تكامل ريمان

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف المشتقة الجزئية تكامل متعدد تكامل خطي التكامل السطحي حجم التكامل جاكوبيان هيسيان
متقدم حساب التفاضل والتكامل في الفضاء الإقليدي الوظائف المعممة حدود التوزيعات
متخصص كسري ماليافين عشوائي الاختلافات
منوعات ما قبل حساب التفاضل والتكامل تاريخ المصطلحات قائمة المواضيع نحلة التكامل التحليل الرياضي تحليل غير قياسي
ف ت هـ

في فرع الرياضيات المعروف باسم التحليل الحقيقي ، كان تكامل ريمان ، الذي ابتكره برنهارد ريمان ، أول تعريف صارم لتكامل دالة على فترة . وقد تم تقديمه إلى هيئة التدريس في جامعة جوتنجن في عام 1854، ولكن لم يتم نشره في مجلة حتى عام 1868. ^[1] بالنسبة للعديد من الوظائف والتطبيقات العملية، يمكن تقييم تكامل ريمان من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل أو تقريبه بالتكامل العددي ، أو محاكاته باستخدام تكامل مونت كارلو .

تخيل أن لديك منحنى على رسم بياني، وأن المنحنى يظل أعلى المحور السيني بين نقطتين، أ وب. المساحة الواقعة أسفل هذا المنحنى، من أ إلى ب، هي ما نريد معرفته. يمكن وصف هذه المنطقة بأنها مجموعة جميع النقاط (x، y) على الرسم البياني التي تتبع هذه القواعد: أ ≤ x ≤ b (إحداثي x بين أ وب) و0 < y < f(x) (إحداثي y بين 0 وارتفاع المنحنى f(x)). رياضيًا، يمكن التعبير عن هذه المنطقة في صيغة بناء المجموعة على النحو التالي: $${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

لقياس هذه المساحة، نستخدم تكامل ريمان ، والذي يُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

تعني هذه الصيغة "تكامل f(x) من a إلى b"، وهي تمثل المساحة الدقيقة أسفل المنحنى f(x) وفوق المحور x، بين x = a وx = b.

تكمن الفكرة وراء تكامل ريمان في تقسيم المساحة إلى أشكال صغيرة وبسيطة (مثل المستطيلات)، ثم جمع مساحاتها، ثم جعل المستطيلات أصغر فأصغر للحصول على تقدير أفضل. في النهاية، عندما تكون المستطيلات صغيرة إلى ما لا نهاية، فإن المجموع يعطي المساحة الدقيقة، والتي يمثلها التكامل.

إذا انخفض المنحنى أسفل المحور السيني، يعطي التكامل مساحة موقعة . وهذا يعني أن التكامل يضيف الجزء الموجود أعلى المحور السيني موجبًا ويطرح الجزء الموجود أسفل المحور السيني سالبًا. لذا، يمكن أن تكون نتيجة \int_a^bf(x)\,dx موجبة أو سالبة أو صفرًا، اعتمادًا على مقدار المنحنى الموجود أعلى أو أسفل المحور السيني.

تقسيم الفاصلة [ a , b ] هو تسلسل منتهٍ من الأرقام من النموذج $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

يُطلق على كل [ x _i , x _{i + 1} ] اسم فاصل فرعي للقسم. يتم تعريف الشبكة أو القاعدة للقسم على أنها طول أطول فاصل فرعي، أي $${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

القسم المُوسوم P ( x , t ) من فاصل زمني [ a , b ] هو قسم مع اختيار نقطة عينة داخل كل فاصل زمني فرعي: أي الأرقام t ₀ , ..., t _{n − 1} مع t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] لكل i . شبكة القسم المُوسوم هي نفس شبكة القسم العادي.

افترض أن القسمين P ( x , t ) و Q ( y , s ) كلاهما قسمان للفاصل الزمني [ a , b ] . نقول إن Q ( y , s ) هو تحسين لـ P ( x , t ) إذا كان لكل عدد صحيح i ، مع i ∈ [0, n ] ، يوجد عدد صحيح r ( i ) بحيث x _i = y _{r ( i )} وبحيث t _i = s _j لبعض j مع j ∈ [ r ( i )، r ( i + 1)] . وهذا يعني أن القسم المُوسوم يقسم بعض الفواصل الزمنية الفرعية ويضيف نقاط عينة عند الضرورة، مما "يحسن" دقة القسم.

يمكننا تحويل مجموعة جميع الأقسام المميزة إلى مجموعة موجهة من خلال القول بأن أحد الأقسام المميزة أكبر من أو يساوي قسمًا آخر إذا كان الأول تحسينًا للأخير.

