وحدة نمطية
• كوسوكل

• الأماكن القريبة : بيل، روين ب. (1995). المجموعات والتمثيلات . سبرينغر-فيرلاغ . ص. 136 . رقم ISBN  0-387-94526-1.
• أندرسون، فرانك وايلي؛ فولر، كينت ر. (1992). الحلقات وفئات الوحدات . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97845-1.
• روبنسون، ديريك جيه إس (1996)، دورة في نظرية الزمر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  80 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات  499+18، doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 ، ISBN 0-387-94461-3MR 1357169​