نظرية رامانوجان الرئيسية

في الرياضيات ، تعتبر نظرية رامانوجان الرئيسية ، التي سميت على اسم سرينيفاسا رامانوجان ، ^{[ 1 ]} تقنية توفر تعبيرًا تحليليًا لتحويل ميلين لدالة تحليلية .

والنتيجة موضحة على النحو التالي:

إذا كانت دالة ذات قيم مركبة ${\textstyle f(x)}$ له شكل موسع $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$

أين ${\textstyle \varphi (s)}$ إذا كانت دالة تحليلية، فإن تحويل ميلين لـ ${\textstyle f(x)}$ يُعطى بواسطة

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$

أين ${\textstyle \Gamma (s)}$ هي دالة غاما .

وقد استخدمها رامانوجان على نطاق واسع لحساب التكاملات المحددة والمتسلسلات اللانهائية .

تظهر نسخ ذات أبعاد أعلى من هذه النظرية أيضًا في فيزياء الكم من خلال مخططات فاينمان . ^{[ 2 ]}

وقد توصل غليشر أيضاً إلى نتيجة مماثلة . ^{[ 3 ]}

الشكلية البديلة

يُمكن صياغة نظرية رامانوجان الرئيسية بشكل بديل على النحو التالي:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)$

والتي يتم تحويلها إلى الشكل المذكور أعلاه بعد الاستبدال ${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$ وباستخدام المعادلة الوظيفية لدالة جاما .

التكامل أعلاه متقارب لـ ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (ق)<1}$ رهناً بظروف النمو في ${\textstyle \varphi }$ [ ⁴^]

دليل

تم تقديم برهان يخضع لافتراضات "طبيعية" (وإن لم تكن أضعف الشروط الضرورية) لنظرية رامانوجان الرئيسية بواسطة جي إتش هاردي ^{[ 5 ]} (الفصل الحادي عشر) باستخدام نظرية البقايا ونظرية ميلين العكسية المعروفة .

برهان رامانوجان على نظريته الرئيسية ^{[ 1 ]}

تذكر تمثيل أويلر لدالة غاما $\int _{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-mx}dx=m^{-n}\Gamma (n)$

اختيار $m=r^{k}$ بضرب كلا الطرفين في ${\frac {f^{k}(a)h^{k}}{k!}}$ ثم جمع النتائج $0\leq k$ للحصول على: $\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(a)h^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{n-1}e^{-r^{k}x}dx=\Gamma (n)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(a)(hr^{-n})^{k}}{k!}}}$

ملاحظة أن المجموع في الطرف الأيمن هو متسلسلة تايلور وكتابة $e^{-r^{k}x}$ في توسعة سلسلتها:

$\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(a)h^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{n-1}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-r^{k}x)^{j}}{j!}}dx=\Gamma (n)f(hr^{-n}+a)}$

إعادة كتابة الجانب الأيسر:

$\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j!}}\int _{0}^{\infty }x^{n-1+j}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(a)(hr^{j})^{k}}{k!}}dx=\Gamma (n)f(hr^{-n}+a)}$

ثم مرة أخرى، لاحظ المجموع على $k$ هي سلسلة تايلور: $\int _{0}^{\infty }x^{n-1}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(hr^{j}+a)(-x)^{j}}{j!}}dx=\Gamma (n)f(hr^{-n}+a)$

التعريف النهائي $f(hr^{N}+a)=\phi (N)$ والسماح $F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\phi (j)(-x)^{j}}{j!}}$ نحصل بذلك على النظرية الرئيسية: $\int _{0}^{\infty }x^{n-1}F(x)dx=\Gamma (n)\phi (-n)$

برهان هاردي على النظرية الرئيسية ^{[ 6 ]}

يترك $\lambda (z)$ لتكن دالة تحليلية أحادية القيمة معرفة على نصف مستوى

$H(\delta )=\left\{z\in \mathbb {C$

بالنسبة للبعض $0<\delta <1$ لنفترض أنه، بالنسبة لبعض $A<\pi$ ، $\lambda$ يفي بشرط النمو