ليكن f دالة ذات قيمة حقيقية معرفة على الفاصل الزمني [ a , b ] . مجموع ريمان لـ f بالنسبة للقسم المسمى x ₀ , ..., x _n مع t ₀ , ..., t _{n − 1} هو ^[2] $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

كل حد في المجموع هو حاصل ضرب قيمة الدالة عند نقطة معينة وطول الفاصل. وبالتالي، يمثل كل حد المساحة (الموقّعة) لمستطيل بارتفاع f ( t _i ) وعرض x _{i + 1} − x _i . مجموع ريمان هو المساحة (الموقّعة) لجميع المستطيلات.

المفاهيم ذات الصلة الوثيقة هي مجموع داربو السفلي والعلوي . وهي مشابهة لمجموع ريمان، ولكن يتم استبدال العلامات بـ infimum و supremum (على التوالي) لـ f في كل فترة فرعية: $${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

إذا كانت f متصلة، فإن مجموعي داربوكس السفلي والعلوي لقسم غير مُوسم يساوي مجموع ريمان لذلك القسم، حيث يتم اختيار العلامات لتكون الحد الأدنى أو الأقصى (على التوالي) لـ f على كل فترة فرعية. (عندما تكون f غير متصلة على فترة فرعية، فقد لا يكون هناك علامة تحقق الحد الأدنى أو الحد الأقصى على تلك الفترة الفرعية.) تكامل داربوكس ، الذي يشبه تكامل ريمان ولكنه يعتمد على مجموعات داربوكس، يعادل تكامل ريمان.

بشكل عام، تكامل ريمان هو حد مجاميع ريمان لدالة ما مع زيادة دقة التقسيمات. إذا كان الحد موجودًا، فيقال إن الدالة قابلة للتكامل (أو بشكل أكثر تحديدًا قابلة للتكامل الريمان ). يمكن جعل مجموع ريمان أقرب ما يكون إلى تكامل ريمان عن طريق جعل التقسيم دقيقًا بدرجة كافية. ^[3]

أحد المتطلبات المهمة هو أن تصبح شبكة الأقسام أصغر فأصغر، بحيث يكون لها حد صفر. إذا لم يكن الأمر كذلك، فلن نحصل على تقريب جيد للدالة على فترات جزئية معينة. في الواقع، هذا يكفي لتحديد تكامل. على وجه التحديد، نقول إن تكامل ريمان لـ f موجود ويساوي s إذا تحقق الشرط التالي:

بالنسبة لجميع ε > 0 ، يوجد δ > 0 بحيث بالنسبة لأي قسم مُوسوم x ₀ ، ...، x _n و t ₀ ، ...، t _{n − 1} تكون شبكته أقل من δ ، لدينا $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

لسوء الحظ، من الصعب جدًا استخدام هذا التعريف. ومن شأنه أن يساعد في تطوير تعريف مكافئ لتكامل ريمان يكون من الأسهل التعامل معه. نقوم بتطوير هذا التعريف الآن، مع إثبات التكافؤ التالي. ينص تعريفنا الجديد على أن تكامل ريمان لـ f موجود ويساوي s إذا تحقق الشرط التالي:

بالنسبة لجميع ε > 0 ، يوجد قسم مُوسم y ₀ ، ...، y _m و r ₀ ، ...، r _{m − 1} بحيث بالنسبة لأي قسم مُوسم x ₀ ، ...، x _n و t ₀ ، ...، t _{n − 1} وهو تحسين لـ y ₀ ، ...، y _m و r ₀ ، ...، r _{m − 1} ، لدينا $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

يعني كلا هذين التعريفين أنه في النهاية، يتم حبس مجموع ريمان لـ f بالنسبة لأي قسم بالقرب من s . ونظرًا لأن هذا صحيح بغض النظر عن مدى قربنا من مطالبتنا بحبس المجاميع، فإننا نقول إن مجاميع ريمان تتقارب إلى s . هذه التعريفات هي في الواقع حالة خاصة لمفهوم أكثر عمومية، وهو net .

كما ذكرنا سابقًا، فإن هذين التعريفين متكافئان. بعبارة أخرى، يعمل s في التعريف الأول إذا وفقط إذا كان s يعمل في التعريف الثاني. لإظهار أن التعريف الأول يستلزم التعريف الثاني، ابدأ بـ ε واختر δ الذي يلبي الشرط. اختر أي قسم مُوسوم تكون شبكته أقل من δ . يكون مجموع ريمان الخاص به ضمن ε من s ، وأي تحسين لهذا القسم سيكون له أيضًا شبكة أقل من δ ، وبالتالي فإن مجموع ريمان للتحسين سيكون أيضًا ضمن ε من s .

