رسم الخرائط العقلانية

بصورة رسمية، خريطة عقلانية${\displaystyle f\colon V\to W}$العلاقة بين نوعين هي فئة تكافؤ من الأزواج${\displaystyle (f_{U},U)}$في أي${\displaystyle f_{U}}$هو تشاكل بين أصناف من مجموعة مفتوحة غير فارغة${\displaystyle U\subset V}$ل${\displaystyle W}$وزوجان من هذا القبيل${\displaystyle (f_{U},U)}$و${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$تُعتبر متكافئة إذا${\displaystyle f_{U}}$و${\displaystyle {f'}_{U'}}$يتطابقان عند التقاطع${\displaystyle U\cap U'}$(وهذا صحيح بشكل خاص إذا كان التقاطع فارغًا، ولكن بما أن${\displaystyle V}$بافتراض عدم قابليتها للاختزال، فهذا مستحيل). يعتمد إثبات أن هذا يُعرّف علاقة تكافؤ على اللمة التالية:

• إذا كان هناك شكلان متماثلان من الأصناف متساويان على مجموعة مفتوحة غير فارغة، فإنهما متساويان.

${\displaystyle f}$يُقال إنها مهيمنة إذا كان أحد الممثلين (أو كل ممثل)${\displaystyle f_{U}}$في فئة التكافؤ يكون هناك تشاكل مهيمن ، أي أن له صورة كثيفة.${\displaystyle f}$يُقال إن العدد ثنائي النسبي إذا وُجدت خريطة نسبية${\displaystyle g\colon W\to V}$وهو عكسه، حيث يتم أخذ التركيب بالمعنى المذكور أعلاه.

تكمن أهمية الخرائط الكسرية في الهندسة الجبرية في العلاقة بين هذه الخرائط والخرائط بين حقول الدوال لـ${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$بحسب التعريف، الدالة الكسرية هي مجرد دالة كسرية مداها هو الخط الإسقاطي . يسمح لنا تركيب الدوال بـ " سحب " الدوال الكسرية على طول دالة كسرية، بحيث تصبح دالة كسرية واحدة${\displaystyle f\colon V\to W}$يُحدث تماثلًا بين الحقول${\displaystyle K(W)\to K(V)}$وعلى وجه الخصوص، تُعدّ النظرية التالية أساسية: الدالة من فئة الأصناف الإسقاطية ذات الخرائط العقلانية المهيمنة (على حقل أساسي ثابت، على سبيل المثال)${\displaystyle \mathbb {C} }$) إلى فئة امتدادات الحقول المولدة بشكل محدود للحقل الأساسي مع تضمين عكسي للامتدادات كتشاكلات، والتي تربط كل صنف بحقل وظائفه وكل خريطة بالخريطة المرتبطة بحقول الوظائف، هو تكافؤ بين الفئات .

توجد خريطة منطقية${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$إرسال نسبة${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$منذ تلك النقطة${\displaystyle [0:0:1]}$لا يمكن أن يكون لها صورة، فهذه الخريطة نسبية فقط، وليست تشاكلاً بين أصناف. وبشكل أعم، توجد خرائط نسبية${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$ل${\displaystyle m>n}$إرسال${\displaystyle m}$-tuple إلى${\displaystyle n}$-tuple عن طريق نسيان الإحداثيات الأخيرة.

على مجموعة متنوعة متصلة${\displaystyle X}$، وإدراج أي صنف فرعي مفتوح${\displaystyle i:U\to X}$هو تكافؤ ثنائي نسبي لأن النوعين لهما حقول دوال متكافئة. أي أن كل دالة نسبية${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$يمكن حصرها في دالة كسرية${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$وبالعكس، دالة كسرية${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$يُعرّف فئة تكافؤ عقلانية${\displaystyle (U,f)}$على${\displaystyle X}$ومن الأمثلة الممتازة على هذه الظاهرة التكافؤ الثنائي النسبي لـ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$و${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$، لذلك${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