$|\lambda (v+iw)|<Ce^{Pv+A|w|}$

للجميع $z=v+iw\in H(\delta )$ . يترك $0<x<e^{-P}$ وهذا يعني أن السلسلة $F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}\lambda (n)$ يتقارب. مراقبة ${\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}$ يوجد أعمدة في $s\in \mathbb {Z} ^{-}$ مع بقايا $(-1)^{-s}$ بتطبيق نظرية البقايا ينتج

$F(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)x^{-s}ds$

لأي $0<c<\delta$ يتقارب هذا التكامل تقاربًا مطلقًا ومنتظمًا لـ $c\in (a,b)$ لأي $0<a,b<\delta$ بتطبيق نظرية ميلين العكسية، نحصل على

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}F(x)dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)$

تطبيق على كثيرات حدود برنولي

الدالة المولدة لكثيرات حدود برنولي ${\textstyle B_{k}(x)}$ يُعطى بواسطة:

${\frac {z\,e^{x\,z}}{\,e^{z}-1\,}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x)\,{\frac {z^{k}}{k!}}$

تُعطى هذه كثيرات الحدود بدلالة دالة زيتا لهرويتز :

$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\,(n+a)^{s}\,}}$

بواسطة ${\textstyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}}$ ل ${\textstyle ~n\geq 1}$ باستخدام نظرية رامانوجان الرئيسية والدالة المولدة لكثيرات حدود برنولي، نحصل على التمثيل التكاملي التالي: ^{[ 7 ]}

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{\,1-e^{-x}\,}}-{\frac {1}{x}}\right)dx=\Gamma (s)\,\zeta (s,a)\!$

وهو ما ينطبق على ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (ق)<1}$ .

تطبيق على دالة جاما

تعريف فايرشتراس لدالة غاما

$\Gamma (x)={\frac {\,e^{-\gamma \,x\,}}{x}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(\,1+{\frac {x}{n}}\,\right)^{-1}e^{x/n}\!$

يكافئ التعبير

$\log \Gamma (1+x)=-\gamma \,x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\,\zeta (k)\,}{k}}\,(-x)^{k}$

أين ${\textstyle \zeta (k)}$ هي دالة زيتا لريمان .

ثم بتطبيق نظرية رامانوجان الرئيسية نحصل على:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!$

صالح لـ ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$ .

حالات خاصة من ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ و ${\textstyle s={\frac {3}{4}}}$ نكون

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\,\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)$

تطبيق على دوال بيسل

دالة بيسل من النوع الأول لها متسلسلة قوى $J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (k+\nu +1)k!}}{\bigg (}{\frac {z}{2}}{\bigg )}^{2k+\nu }$

باستخدام نظرية رامانوجان الرئيسية، بالإضافة إلى بعض المتطابقات لدالة غاما وإعادة الترتيب، يمكننا حساب التكامل

${\frac {2^{\nu -2s}\pi }{\sin {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}J_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma (s-\nu )$

صالح لـ ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+{\tfrac {3}{2}}}$ .

بصورة مكافئة، إذا كانت دالة بيسل الكروية ${\textstyle j_{\nu }(z)}$ إذا كان ذلك مفضلاً، تصبح الصيغة

${\frac {2^{\nu -2s}{\sqrt {\pi }}(1-2s+2\nu )}{\cos {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}j_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma {\bigg (}{\frac {1}{2}}+s-\nu {\bigg )}$

صالح لـ ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+2}$ .

يتميز هذا الحل بقدرته على الاستيفاء بين المتطابقات الرئيسية لدالة غاما. وعلى وجه الخصوص، فإن اختيار ${\textstyle J_{1/2}({\sqrt {z}})}$ يعطي مربع دالة غاما، ${\textstyle j_{0}({\sqrt {z}})}$ يعطي صيغة التكرار ، ${\textstyle z^{-1/2}J_{1}({\sqrt {z}})}$ يعطي صيغة الانعكاس ، وتثبيتها على القيمة القابلة للتقييم ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ أو ${\textstyle s=1}$ يعطي دالة جاما بمفردها، حتى الانعكاس والتحجيم.