لإظهار أن التعريف الثاني يستلزم التعريف الأول، من الأسهل استخدام تكامل داربو . أولاً، نظهر أن التعريف الثاني يعادل تعريف تكامل داربو؛ لهذا راجع مقال تكامل داربو . الآن سنبين أن دالة داربو القابلة للتكامل تلبي التعريف الأول. أصلح ε ، واختر قسمًا y ₀ ، ...، y _m بحيث يكون مجموعا داربو السفلي والعلوي بالنسبة لهذا القسم ضمن ε /2 من قيمة s لتكامل داربو. دع $${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

إذا كان r = 0 ، فإن f هي الدالة الصفرية، والتي من الواضح أنها قابلة للتكامل مع داربو وريمان مع تكامل صفري. لذلك، سنفترض أن r > 0. إذا كان m > 1 ، فإننا نختار δ بحيث $${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

إذا كان m = 1 ، فإننا نختار أن تكون δ أقل من واحد. اختر قسمًا مُوسومًا x ₀ ، ...، x _n و t ₀ ، ...، t _{n − 1} مع شبكة أصغر من δ . يجب أن نظهر أن مجموع ريمان يقع ضمن ε من s .

لرؤية ذلك، اختر فاصلًا [ x _i ، x _{i + 1} ] . إذا كان هذا الفاصل محصورًا داخل بعض [ y _j ، y _{j + 1} ] ، فحيث m j _و M j _هما الحد الأدنى والحد الأعلى لـ f على [ y _j ، y _{j + 1} ] على التوالي . إذا كانت جميع الفترات تتمتع بهذه الخاصية، فإن هذا من شأنه أن يختتم الإثبات، لأن كل حد في مجموع ريمان سيكون محددًا بحد مماثل في مجموعات داربو، وقد اخترنا مجموعات داربو لتكون قريبة من s . هذه هي الحالة عندما يكون m = 1 ، لذا فإن الإثبات قد انتهى في هذه الحالة. $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}}$$

لذلك، يمكننا أن نفترض أن m > 1. في هذه الحالة، من الممكن ألا يكون أحد [ x _i , x _{i + 1} ] موجودًا في أي [ y _j , y _{j + 1} ] . وبدلاً من ذلك، قد يمتد عبر فترتين من الفترات المحددة بواسطة y ₀ , ..., y _m . (لا يمكن أن يفي بثلاث فترات لأن δ يُفترض أن يكون أصغر من طول أي فترة واحدة.) في الرموز، قد يحدث أن $${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

(يمكننا أن نفترض أن جميع المتباينات صارمة لأنه بخلاف ذلك نكون في الحالة السابقة بناءً على افتراضنا لطول δ .) يمكن أن يحدث هذا على الأكثر m − 1 مرة.

للتعامل مع هذه الحالة، سنقوم بتقدير الفرق بين مجموع ريمان ومجموع داربو عن طريق تقسيم القسم x ₀ ، ...، x _n عند y _{j + 1.} ينقسم الحد f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) في مجموع ريمان إلى حدين: $${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

افترض، دون فقدان العمومية ، أن t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . إذن هذا الحد محدد بالحد المقابل في مجموع داربو لـ y _j . لتحديد الحد الآخر، لاحظ أن $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},}$$$${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لبعض (أي) من هذه الأشياء ،^*
_أنا∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] , $${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

نظرًا لأن هذا يحدث على الأكثر m − 1 مرة، فإن المسافة بين مجموع ريمان ومجموع داربو تكون على الأكثر ε / 2. وبالتالي، فإن المسافة بين مجموع ريمان و s تكون على الأكثر  ε .

لتكن الدالة التي تأخذ القيمة 1 عند كل نقطة. أي مجموع ريمان لـ f على [0, 1] سيكون له القيمة 1، وبالتالي فإن تكامل ريمان لـ f على [0, 1] هو 1. ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

لتكن دالة المؤشر للأعداد النسبية في [0, 1] ؛ أي تأخذ القيمة 1 للأعداد النسبية و0 للأعداد غير النسبية. هذه الدالة ليس لها تكامل ريمان. لإثبات ذلك، سنوضح كيفية إنشاء أقسام مُوسومة حيث تقترب مجموعات ريمان الخاصة بها بشكل تعسفي من الصفر والواحد. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

للبدء، دع x ₀ ، ...، x _n و t ₀ ، ...، t _{n − 1} يكون قسمًا مُوسومًا (كل t _i بين x _i و x _{i + 1} ). اختر ε > 0. لقد تم اختيار t _i بالفعل، ولا يمكننا تغيير قيمة f عند تلك النقاط. ولكن إذا قطعنا القسم إلى قطع صغيرة حول كل t i _، فيمكننا تقليل تأثير t _i . بعد ذلك، من خلال اختيار العلامات الجديدة بعناية، يمكننا جعل قيمة مجموع ريمان تتحول إلى أن تكون ضمن ε من الصفر أو الواحد.

