طريقة رانكين-سيلبرغ

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف طريقة رانكين-سيلبرغ ، التي قدمها رانكين ( 1939 ) وسيلبرغ ( 1940 ) ، والمعروفة أيضًا بنظرية التمثيلات التكاملية لدوال L ، بأنها تقنية لبناء العديد من الأمثلة المهمة لدوال L ذاتية الشكل بشكل مباشر، واستكمالها تحليليًا . ويخصّص بعض الباحثين هذا المصطلح لنوع خاص من التمثيلات التكاملية، وهي تلك التي تتضمن متسلسلة أيزنشتاين . وقد كانت هذه الطريقة من أقوى التقنيات لدراسة برنامج لانغلاندز .  

تاريخ

تعود هذه النظرية، من بعض النواحي، إلى برنارد ريمان ، الذي عرض دالة زيتا كتحويل ميلين لدالة ثيتا لجاكوبي . استخدم ريمان سلوك دالة ثيتا التقاربي للحصول على الاستمرار التحليلي، وتماثلها الذاتي لإثبات المعادلة الدالية . طبق إريك هيكه ، ولاحقًا هانز ماس ، طريقة تحويل ميلين نفسها على الأشكال النمطية في النصف العلوي من المستوى المركب ، وبعد ذلك يمكن اعتبار مثال ريمان حالة خاصة.

قام كل من روبرت ألكسندر رانكين وأتلي سيلبرغ ، بشكل مستقل، بإنشاء دوال الالتفاف L الخاصة بهما ، والتي تُعرف الآن بدالة لانجلاندز L المرتبطة بالضرب الموتري للتمثيل القياسي لـ GL ( 2) مع نفسه. ومثل ريمان، استخدموا تكاملًا للأشكال النمطية، ولكن من نوع مختلف: فقد قاموا بتكامل حاصل ضرب وزنين.ك{\displaystyle k}الأشكال المعياريةو،ز{\displaystyle f,g}لΓ=Sل2(Z){\displaystyle \Gamma =\mathbf {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}مع سلسلة أيزنشتاين التحليلية الحقيقيةهـ(z،s){\displaystyle E(z,s)}في مجال أساسيد{\displaystyle D}من المجموعة المعيارية Γ{\displaystyle \Gamma }يعمل على النصف العلوي المعقد من المستوىح{\displaystyle {\mathfrak {H}}}بواسطة التحويلات الخطية الكسرية :

أنا(s)=∫دو(z)ز(z)¯هـ(z،s)أنام(z)كدμ(z)،Rهـ(s)>1،{\displaystyle \displaystyle I(s)=\int _{D}f(z){\overline {g(z)}}E(z,s){\mathfrak {Im}}(z)^{k}\;d\mu (z),\quad {\mathfrak {Re}}(s)>1,}

أينμ{\displaystyle \mu }هو Sل2(R){\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}مقياس ثابت علىح{\displaystyle {\mathfrak {H}}}مقدم منy-2دxدy{\displaystyle y^{-2}dxdy}يتقارب التكامل تقاربًا مطلقًا إذا كان أحد الشكلين مدببًا ؛ وإلا فيجب استخدام السلوك التقاربي للحصول على استمرار ميرومورفي كما فعل ريمان. عندئذٍ، يؤول الاستمرار التحليلي والمعادلة الدالية إلى معادلات متسلسلة أيزنشتاين. تم تحديد التكامل بدالة L الالتفافية بتقنية تُسمى "فك الالتفاف"، حيث يتم تحويل تعريف متسلسلة أيزنشتاين ونطاق التكامل إلى تعبير أبسط يُظهر دالة L كمتسلسلة ديريشليه بشكل أوضح . إن الجمع المتزامن بين فك الالتفاف والتحكم الشامل في الخصائص التحليلية هو ما يميز هذه التقنية ويجعلها ناجحة.