طريقة التكامل بين الأقواس

تُطبّق طريقة التكامل بين الأقواس (طريقة الأقواس) نظرية رامانوجان الرئيسية على نطاق واسع من التكاملات. ^{[ 8 ]} تُولّد هذه الطريقة متسلسلة تايلور للدالة المراد تكاملها ، وتُنشئ متسلسلة بين الأقواس، وتُحدّد معامل المتسلسلة ومعاملات الصيغة ، ثم تحسب التكامل. ^{[ 9 ]}

صيغ التكامل

يُحدد هذا القسم صيغ التكامل للدوال المراد تكاملها ذات الأسس الصحيحة المتتالية وبدونها ، وللتكاملات المفردة والمزدوجة. ويمكن تعميم صيغة التكامل للتكاملات المزدوجة لتشمل أي تكامل متعدد . وفي جميع الحالات، توجد قيمة للمعامل. ${\textstyle n^{\ast }}$ أو مصفوفة من قيم المعلمات ${\textstyle N^{\ast }}$ التي تحل معادلة خطية واحدة أو أكثر مشتقة من حدود الأس في متسلسلة توسيع الدالة التكاملية.

أسس صحيحة متتالية، متغير واحد

هذه هي صيغة توسيع متسلسلة الدالة ، والتكامل، والتكامل لدالة تكاملية تحتوي متسلسلة الدالة المراد تكاملها على أسس صحيحة متتالية. ^{[ 10 ]} ${\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}$ المعلمة $n^{\ast }$ يمثل حلاً لهذه المعادلة الخطية. $n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c$

الأسس العامة، متغير واحد

تطبيق الاستبدال ${\textstyle y=x^{a}}$ ^[⁹^] يُنشئ هذا البرنامج متسلسلة الدوال، والتكامل، وصيغة التكامل لتكامل قد لا تحتوي متسلسلة الدالة المراد تكاملها على أسس صحيحة متتالية. ${\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}$ المعلمة ${\textstyle n^{\ast }}$ يمثل حلاً لهذه المعادلة الخطية. $a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c$

الأسس الصحيحة المتتالية، التكامل المزدوج

هذه هي صيغة توسيع متسلسلة الدالة والتكامل والتكامل لتكامل مزدوج يحتوي توسيع متسلسلة الدالة المراد تكاملها على أسس صحيحة متتالية. ^{[ 11 ]} ${\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}$ المعايير ${\textstyle n_{1}^{\ast }}$ و ${\textstyle n_{2}^{\ast }}$ هي حلول لهذه المعادلات الخطية. $n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}$

الأسس العامة، التكامل المزدوج

يصف هذا القسم صيغة التكامل للتكامل الثنائي الذي قد لا يحتوي مفكوك متسلسلة الدالة المراد تكاملها على أسس صحيحة متتالية. تحتوي المصفوفات على المعاملات اللازمة للتعبير عن الأسس في مفكوك متسلسلة الدالة المراد تكاملها، ومحدد المصفوفة القابلة للعكس. ${\textstyle A}$ يكون ${\textstyle \det |A|}$ [ ¹²^] $A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}$ تطبيق الاستبدال $y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}$ يُنشئ هذا البرنامج متسلسلة الدوال، والتكامل، وصيغة التكامل لتكامل ثنائي قد لا تحتوي متسلسلة الدالة المراد تكاملها على أسس صحيحة متتالية. ^{[ 11 ]} صيغة التكامل هي ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}$ مصفوفة المعاملات ${\textstyle N^{\ast }}$ يمثل حلاً لهذه المعادلة الخطية. ^{[ 15 ]} $AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C$ .