خطوتنا الأولى هي تقطيع القسم. يوجد n من t _i ، ونريد أن يكون تأثيرها الإجمالي أقل من ε . إذا حصرنا كلًا منها في فترة طولها أقل من ε / n ، فإن مساهمة كل t _i في مجموع ريمان ستكون على الأقل 0 · ε / n وعلى الأكثر 1 · ε / n . وهذا يجعل المجموع الإجمالي على الأقل صفرًا وعلى الأكثر ε . لذا دع δ يكون عددًا موجبًا أقل من ε / n . إذا حدث أن اثنتين من t _i ضمن δ من بعضهما البعض، فاختر δ الأصغر. إذا حدث أن بعض t _i ضمن δ من بعض x _j ، و t _i لا يساوي x _j ، فاختر δ الأصغر. نظرًا لوجود عدد محدود من t _i و x _j ، فيمكننا دائمًا اختيار δ صغيرًا بدرجة كافية.

الآن نضيف قطعتين إلى القسم لكل t _i . ستكون إحدى القطعتين عند t _i − δ /2 ، وستكون الأخرى عند t _i + δ /2 . إذا غادرت إحداهما الفاصل الزمني [0, 1]، فإننا نتركها. ستكون t _i هي العلامة المقابلة للفاصل الزمني الفرعي $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

إذا كان t _i يقع مباشرة أعلى أحد x _j ، فإننا نسمح لـ t _i أن يكون العلامة لكلا الفترتين: $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

لا يزال يتعين علينا اختيار العلامات للفواصل الفرعية الأخرى. سنختارها بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي اختيار نقطة نسبية دائمًا ، بحيث يكون مجموع ريمان كبيرًا قدر الإمكان. سيؤدي هذا إلى جعل قيمة مجموع ريمان 1 − ε على الأقل. الطريقة الثانية هي اختيار نقطة غير نسبية دائمًا، بحيث يكون مجموع ريمان صغيرًا قدر الإمكان. سيؤدي هذا إلى جعل قيمة مجموع ريمان ε على الأكثر .

نظرًا لأننا بدأنا من قسمة عشوائية وانتهينا إلى أقرب ما نريد إلى الصفر أو الواحد، فمن الخطأ أن نقول إننا في النهاية محاصرون بالقرب من بعض الأرقام s ، لذا فإن هذه الدالة ليست قابلة للتكامل الريمان. ومع ذلك، فهي قابلة للتكامل ليبيج . وفقًا للمعنى الذي وضعه ليبيج، فإن تكاملها يساوي صفرًا، لأن الدالة تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا . ولكن هذه حقيقة تتجاوز نطاق تكامل ريمان.

هناك أمثلة أسوأ من ذلك. مكافئ (أي متساوٍ تقريبًا في كل مكان) لدالة ريمان القابلة للتكامل، ولكن توجد دوال محدودة غير قابلة للتكامل ريمان والتي لا تعادل أي دالة قابلة للتكامل ريمان. على سبيل المثال، دع C تكون مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور ، ودع I _C تكون دالة المؤشر الخاصة بها. ولأن C غير قابلة للقياس بواسطة جوردان ، فإن I _C ليست قابلة للتكامل بواسطة ريمان. علاوة على ذلك، لا توجد دالة g مكافئة لـ I _C قابلة للتكامل بواسطة ريمان: يجب أن تكون g ، مثل I _C ، صفرًا في مجموعة كثيفة، لذا كما في المثال السابق، فإن أي مجموع ريمان لـ g له تحسين يقع ضمن ε من 0 لأي عدد موجب  ε . ولكن إذا كان تكامل ريمان لـ g موجودًا، فيجب أن يساوي تكامل ليبيج لـ I _C ، وهو 1/2 . لذلك، فإن g ليست قابلة للتكامل بواسطة ريمان. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

من الشائع تعريف تكامل ريمان على أنه تكامل داربو . وذلك لأن تكامل داربو أبسط من الناحية الفنية ولأن الدالة تكون قابلة للتكامل باستخدام ريمان إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل باستخدام داربو.

لا تستخدم بعض كتب حساب التفاضل والتكامل أقسامًا عامة مُوسومة، بل تقتصر على أنواع محددة من الأقسام المُوسومة. إذا تم تقييد نوع القسم بشكل كبير، فقد تبدو بعض الوظائف غير القابلة للتكامل قابلة للتكامل.

أحد القيود الشائعة هو استخدام مجموع ريمان "اليسرى" و"اليمنى". في مجموع ريمان الأيسر، t _i = x _i لجميع i ، وفي مجموع ريمان الأيمن، t _i = x _{i + 1} لجميع i . هذا القيد وحده لا يفرض مشكلة: يمكننا تحسين أي قسم بطريقة تجعله مجموعًا يساريًا أو أيمنًا عن طريق تقسيمه عند كل t _i . بلغة أكثر رسمية، تكون مجموعة جميع مجموعات ريمان اليسرى ومجموعة جميع مجموعات ريمان اليمنى مشتركة في مجموعة جميع الأقسام الموسومة.

