معضلة تطبيع نوثر

في الرياضيات ، تُعدّ مبرهنة نوثر للتطبيع نتيجةً للجبر التبادلي ، وقد قدمتها إيمي نوثر عام 1926. ^{[ 1 ]} وتنص على أنه لأي حقل${\displaystyle k}$وأي جبر تبديلي منتهي التوليد من الرتبة k${\displaystyle A}$توجد عناصر${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}}$في${\displaystyle A}$التي تكون مستقلة جبريًا على${\displaystyle k}$ومثل ذلك${\displaystyle A}$هي وحدة مولدة نهائياً على حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle S=k[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}]}$العدد الصحيح${\displaystyle d}$يساوي بُعد كرول للحلقة${\displaystyle A}$وإذا${\displaystyle A}$هو مجال تكاملي ،${\displaystyle d}$وهي أيضًا درجة التجاوز لحقل كسور${\displaystyle A}$على k.

لهذه النظرية تفسير هندسي. لنفترض أن A هي حلقة الإحداثيات لمتنوعة أفينية X ، ولنعتبر S حلقة الإحداثيات لفضاء أفيني ذي d بُعد .${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ثم خريطة التضمين${\displaystyle S\hookrightarrow A}$يُحفز تشاكلًا نهائيًا شاملًا للأصناف الأفينية${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$أي أن أي تنوع أفيني هو غطاء متفرع للفضاء الأفيني. عندما يكون k لانهائيًا، يمكن إنشاء خريطة الغطاء المتفرع هذه عن طريق أخذ إسقاط عام من فضاء أفيني يحتوي على X إلى فضاء فرعي ذي d بُعد.

بشكلٍ أعم، بلغة المخططات ، يمكن صياغة النظرية بصورة مكافئة كما يلي: كل مخطط أفيني من الرتبة k (من النوع المحدود ) X يكون محدودًا على فضاء أفيني ذي n بُعد. ويمكن تحسين النظرية لتشمل سلسلة من المُثُل في R (أو ما يُكافئها، مجموعات جزئية مغلقة من X ) تكون محدودة على فضاءات الإحداثيات الأفينية ذات الأبعاد المُناظرة. ^{[ 2 ]}

يمكن استخدام مبرهنة نوثر للتطبيع كخطوة مهمة في إثبات نظرية هيلبرت للأصفار ، وهي إحدى أهم نتائج الهندسة الجبرية الكلاسيكية . كما تُعدّ مبرهنة التطبيع أداةً مهمةً في ترسيخ مفهوم بُعد كرول للجبر من الرتبة k .

نظرية ( مبدأ نوثر للتطبيع ): ليكن k حقلاً و${\displaystyle A=k[y_{1}',...,y_{m}']}$لتكن جبرًا منتهيًا من الرتبة k . عندئذٍ، بالنسبة لعدد صحيح d ما ،${\displaystyle 0\leq d\leq m}$، هناك${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}$مستقلة جبريًا على k بحيث تكون A منتهية (أي مولدة بشكل منتهٍ كوحدة نمطية) على${\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{d}]}$(عندئذٍ يكون العدد الصحيح d مساوياً لبُعد كرول لـ A ). إذا كانت A مجالاً تكاملياً، فإن d هي أيضاً درجة التجاوز لحقل كسور A على k .

البرهان التالي منسوب إلى ناجاتا ويظهر في كتاب مامفورد الأحمر . ويُقدّم برهان ثانٍ، ذو طابع هندسي أكثر، في الصفحة 176 من النص نفسه .

البرهان: سنستخدم الاستقراء في الحالة م .${\displaystyle m=0}$يكون${\displaystyle k=A}$ولا يوجد ما يستدعي الإثبات. افترض${\displaystyle m=1}$. ثم${\displaystyle A\cong k[y]/I}$كجبر من الرتبة k ، حيث${\displaystyle I\subset k[y]}$هذا مثال مثالي. بما أن${\displaystyle k[y]}$هو مجال PID (وهو مجال إقليدي )،${\displaystyle I=(f)}$. لو${\displaystyle f=0}$انتهينا، لذا افترض${\displaystyle f\neq 0}$ليكن e درجة f . عندئذٍ ، يتم توليد A ، كفضاء متجهي من الرتبة k ، بواسطة${\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}$وبالتالي، فإن A محدودة على k . لنفترض الآن${\displaystyle m\geq 2}$إذا${\displaystyle y_{i}'}$إذا كانت مستقلة جبريًا، فبوضع${\displaystyle y_{i}=y_{i}'}$انتهينا. وإلا، يكفي إثبات الادعاء بوجود جبر فرعي من الرتبة k، S، من A، مُوَلَّد بواسطة${\displaystyle m-1}$العناصر، بحيث تكون A محدودة على S. في الواقع، من خلال فرضية الاستقراء، يمكننا أن نجد، لبعض الأعداد الصحيحة d ،${\displaystyle 0\leq d\leq m-1}$، عناصر مستقلة جبريًا${\displaystyle y_{1},...,y_{d}}$من S بحيث تكون S منتهية على${\displaystyle ك[y_{1},...,y_{d}]}$بما أن A مجموعة منتهية على S ، و S مجموعة منتهية على${\displaystyle ك[y_{1},...,y_{d}]}$وبذلك نحصل على النتيجة المرجوة وهي أن A مجموعة منتهية على${\displaystyle ك[y_{1},...,y_{d}]}$.