مؤشر التعقيد الإيجابي

في بعض الحالات، قد يكون عدد المجاميع أكبر من عدد المتغيرات. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة المراد تكاملها ناتج ضرب ثلاث دوال لمتغير واحد مشترك، وتم تحويل كل دالة إلى مجموع متسلسلة، فإن الدالة المراد تكاملها تصبح الآن ناتج ضرب ثلاث مجاميع، كل مجموع منها يقابل متسلسلة مختلفة.

عدد الأقواس هو عدد المعادلات الخطية المرتبطة بالتكامل. ويعكس هذا المصطلح الممارسة الشائعة المتمثلة في وضع كل معادلة خطية بين قوسين. ^{[ 16 ]}
مؤشر التعقيد هو عدد مجاميع التكامل مطروحًا منه عدد الأقواس (المعادلات الخطية). يساهم كل توسيع متسلسلة للتكامل بمجموع واحد. ^{[ 16 ]}
مؤشرات الجمع (المتغيرات) هي المؤشرات التي تُستخدم لترقيم الحدود في متسلسلة تايلور. في المثال، يوجد 3 مؤشرات جمع. ${\textstyle n_{1},n_{2}}$ و ${\textstyle n_{3}}$ لأن الدالة التكاملية هي ناتج ضرب 3 متسلسلات. ^{[ 17 ]}
مؤشرات الجمع الحرة (المتغيرات) هي مؤشرات الجمع المتبقية بعد إتمام جميع عمليات التكامل. يقلل التكامل عدد المجاميع في الدالة المراد تكاملها باستبدال متسلسلات التوسيع (المجاميع) بصيغة تكامل. وبالتالي، يقل عدد مؤشرات الجمع بعد التكامل. يساوي عدد مؤشرات الجمع الحرة المختارة مؤشر التعقيد. ^{[ 17 ]}

التكاملات ذات مؤشر التعقيد الموجب

مؤشرات الجمع الحر ${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$ هي عناصر المجموعة ${\textstyle F}$ مصفوفة مؤشرات الجمع الحر هي ${\textstyle {\bar {N}}}$ ومعاملات مؤشرات الجمع الحر هي مصفوفة ${\textstyle {\bar {A}}}$ . ${\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}$ يتم تحديد المؤشرات المتبقية ${\textstyle B}$ يحتوي على فهارس ${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$ المصفوفات ${\textstyle A,C}$ و ${\textstyle N^{\ast }}$ تحتوي على عناصر مصفوفة تُضرب أو تُجمع مع المؤشرات غير القابلة للجمع. يجب أن تخرج مؤشرات الجمع الحرة المختارة من المصفوفة ${\textstyle A}$ غير مفرد. $A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}$ هذه هي صيغة متسلسلة الدالة، والتكامل، والتكامل. ^{[ 18 ]} ${\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}$ المعايير ${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$ هي دوال خطية للمعاملات ${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$ [ ¹⁹^] $A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)$ .

سلسلة التصفيات

الجدول 1. رموز سلسلة الأقواس
نوع الترميز	ترميز متسلسلة القوى	ترميز سلسلة الأقواس
مؤشر	${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$	$\phi _{n}$
مؤشر متعدد	$\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {(-1)^{n_{j}}}{n_{j}!}}\right)$	$\phi _{n_{1},\ldots ,n_{N}}$
قوس	$\int _{0}^{\infty }dx\ x^{a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c-1}$	$\langle a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c\rangle$

تُستخدم رموز متسلسلة الأقواس كبديل لرموز متسلسلة القوى الشائعة (الجدول 1). ^{[ 20 ]} يؤدي استبدال رموز متسلسلة القوى برموز متسلسلة الأقواس إلى تحويل متسلسلة القوى إلى متسلسلة أقواس. تُسهّل متسلسلة الأقواس تحديد معاملات الصيغة اللازمة للتكامل. كما يُوصى باستبدال المجموع المرفوع إلى قوة: ^{[ 20 ]} ${\frac {1}{(x_{1}+\ldots +x_{b})^{\alpha }}}$ باستخدام تعبير سلسلة الأقواس هذا: $\sum _{m_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{m_{b}=0}^{\infty }\ \phi _{m_{1},\dots ,m_{b}}\ x_{1}^{m_{1}}\dots x_{b}^{m_{b}}{\frac {\langle \alpha +m_{1}+\ldots +m_{b}\rangle }{\Gamma (\alpha )}}.$