هناك قيد شائع آخر وهو استخدام التقسيمات المنتظمة للفاصل. على سبيل المثال، التقسيم المنتظم رقم n لـ [0, 1] يتكون من الفواصل $${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

مرة أخرى، هذا القيد وحده لا يفرض مشكلة، ولكن التفكير المطلوب لرؤية هذه الحقيقة أكثر صعوبة مما هو الحال في حالة مجموعات ريمان اليسرى واليمنى.

ومع ذلك، فإن الجمع بين هذه القيود، بحيث يستخدم المرء فقط مجموع ريمان الأيسر أو الأيمن على فترات مقسمة بانتظام، أمر خطير. إذا كان من المعروف مسبقًا أن الدالة قابلة للتكامل الريمان، فإن هذه التقنية ستعطي القيمة الصحيحة للتكامل. ولكن في ظل هذه الظروف، ستبدو دالة المؤشر قابلة للتكامل على [0، 1] مع تكامل يساوي واحدًا: ستكون كل نقطة نهاية لكل فترة فرعية عددًا نسبيًا، وبالتالي سيتم تقييم الدالة دائمًا عند أرقام نسبية، وبالتالي ستبدو دائمًا مساوية لواحد. تصبح المشكلة في هذا التعريف واضحة عندما نحاول تقسيم التكامل إلى جزأين. يجب أن تكون المعادلة التالية صحيحة: ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

إذا استخدمنا التقسيمات المنتظمة ومجموعات ريمان اليسرى أو اليمنى، فإن الحدين على اليسار يساويان الصفر، لأن كل نقطة نهاية باستثناء 0 و1 ستكون غير نسبية، ولكن كما رأينا فإن الحد على اليمين يساوي 1.

كما هو موضح أعلاه، يتجنب تكامل ريمان هذه المشكلة عن طريق رفض التكامل. يتم تعريف تكامل ليبيج بطريقة تجعل كل هذه التكاملات تساوي 0. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

تكامل ريمان هو تحويل خطي؛ أي إذا كانت f و g قابلة للتكامل الريمان على [ a ، b ] و α و β ثابتتان، إذن $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

نظرًا لأن تكامل ريمان للدالة هو عدد، فإن هذا يجعل تكامل ريمان دالة خطية على فضاء المتجه للدوال القابلة للتكامل بواسطة ريمان.

تكون الدالة المحدودة على فاصل مضغوط [ a , b ] قابلة للتكامل الريماني إذا وفقط إذا كانت متصلة في كل مكان تقريبًا (مجموعة نقاط انقطاعها لها مقياس صفر ، بمعنى مقياس لوبيج ). هذا هونظرية ليبيج-فيتالي (لوصف الدوال المتكاملة لريمان). وقد أثبتها بشكل مستقلجوزيبي فيتاليوهنريليبيجفي عام 1907، وتستخدم مفهومالقياس الصفري، لكنها لا تستخدم القياس العام أو التكامل الخاص بليبيج.

يمكن إثبات شرط التكامل بعدة طرق، ^{[4] [5] [6] [7]} أحدها موضح أدناه.