لإثبات هذا الادعاء، نفترض فرضية أن${\displaystyle y_{i}'}$ليست مستقلة جبريًا، لذا يوجد متعدد حدود غير صفري f في m متغير على k بحيث

${\displaystyle f(y_{1}',\ldots ,y_{m}')=0}$.

بفرض عدد صحيح r يتم تحديده لاحقًا، ضع

${\displaystyle z_{i}=y_{i}'-(y_{1}')^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m,}$

ولتبسيط الترميز، اكتب${\displaystyle {\tilde {y}}=y_{1}'.}$

ثم يقرأ ما سبق:

${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})=0.\ \ \ (*)}$

الآن، إذا${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+{\tilde {y}}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}$هو حد وحيد يظهر في الجانب الأيسر من المعادلة أعلاه، بمعامل${\displaystyle a\in k}$أعلى مصطلح في${\displaystyle {\tilde {y}}}$بعد توسيع المنتج يبدو كالتالي

${\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}}$.

عندما يتفق الأس المذكور أعلاه مع أعلى قيمة${\displaystyle {\tilde {y}}}$إذا كان الأس ناتجًا عن حدٍّ أحادي آخر، فمن الممكن أن يكون الحد الأعلى في${\displaystyle {\tilde {y}}}$ل${\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},...,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})}$لن يكون بالشكل المذكور أعلاه، لأنه قد يتأثر بالإلغاء. ومع ذلك، إذا كانت قيمة r كبيرة بما يكفي (على سبيل المثال، يمكننا تحديد${\displaystyle r=1+\deg f}$ثم كل${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$يشفر هذا النظام عددًا أساسيًا فريدًا r ، لذا لا يحدث هذا. بالنسبة لهذا العدد r ، لنفترض${\displaystyle c\in k}$ليكن معامل الحد الوحيد للدالة f من الدرجة المتعددة${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$الكمية${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}$أقصى قيمة. ضرب${\displaystyle (*)}$بواسطة${\displaystyle 1/c}$تعطي معادلة اعتماد تكاملي لـ${\displaystyle {\tilde {y}}}$زيادة${\displaystyle S=k[z_{2},...,z_{m}]}$، أي،${\displaystyle y_{1}'(={\tilde {y}})}$وهي متكاملة على S. علاوة على ذلك، لأن${\displaystyle A=S[y_{1}']}$، A في الواقع محدودة على S. هذا يكمل إثبات الادعاء، لذلك انتهينا من الجزء الأول.

علاوة على ذلك، إذا كانت A مجالًا تكامليًا، فإن d هي درجة التجاوز لحقل الكسور الخاص بها. في الواقع، A وحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle S=k[y_{1},...,y_{d}]}$لهما نفس درجة التجاوز (أي درجة حقل الكسور) لأن حقل كسور A جبري على حقل كسور S (بما أن A تكاملي على S ) و S له درجة تجاوز d . وبالتالي، يبقى إثبات أن بُعد كرول لـ S هو d . (وهذه أيضًا نتيجة لنظرية الأبعاد ). نستدل على d ، مع الحالة${\displaystyle d=0}$كونه أمراً تافهاً. بما أن${\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}$هي سلسلة من المُثُل الأولية، وبُعدها لا يقل عن d . وللحصول على التقدير العكسي، ليكن${\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$لتكن سلسلة من المُثُل العليا.${\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}$نطبق عملية التطبيع باستخدام نوثر ونحصل على${\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}$(في عملية التطبيع، لدينا حرية اختيار المتغير الأول) بحيث يكون S عددًا صحيحًا على T. وفقًا لفرضية الاستقراء،${\displaystyle T/(u)}$له أبعاد${\displaystyle d-1}$بسبب عدم قابليتها للمقارنة ،${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}$هي سلسلة من الطول${\displaystyle m}$ثم، في${\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}$، فتصبح سلسلة طويلة${\displaystyle m-1}$. منذ${\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}$لدينا${\displaystyle m-1\leq d-1}$. لذلك،${\displaystyle \dim S\leq d}$.${\displaystyle \square }$

يظهر التحسين التالي في كتاب إيزنبود، والذي يستند إلى فكرة ناجاتا: ^{[ 2 ]}

من الناحية الهندسية، يقول الجزء الأخير من النظرية أنه بالنسبة لـ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}$أي إسقاط خطي عام${\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}$يُنشئ تشاكلًا محدودًا${\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}$(انظر المقدمة)؛ بالإضافة إلى آيزنبد، انظر أيضًا.