النظرية الأديلية الحديثة

قدّم هيرفيه جاكيه وروبرت لانجلاندز لاحقًا تمثيلات تكاملية أدلية للدوال القياسية ودوال حاصل الضرب الموتري L التي سبق أن حصل عليها ريمان وهيك وماس ورانكين وسيلبرغ. وقدّما نظرية شاملة للغاية، إذ أوضحا صيغ جميع العوامل المحلية، وصاغا المعادلة الدالية بصيغة دقيقة، وقدّما استمرارات تحليلية دقيقة.

التعميمات والقيود

تتوفر اليوم تمثيلات تكاملية لمجموعة كبيرة من الدوال الذاتية الشكل من النوع L ، إلا أن هناك عيبين رئيسيين. أولهما أنه ليس من الواضح أي من دوال L يمكن أن تمتلك تمثيلات تكاملية، أو كيفية إيجادها؛ ويُخشى أن تكون هذه الطريقة قد استُنفدت تقريبًا، على الرغم من اكتشاف أمثلة جديدة بين الحين والآخر عبر حجج ذكية. أما العيب الثاني فهو أنه من الصعب، بل ربما من المستحيل، حساب التكاملات المحلية بعد مرحلة فك التشفير. وهذا يعني أن التكاملات قد تمتلك الخصائص التحليلية المطلوبة، ولكنها قد لا تُمثل دالة L (بل شيئًا قريبًا منها).

وبالتالي، فإن امتلاك تمثيل تكاملي لدالة L لا يعني بالضرورة حلّ خصائصها التحليلية، فقد تبقى بعض المسائل التحليلية الجوهرية. مع ذلك، يضمن هذا التمثيل، على الأقل، أن لدالة L بنية جبرية من خلال عمليات حسابية شكلية لتكامل الأشكال الذاتية، وأنها تمتلك، في جميع المواضع باستثناء عدد محدود منها، حاصل ضرب أويلر المفترض لدالة L معينة . وفي كثير من الحالات، تُقدّم طريقة لانجلاندز-شاهيدي معلومات تكميلية.

أمثلة بارزة

  • دالة L القياسية على GL( n ) ( Godement – ​​Jacquet ). تم حل النظرية بالكامل في المخطوطة الأصلية.
  • دالة L القياسية على المجموعات الكلاسيكية ( بياتيتسكي-شابيرو - راليس ). عُرف هذا البناء بطريقة المضاعفة، وهو يعمل أيضًا مع التمثيلات غير العامة.
  • دالة حاصل الضرب الموتري L على GL( n ) × G حيث G زمرة كلاسيكية ( كاي - فريدبيرغ - جينزبورغ - كابلان ). كان هذا البناء تعميمًا واسعًا لطريقة المضاعفة، والمعروفة الآن باسم طريقة المضاعفة المعممة.  
  • دالة حاصل الضرب الموتري L على GL( n ) × GL( m ) (تتضمن دالة L القياسية إذا كان m = 1)، من ابتكار جاكيه، وبياتيتسكي-شابيرو، وشاليكا . وقد حُلّت النظرية بالكامل بواسطة موغلين - والدسبورغر ، ثم جرى عكس هندستها لإثبات "النظرية العكسية".    
  • المربع المتناظر على GL( n ) بسبب شيمورا ، وجيلبارت - جاكيه ( n  =  2)، وبياتيتسكي-شابيرو وباترسون ( n  =  3)، وبامب -جينزبورغ ( n  >  3).
  • المربع الخارجي على GL( n )، بسبب جاكيه-شاليكا وبامب-فريدبيرج.
  • الضرب الثلاثي على GL(2) × GL(2) × GL(2) (غاريت، وكذلك هاريس ، إيكيدا، بياتيتسكي-شابيرو، راليس، راماكريشنان، وأورلوف).    
  • مكعب متناظر على GL(2) (بامب-جينزبورغ-هوفشتاين).
  • القوة الرابعة المتناظرة على GL(2) (جينزبورغ-راليس).
  • الدالة القياسية L لـ E 6 و E 7 (جينزبورغ).
  • الدالة القياسية L لـ G 2 (جينزبورغ-هوندلي، غوريفيتش-سيغال).

مراجع