دليل

يكون الإثبات أسهل باستخدام تعريف داربو التكاملي للتكامل (رسميًا، شرط ريمان للتكامل) - تكون الدالة قابلة للتكامل الريمان إذا وفقط إذا كان من الممكن جعل المجموعين العلوي والسفلي قريبين بشكل تعسفي عن طريق اختيار قسم مناسب. يمكن إثبات اتجاه واحد باستخدام تعريف التذبذب للاستمرارية: [8] لكل ε موجب ، دع X ε تكون مجموعة النقاط في [ a ، b ] ذات التذبذب ε على الأقل . نظرًا لأن كل نقطة حيث f غير متصلة لها تذبذب موجب والعكس صحيح، فإن مجموعة النقاط في [ a ، b ] ، حيث f غير متصلة تساوي الاتحاد على { X 1/ n } لجميع الأعداد الطبيعية n . إذا لم يكن لهذه المجموعة مقياس لوبيج صفري ، فعندئذٍ من خلال الجمع القابل للعد للمقياس يوجد على الأقل مثل هذا n بحيث لا يكون لـ X 1/ n مقياس صفري. وبالتالي يوجد عدد موجب c بحيث يكون لكل مجموعة قابلة للعد من الفواصل المفتوحة التي تغطي X 1/ n طول إجمالي لا يقل عن c . وينطبق هذا بشكل خاص أيضًا على كل مجموعة محدودة من الفواصل. ويظل هذا صحيحًا أيضًا بالنسبة لـ X 1/ n ناقص عدد محدود من النقاط (حيث يمكن دائمًا تغطية عدد محدود من النقاط بمجموعة محدودة من الفواصل ذات الطول الإجمالي الصغير بشكل تعسفي). لكل قسم من [ a , b ] ، ضع في اعتبارك مجموعة الفترات التي تتضمن داخلها نقاطًا من X 1/ n . تتكون هذه الأجزاء الداخلية من غطاء مفتوح محدود من X 1/ n ، ربما يصل إلى عدد محدود من النقاط (التي قد تقع على حواف الفترات). وبالتالي فإن هذه الفترات لها طول إجمالي لا يقل عن c . ونظرًا لأن f في هذه النقاط لها تذبذب لا يقل عن 1/ n ، فإن الحد الأدنى والحد الأعلى لـ f في كل من هذه الفترات يختلفان بمقدار لا يقل عن 1/ n . وبالتالي فإن المجموع العلوي والسفلي لـ f يختلفان بمقدار لا يقل عن c / n . ونظرًا لأن هذا صحيح لكل قسم، فإن f ليست قابلة للتكامل الريماني. نثبت الآن الاتجاه المعاكس باستخدام المجموعات X ε المحددة أعلاه. [9] لكل ε ، X ε مضغوطة ، لأنها محدودة (بواسطة a و b ) ومغلقة: لكل سلسلة من النقاط في X ε التي تتقارب في [ a , b ] ، فإن حدها يقع في X ε أيضًا. وذلك لأن كل جوار لنقطة الحد هو أيضًا جوار لنقطة ما في X ε ، وبالتالي فإن f لها تذبذب لا يقل عن ε عليها. وبالتالي فإن نقطة الحد تقع في X ε . الآن، افترض أن f متصلة في كل مكان تقريبًا . إذن لكل ε ، يكون لـ X ε مقياس ليبيج صفر . وبالتالي، توجد مجموعات قابلة للعد من الفترات المفتوحة في [ a , b ] وهي غطاء مفتوح لـ X ε ، بحيث يكون المجموع على جميع أطوالها صغيرًا بشكل تعسفي. ونظرًا لأن X ε مضغوطة ، فهناك غطاء فرعي محدود - مجموعات محدودة من الفترات المفتوحة في [ a , b ] بطول إجمالي صغير بشكل تعسفي تحتوي معًا على جميع النقاط في X ε . نشير إلى هذه الفترات { I ( ε ) i }، حيث 1 ≤ i ≤ k ، لبعض k الطبيعية . إن المكمل لاتحاد هذه الفترات هو في حد ذاته اتحاد لعدد محدود من الفترات، والذي نشير إليه بـ { J ( ε ) i } (لـ 1 ≤ i ≤ k − 1 وربما لـ i = k ، k + 1 أيضًا). نوضح الآن أنه لكل ε > 0 ، توجد مجموعتان علوية وسفلية يكون الفرق بينهما أقل من ε ، والتي يتبعها تكامل ريمان. ولتحقيق هذه الغاية، ننشئ قسمًا لـ [ a , b ] على النحو التالي: نرمز إلى ε 1 = ε / 2( b − a ) و ε 2 = ε / 2( M − m ) ، حيث m و M هما الحد الأدنى والحد الأقصى لـ f على [ a , b ] . ونظرًا لأنه يمكننا اختيار فترات { I ( ε 1 ) i } ذات الطول الإجمالي الصغير بشكل تعسفي، فإننا نختارها بحيث يكون طولها الإجمالي أصغر من ε 2 . كل فترة من الفترات { J ( ε 1 ) i } لها تقاطع فارغ مع X ε 1 ، لذا فإن كل نقطة فيها لها جوار به تذبذب أصغر من ε 1 . تتكون هذه الجوارات من غطاء مفتوح للفاصل، ونظرًا لأن الفاصل مضغوط، فهناك غطاء فرعي محدود لها. هذا الغطاء الفرعي هو مجموعة محدودة من الفترات المفتوحة، وهي فترات فرعية لـ J ( ε 1 ) i (باستثناء تلك التي تتضمن نقطة حافة، والتي نأخذ تقاطعها فقط مع J ( ε 1 ) i ) . نأخذ نقاط حافة الفترات الفرعية لجميع J ( ε 1 ) i − s ، بما في ذلك نقاط حافة الفترات نفسها، كتقسيم لنا. وبالتالي فإن القسم يقسم [ أ ، ب ] إلى نوعين من الفواصل: فترات من النوع الأخير (هي نفسها فترات فرعية لبعض J ( ε 1 ) i ). في كل منها، تتذبذب f بمقدار أقل من ε 1 . نظرًا لأن الطول الإجمالي لهذه الفترات ليس أكبر من b − a ، فإنها تساهم معًا على الأكثر في ε 1( ب − أ ) = ε /2 إلى الفرق بين المجموع العلوي والسفلي للقسم. الفواصل { I ( ε ) i }. لها طول إجمالي أقل من ε 2 ، وتتذبذب عليها بما لا يزيد عن M − m . وبالتالي، فإنها تساهم معًا بأقل من ε 2( M − m ) = ε /2 إلى الفرق بين المجموع العلوي والسفلي للقسم. في المجمل، يكون الفرق بين المجموع العلوي والسفلي للقسم أصغر من ε ، كما هو مطلوب.