من التطبيقات النموذجية غير التافهة لنظرية التطبيع، نظرية الحرية العامة : ليكن${\displaystyle A,B}$تكون حلقات بحيث${\displaystyle A}$لنفترض أن لدينا مجالًا تكامليًا نوثريًا، ووجود تماثل حلقي.${\displaystyle A\to B}$تلك المعارض${\displaystyle B}$كجبر مولد نهائيًا على${\displaystyle A}$ثم هناك بعض${\displaystyle 0\neq g\in A}$بحيث${\displaystyle B[g^{-1}]}$هو مجاني${\displaystyle A[g^{-1}]}$-وحدة.

ولإثبات ذلك، دع${\displaystyle F}$ليكن حقل الكسور لـ${\displaystyle A}$نناقش بالاستقراء بُعد كرول لـ${\displaystyle F\otimes _{A}B}$الحالة الأساسية هي عندما يكون بُعد كرول${\displaystyle -\infty }$؛ أي،${\displaystyle F\otimes _{A}B=0}$أي عندما يكون هناك بعض${\displaystyle 0\neq g\in A}$بحيث${\displaystyle gB=0}$، لهذا السبب${\displaystyle B[g^{-1}]}$مجاني كـ${\displaystyle A[g^{-1}]}$-وحدة. بالنسبة للخطوة الاستقرائية، لاحظ أن${\displaystyle F\otimes _{A}B}$هو مولد نهائي${\displaystyle F}$الجبر -. ومن ثم، وفقًا لفرضية نوثر للتطبيع،${\displaystyle F\otimes _{A}B}$يحتوي على عناصر مستقلة جبريًا${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$بحيث${\displaystyle F\otimes _{A}B}$تكون محدودة على حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ضرب كل${\displaystyle x_{i}}$بعناصر من${\displaystyle A}$، يمكننا أن نفترض${\displaystyle x_{i}}$في${\displaystyle B}$والآن ننتقل إلى النظر في:

${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}$

الآن${\displaystyle B}$قد لا تكون محدودة على${\displaystyle A'}$لكنها ستصبح محدودة بعد عكس عنصر واحد كما يلي. إذا${\displaystyle b}$هو عنصر من${\displaystyle B}$إذن، كعنصر من${\displaystyle F\otimes _{A}B}$، فهو جزء لا يتجزأ من${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$؛ أي،${\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle a_{i}}$في${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}$وبالتالي، بعض${\displaystyle 0\neq g\in A}$يُزيل جميع مقامات معاملات${\displaystyle a_{i}}$وهكذا${\displaystyle b}$يُعد جزءًا لا يتجزأ من${\displaystyle A'[g^{-1}]}$اختيار عدد محدود من مولدات${\displaystyle B}$كـ${\displaystyle A'}$باستخدام الجبر - وتطبيق هذه الملاحظة على كل مولد، نجد بعض${\displaystyle 0\neq g\in A}$بحيث${\displaystyle B[g^{-1}]}$هي متكاملة (وبالتالي محدودة) على${\displaystyle A'[g^{-1}]}$. يستبدل${\displaystyle B,A}$بواسطة${\displaystyle B[g^{-1}],A[g^{-1}]}$وبعد ذلك يمكننا أن نفترض${\displaystyle B}$محدود على${\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}$ختامًا، ضع في اعتبارك عملية ترشيح محدودة.${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}$بواسطة${\displaystyle A'}$- وحدات فرعية بحيث${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}$من أجل المثل العليا${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$(يوجد مثل هذا الترشيح وفقًا لنظرية الأعداد الأولية المرتبطة ). لكل i ، إذا${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}$بناءً على فرضية الاستقراء، يمكننا اختيار بعض${\displaystyle g_{i}\neq 0}$في${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}$مجاني كـ${\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}$-وحدة، بينما${\displaystyle A'}$هي حلقة متعددة الحدود، وبالتالي فهي حرة. ومن ثم، مع${\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}$،${\displaystyle B[g^{-1}]}$وحدة مجانية​${\displaystyle A[g^{-1}]}$.${\displaystyle \square }$

• أيزنبد، ديفيد (1995)، الجبر التبادلي: نظرة نحو الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  150، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-94268-8، MR 1322960 ، Zbl 0819.13001  
• مومفورد، ديفيد (1988)، الكتاب الأحمر للأصناف والمخططات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات ، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-662-21581-4
• "نظرية نوثر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]ملاحظة: اللمة موجودة في التعليقات المحدثة.
• Noether، Emmy (1926)، “Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher Liner Gruppen der Charakteristik p “ ، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28–35 ، أرشفة من الإصدار الأصلي في 8 آذار (مارس) 2013

• روبرتز، د.: توحيد نوثر الموجه بتحليلات المخروط أحادي الحد. مجلة الحساب الرمزي 44(10)، 1359-1373 (2009)