الخوارزمية

تصف هذه الخوارزمية كيفية تطبيق الصيغ التكاملية. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 21 ]}

الجدول 2. صيغ التكامل
مؤشر التعقيد	الصيغة التكاملية
صفر، تكامل واحد	$a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast })$
صفر، تكامل متعدد	$\det \|A\|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast })$
إيجابي	$\det \|A\|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})$

إدخال تعبير تكاملي

لا يمكن تعيين قيمة للقيمة التكاملية أو القيمة الصحيحة.

عبّر عن الدالة المراد تكاملها على شكل متسلسلة قوى.
حوّل متسلسلة قوى الدالة المراد تكاملها إلى متسلسلة أقواس.
احصل على مؤشر التعقيد، ومعاملات الصيغة، ودالة معامل السلسلة.
1. مؤشر التعقيد هو عدد مجاميع الدوال التكاملية مطروحًا منه عدد الأقواس.
2. حدود ${\textstyle n^{\ast }}$ أو مصفوفة ${\textstyle N^{\ast }}$ هي حلول للمعادلات الخطية ${\textstyle an^{\ast }+c=0}$ (مؤشر تعقيد صفري، تكامل واحد)، ${\textstyle AN^{\ast }+C=0}$ (مؤشر تعقيد صفري، تكامل واحد) أو ${\textstyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$ (مؤشر تعقيد إيجابي).
3. تحديد المعلمة ${\textstyle a}$ أو (مؤشر تعقيد صفري، تكامل واحد) أو احسب ${\textstyle \det |A|}$ (جميع الحالات الأخرى) من المعادلات الخطية المرتبطة بها.
4. حدد دالة معامل المتسلسلة ${\textstyle \varphi ()}$ من سلسلة الأقواس.
إذا كان مؤشر التعقيد سالبًا، فلا يمكن تعيين قيمة للدالة return integral.
إذا كان مؤشر التعقيد يساوي صفرًا، فاختر الصيغة من الجدول 2 لمؤشر التعقيد الصفري، أو التكامل الفردي أو المتعدد، واحسب قيمة التكامل باستخدام هذه الصيغة، وأرجع قيمة التكامل هذه.
إذا كان مؤشر التعقيد موجبًا، فاختر الصيغة من الجدول 2 لمؤشر التعقيد الموجب، واحسب القيمة التكاملية كتوسيع متسلسلة باستخدام هذه الصيغة لجميع الخيارات الممكنة لمؤشرات الجمع الحرة. اختر أقل مؤشر تعقيد، وتوسيع متسلسلة متقاربة ، واجمع المتسلسلات التي تتقارب في نفس المنطقة.
1. إذا كانت جميع متسلسلات التوسع متسلسلات متباعدة أو متسلسلات صفرية (جميع حدود السلسلة صفر)، فلا يمكن تعيين قيمة للتكامل المرجعي.
2. إذا كان توسيع المتسلسلة غير صفري وغير متباعد، فأرجع توسيع هذه المتسلسلة كقيمة صحيحة.

أمثلة

مؤشر التعقيد الصفري

ستقوم طريقة الأقواس بإجراء التكامل لهذا التكامل. $\int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx$

عبّر عن الدالة المراد تكاملها على شكل متسلسلة قوى. $\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx$
حوّل متسلسلة القوى إلى متسلسلة أقواس. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle$
احصل على مؤشر التعقيد، ومعاملات الصيغة، ودالة معامل السلسلة.

مؤشر التعقيد يساوي صفرًا.

{\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}

{\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}

{\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}

.

استخدم الجدول 2 لحساب التكامل.