على وجه الخصوص، أي مجموعة قابلة للعد على الأكثر لها مقياس ليبيج صفر، وبالتالي فإن الدالة المحدودة (على فاصل مضغوط) التي تحتوي على عدد محدود أو قابل للعد من نقاط عدم الاستمرارية تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان. هناك معيار آخر كافٍ لتكامل ريمان على [ a ، b ] ، ولكنه لا يتضمن مفهوم القياس، وهو وجود حد يمين (أو يسار) عند كل نقطة في [ a ، b ) (أو ( a ، b ] ). ^[10]

تكون دالة المؤشر لمجموعة محدودة قابلة للتكامل الريماني إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للقياس بواسطة جوردان . يمكن تفسير تكامل ريمان من الناحية النظرية على أنه التكامل بالنسبة لمقياس جوردان.

إذا كانت الدالة ذات القيمة الحقيقية رتيبة على الفاصل الزمني [ a ، b ] فهي قابلة للتكامل الريماني، لأن مجموعة انقطاعاتها قابلة للعد على الأكثر، وبالتالي فهي ذات مقياس ليبيج صفر. إذا كانت الدالة ذات القيمة الحقيقية على [ a ، b ] قابلة للتكامل الريماني، فهي قابلة للتكامل الريماني . وهذا يعني أن قابلية التكامل الريماني هي شرط أقوى (أي أصعب في الوفاء به) من قابلية التكامل الريماني. والعكس ليس صحيحًا؛ فليست كل الدوال القابلة للتكامل الريماني قابلة للتكامل الريماني.

لا تعني نظرية ليبيج-فيتالي أن جميع أنواع عدم الاستمرارية لها نفس الوزن على العائق الذي يجعل دالة محدودة ذات قيمة حقيقية قابلة للتكامل الريماني على [ أ ، ب ] . في الواقع، ليس لبعض عدم الاستمرارية أي دور على الإطلاق في قابلية الدالة للتكامل الريماني - نتيجة لتصنيف عدم الاستمرارية للدالة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إذا كانت f _n متوالية متقاربة بشكل موحد على [ a , b ] ذات حد f ، فإن قابلية تكامل ريمان لجميع f _n تعني قابلية تكامل ريمان لـ f ، و $${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

ومع ذلك، فإن نظرية التقارب الأحادي للوبيج (على حد أحادي النقطة) لا تنطبق على تكاملات ريمان. وبالتالي، في تكامل ريمان، يكون تبرير الحدود تحت علامة التكامل أكثر صعوبة من الناحية المنطقية مقارنة بتكامل ليبج. ^[11]

من السهل توسيع تكامل ريمان إلى دوال بقيم في فضاء المتجه الإقليدي لأي n . يتم تعريف التكامل على أساس المكونات؛ بعبارة أخرى، إذا كانت f = ( f ₁ ، ...، f _n ) فإن ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

على وجه الخصوص، بما أن الأعداد المركبة هي فضاء متجه حقيقي ، فإن هذا يسمح بتكامل الدوال ذات القيمة المعقدة.

لا يتم تعريف تكامل ريمان إلا على فترات محدودة، ولا يمتد بشكل جيد إلى فترات غير محدودة. أبسط امتداد ممكن هو تعريف مثل هذا التكامل كحد ، أو بعبارة أخرى، كتكامل غير صحيح : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

يحمل هذا التعريف معه بعض التفاصيل الدقيقة، مثل حقيقة أنه ليس من الممكن دائمًا حساب القيمة الأساسية لكوشي $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك دالة الإشارة f ( x ) = sgn( x ) التي تساوي 0 عند x = 0 ، و1 لـ x > 0 ، و-1 لـ x < 0. بالتناظر، دائمًا، بغض النظر عن a . ولكن هناك العديد من الطرق لتوسيع فترة التكامل لملء الخط الحقيقي، ويمكن أن تنتج طرق أخرى نتائج مختلفة؛ بعبارة أخرى، لا يوجد حد متعدد المتغيرات دائمًا. يمكننا حساب $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

بشكل عام، هذا التكامل غير السليم لريمان غير معرف. حتى توحيد طريقة اقتراب الفاصلة من الخط الحقيقي لا يعمل لأنه يؤدي إلى نتائج غير بديهية بشكل مزعج. إذا اتفقنا (على سبيل المثال) على أن التكامل غير الصحيح يجب أن يكون دائمًا، فإن تكامل الإزاحة f ( x − 1) هو −2، وبالتالي فإن هذا التعريف ليس ثابتًا تحت التحولات، وهي خاصية غير مرغوب فيها للغاية. في الواقع، ليس فقط أن هذه الدالة ليس لها تكامل ريمان غير صحيح، بل إن تكامل ليبيج الخاص بها غير معرف أيضًا (يساوي ∞ − ∞ ). $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