تُقدّم فضاءات التغطية على المجموعات الجزئية المفتوحة من مجموعة متنوعة أمثلةً وافرةً على الدوال الكسرية التي ليست ثنائية كسرية. على سبيل المثال، تنصّ نظرية بيلي على أن كل منحنى جبري${\displaystyle C}$يسمح بدخول خريطة${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$والتي تتفرع عند ثلاث نقاط. ثم هناك مساحة تغطية مرتبطة بها${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$والذي يُعرّف تشاكلًا عقلانيًا مهيمنًا ليس ثنائي العقل. وتأتي فئة أخرى من الأمثلة من المنحنيات الإهليلجية الفائقة التي تُعدّ أغطية مزدوجة لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$متفرعة عند عدد محدود من النقاط. وهناك فئة أخرى من الأمثلة تُعطى بأخذ سطح فائق${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$وتقييد خريطة عقلانية${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ل${\displaystyle X}$وهذا يُعطي غطاءً متفرعًا. على سبيل المثال، السطح المكعب الذي يُعطيه موضع التلاشي${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$يحتوي على خريطة منطقية إلى${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$إرسال${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$يمكن التعبير عن هذه الخريطة العقلانية بالدرجة.${\displaystyle 3}$توسيع المجال$${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$$

من الأمثلة الكلاسيكية للدالة الثنائية النسبية حل النقاط الشاذة . على حقل ذي خاصية صفر، كل صنف شاذ${\displaystyle X}$له نوع غير مفرد مرتبط به${\displaystyle Y}$باستخدام خريطة ثنائية النسب${\displaystyle \pi :Y\to X}$تتمتع هذه الخريطة بخاصية أنها متماثلة على${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$والألياف فوق${\displaystyle {\text{غناء}}(X)}$هو قاسم تقاطع عادي. على سبيل المثال، منحنى عقدي مثل${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$هو ثنائي العقلانية لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$بما أن المنحنى من الناحية الطوبولوجية هو منحنى إهليلجي مع انكماش إحدى الدوائر، فإن الخريطة الثنائية النسبية تُعطى بالتطبيع .

يُقال إن نوعين متكافئان ثنائيًا إذا وُجدت بينهما دالة ثنائية نسبية؛ وتنص هذه النظرية على أن التكافؤ الثنائي النسبي للأنواع يُطابق تماثل حقول دوالها كامتدادات للحقل الأساسي. وهذا أكثر مرونةً من مفهوم تماثل الأنواع (الذي يتطلب وجود تشاكل مُعرَّف عالميًا ليشهد على التماثل، وليس مجرد دالة نسبية)، إذ توجد أنواع ثنائية نسبية ولكنها غير متماثلة.

المثال المعتاد هو ذلك${\displaystyle \mathbb {P} _{ك}^{2}}$ثنائي النسب بالنسبة للنوع${\displaystyle X}$وارد في${\displaystyle \mathbb {P} _{ك}^{3}}$يتكون من مجموعة النقاط الإسقاطية${\displaystyle [w:x:y:z]}$بحيث${\displaystyle xy-wz=0}$لكنها ليست متماثلة. في الواقع، أي منحنيين في${\displaystyle \mathbb {P} _{ك}^{2}}$تتقاطع، لكن الخطوط في${\displaystyle X}$محدد بواسطة${\displaystyle w=x=0}$و${\displaystyle y=z=0}$لا يمكن أن تتقاطع هذه النقاط لأن إحداثيات نقطة التقاطع ستكون جميعها أصفارًا. لحساب حقل الدالة لـ${\displaystyle X}$ننتقل إلى مجموعة فرعية خطية (لا تغير الحقل، وهو مظهر من مظاهر حقيقة أن التطبيق الكسري يعتمد فقط على سلوكه في أي مجموعة فرعية مفتوحة من مجاله) حيث${\displaystyle w\neq 0}$في الفضاء الإسقاطي، هذا يعني أنه يمكننا أن نأخذ${\displaystyle w=1}$وبالتالي، حدد هذه المجموعة الفرعية مع الخط الأفيني${\displaystyle xyz}$المستوى - هناك، حلقة الإحداثيات لـ${\displaystyle X}$يكون

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

عبر الخريطة${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$ومجال كسور الأخير هو فقط${\displaystyle k(x,y)}$، متماثل الشكل مع شكل${\displaystyle \mathbb {P} _{ك}^{2}}$لاحظ أنه لم نقم في أي وقت بإنتاج خريطة منطقية، على الرغم من أنه من الممكن القيام بذلك من خلال تتبع برهان النظرية.