$\int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx$ $=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })$ $={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}$

مؤشر التعقيد الإيجابي

ستقوم طريقة الأقواس بإجراء التكامل لهذا التكامل. $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx$ 1. عبّر عن الدالة المراد تكاملها على شكل متسلسلة قوى. استخدم صيغة مجموع القوى المرفوعة إلى قوة. $\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx$ 2. حوّل متسلسلة القوى إلى متسلسلة أقواس. $\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle$ 3. الحصول على مؤشر التعقيد، ومعاملات الصيغة، ودالة معامل السلسلة.

مؤشر التعقيد هو 1 حيث أن هناك 3 عمليات جمع وقوسين.

يختار

{\textstyle n_{3}}

باعتباره فهرسًا مجانيًا،

{\textstyle {\bar {n}}_{3}}

المعادلات الخطية، والحلول، والمحدد، ومعامل المتسلسلة هي

$5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0$ ${\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0$ $AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0$ $\det |A|=5$ $n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.$ $\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$ 4. استخدم الجدول 2 لحساب التكامل ${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}$

الاقتباسات

1 2 بيرندت 1985 .
^ غونزاليس ومول وشميدت 2011 .
↑ Glaisher 1874 ، ص 53-55.
↑ Amdeberhan et al. 2012 ، ص 103-120.
↑ هاردي 1978 .
^ أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 4، ث. 3.2.
↑ إسبينوزا ومول 2002 ، ص 449-468.
↑ غونزاليس ومول 2010 ، ص 50-73.
1 2 3 غونزاليس، جيو ومول 2020 ، ص 983-985.
1 2 أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 117، إق. 9.5.
1 2 Amdeberhan et al. 2012 ، ص. 118.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 7.
^ أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 118، إق. 9.6.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 8.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 9.
1 2 غونزاليس وآخرون. 2022 ، ص. 28.
1 2 Amdeberhan et al. 2012 ، ص. 117.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 10.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 11.
1 2 غونزاليس، مول وشميدت 2011 ، ص. 8.
^ أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إكنس. 9-11.

مراجع

أمديبرهان، تيودروس؛ غونزاليس، إيفان؛ هاريسون، مارشال؛ مول، فيكتور هـ.؛ شتراوب، أرمين (2012). "نظرية رامانوجان الرئيسية". مجلة رامانوجان . 29 ( 1-3 ): 103-120 . CiteSeerX 10.1.1.232.8448 . doi : 10.1007/s11139-011-9333-y . S2CID 8886049 .
أنانثانارايان، ب.؛ بانيك، سوميت؛ فريوت، صموئيل؛ باثاك، تاناي (2023). "طريقة الأقواس: إعادة النظر في تقنية لحساب تكاملات فاينمان وبعض التكاملات المحددة" . مجلة Physical Review D. 108 ( 8) 085001. Bibcode : 2023PhRvD.108h5001A . doi : 10.1103/PhysRevD.108.085001 .
بيرندت، ب. (1985). دفاتر رامانوجان، الجزء الأول . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
إسبينوزا، أوليفييه؛ مول، فيكتور هـ. (2002). "حول بعض التكاملات التي تتضمن دالة زيتا لهورويتز. الجزء الثاني". مجلة رامانوجان . 6 (4): 449-468 . doi : 10.1023/A:1021171500736 . MR 2125010 .
غليشر، جيه دبليو إل (1874). "صيغة جديدة في التكاملات المحددة". مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 48 (315): 53-55 . doi : 10.1080/14786447408641072 .
غونزاليس، إيفان؛ مول، في إتش؛ شميدت، إيفان (2011). "نظرية رامانوجان الرئيسية المعممة المطبقة على تقييم مخططات فاينمان". arXiv : 1103.0588 [ math-ph ].
غونزاليس، إيفان؛ مول، فيكتور هـ. (2010). "التكاملات المحددة بطريقة الأقواس. الجزء 1". التقدم في الرياضيات التطبيقية . 45 (1): 50-73 . doi : 10.1016/j.aam.2009.11.003 . hdl : 10533/144788 .
غونزاليس، إيفان؛ كول، كارين؛ جيو، لين؛ مول، فيكتور هـ. (1 يناير 2017). "توسيع لطريقة الأقواس. الجزء 1" . الرياضيات المفتوحة . 15 (1): 1181-1211 . arXiv : 1707.08942 . doi : 10.1515/math-2017-0100 . ISSN 2391-5455 .
غونزاليس، إيفان؛ كول، كارين؛ جيو، لين؛ مول، فيكتور هـ. (مارس 2018). "طريقة الأقواس في الرياضيات التجريبية". آفاق في كثيرات الحدود المتعامدة ومتسلسلات q . وورلد ساينتيفيك. ص 307-318 . doi : 10.1142/9789813228887_0016 . ISBN 978-981-322-887-0.
غونزاليس، إيفان؛ جيو، لين؛ مول، فيكتور هـ. (2020). "توسيع لطريقة الأقواس. الجزء 2" . الرياضيات المفتوحة . 18 (1): 983-995 . arXiv : 1707.08942 . doi : 10.1515/math-2020-0062 . ISSN 2391-5455 .
غونزاليس، إيفان؛ كوندراشوك، إيغور؛ مول، فيكتور هـ.؛ ريكابارين، لويس م. (2022). "تكاملات ميلين-بارنز وطريقة الأقواس" . المجلة الأوروبية للفيزياء ج . 82 (1): 28. arXiv : 2108.09421 . Bibcode : 2022EPJC...82...28G . doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09977-x . ISSN 1434-6052 .
هاردي، جي إتش (1978). رامانوجان: اثنتا عشرة محاضرة حول مواضيع مستوحاة من حياته وعمله ( الطبعة الثالثة). نيويورك، نيويورك: تشيلسي. ISBN 978-0-8284-0136-4.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية رامانوجان الرئيسية" . عالم الرياضيات .