لسوء الحظ، فإن تكامل ريمان غير السليم ليس قويًا بما يكفي. والمشكلة الأكثر خطورة هي أنه لا توجد نظريات قابلة للتطبيق على نطاق واسع لتبادل تكاملات ريمان غير السليمة مع حدود الدوال. في تطبيقات مثل متسلسلة فورييه ، من المهم أن تكون قادرًا على تقريب تكامل الدالة باستخدام تكاملات التقريبات للدالة. بالنسبة لتكاملات ريمان السليمة، تنص النظرية القياسية على أنه إذا كانت f _n عبارة عن متوالية من الدوال التي تتقارب بشكل موحد إلى f على مجموعة مضغوطة [ a ، b ] ، فإن $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

في الفواصل غير المضغوطة مثل الخط الحقيقي، يكون هذا خطأ. على سبيل المثال، لنفترض أن f _n ( x ) يساوي n ⁻¹ على [0, n ] وصفرًا في أي مكان آخر. بالنسبة لجميع n، لدينا: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

يتقارب التسلسل ( f _n ) بشكل موحد مع الدالة الصفرية، ومن الواضح أن تكامل الدالة الصفرية يساوي صفرًا. وبالتالي، $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

يوضح هذا أنه بالنسبة للتكاملات على فترات غير محدودة، فإن التقارب المنتظم للدالة ليس قويًا بما يكفي للسماح بمرور حد من خلال علامة تكامل. وهذا يجعل تكامل ريمان غير قابل للتطبيق في التطبيقات (على الرغم من أن تكامل ريمان يعين كلا الجانبين القيمة الصحيحة)، لأنه لا يوجد معيار عام آخر لتبادل الحد وتكامل ريمان، وبدون مثل هذا المعيار يصعب تقريب التكاملات عن طريق تقريب تكاملاتها.

إن الطريق الأفضل هو التخلي عن تكامل ريمان لصالح تكامل ليبيج . من الواضح أن تعريف تكامل ليبيج ليس تعميمًا لتكامل ريمان، ولكن ليس من الصعب إثبات أن كل دالة قابلة للتكامل مع ريمان قابلة للتكامل مع ليبيج وأن قيم التكاملين تتفق كلما تم تعريفهما معًا. علاوة على ذلك، فإن الدالة f المعرفة على فاصل محدود تكون قابلة للتكامل مع ريمان إذا وفقط إذا كانت محدودة ومجموعة النقاط حيث تكون f غير متصلة لها مقياس ليبيج صفر.

التكامل الذي هو في الواقع تعميم مباشر لتكامل ريمان هو تكامل هنستوك-كورزويل .

هناك طريقة أخرى لتعميم تكامل ريمان وهي استبدال العوامل x _{k + 1} − x _k في تعريف مجموع ريمان بشيء آخر؛ وبعبارة تقريبية، فإن هذا يعطي فترة التكامل مفهومًا مختلفًا للطول. هذا هو النهج الذي اتخذه تكامل ريمان-ستيلتجيس .

في حساب متعدد المتغيرات ، تكاملات ريمان للوظائف من هي تكاملات متعددة . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

إن تكامل ريمان غير مناسب للعديد من الأغراض النظرية. يمكن علاج بعض العيوب الفنية في تكامل ريمان باستخدام تكامل ريمان-ستيلتجيس ، وتختفي معظمها باستخدام تكامل ليبيج ، على الرغم من أن الأخير لا يحتوي على معالجة مرضية للتكاملات غير السليمة . تكامل القياس هو تعميم لتكامل ليبيج وهو في نفس الوقت أقرب إلى تكامل ريمان. تسمح هذه النظريات الأكثر عمومية بتكامل الدوال الأكثر "خشونة" أو "عالية التذبذب" التي لا يوجد تكامل ريمان لها؛ لكن النظريات تعطي نفس قيمة تكامل ريمان عندما يكون موجودًا.

في البيئات التعليمية، يقدم تكامل داربو تعريفًا أبسط وأسهل في التعامل معه؛ ويمكن استخدامه لتقديم تكامل ريمان. يتم تعريف تكامل داربو كلما كان تكامل ريمان، ويعطي دائمًا نفس النتيجة. وعلى العكس من ذلك، فإن تكامل القياس هو تعميم بسيط ولكنه أقوى لتكامل ريمان وقد دفع بعض المعلمين إلى الدعوة إلى استبدال تكامل ريمان في دورات حساب التفاضل والتكامل التمهيدية. ^[12]

• منطقة
• مشتق مضاد
• تكامل ليبيج

• شيلوف، جي إي، وجورفيتش، بي إل، 1978. التكامل والقياس والمشتق: نهج موحد ، ريتشارد أ. سيلفرمان، ترجمة دوفر للنشر. رقم ISBN 0-486-63519-8 . 
• أبوستول، توم (1974)، التحليل الرياضي ، أديسون ويسلي

• الوسائط المتعلقة بتكامل ريمان في ويكيميديا ​​كومنز
• "تكامل ريمان"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]