[FOOTNOTEBerndt1985-1] 1 2 بيرندت 1985 .

[FOOTNOTEGonzálezMollSchmidt2011-2] غونزاليس ومول وشميدت 2011 .

[FOOTNOTEGlaisher187453–55-3] Glaisher 1874 ، ص 53-55.

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll2012103–120-4] Amdeberhan et al. 2012 ، ص 103-120.

[FOOTNOTEHardy1978-5] هاردي 1978 .

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll20124Thm._3.2-6] أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 4، ث. 3.2.

[FOOTNOTEEspinosaMoll2002449–468-7] إسبينوزا ومول 2002 ، ص 449-468.

[FOOTNOTEGonzalezMoll201050–73-8] غونزاليس ومول 2010 ، ص 50-73.

[FOOTNOTEGonzalezJiuMoll2020983–985-9] 1 2 3 غونزاليس، جيو ومول 2020 ، ص 983-985.

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll2012117Eqn._9.5-10] 1 2 أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 117، إق. 9.5.

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll2012118-11] 1 2 Amdeberhan et al. 2012 ، ص. 118.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqn._7-12] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 7.

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll2012118Eqn._9.6-13] أمديبرهان وآخرون. 2012 ، ص. 118، إق. 9.6.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqn._8-14] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 8.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqn._9-15] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 9.

[FOOTNOTEGonzalezKondrashukMollRecabarren202228-16] 1 2 غونزاليس وآخرون. 2022 ، ص. 28.

[FOOTNOTEAmdeberhanGonzalezHarrisonMoll2012117-17] 1 2 Amdeberhan et al. 2012 ، ص. 117.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqn._10-18] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 10.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqn._11-19] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إق. 11.

[FOOTNOTEGonzálezMollSchmidt20118-20] 1 2 غونزاليس، مول وشميدت 2011 ، ص. 8.

[FOOTNOTEAnanthanarayanBanikFriotPathak2023Eqns._9-11-21] أنانثانارايان وآخرون. 2023 , إكنس. 9-11.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

19

[ 20 ]

[ 21 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