تروس إيبسيكلية

نظام التروس الكوكبية ( المعروف أيضًا باسم مجموعة التروس الكوكبية ) هو نظام تخفيض سرعة يتكون من ترسين مثبتين بحيث يدور مركز أحدهما (الترس الكوكبي) حول مركز الآخر (الترس الشمسي). يربط حامل بين مركزي الترسين ويدور ليحمل الترس الكوكبي (أو التروس الكوكبية) حول الترس الشمسي. تتعشق التروس الكوكبية والشمسية بحيث تدور دوائرها المسننة بسلاسة ودون انزلاق. إذا كان الترس الشمسي ثابتًا، فإن أي نقطة على دائرة الترس الكوكبي ترسم منحنى كوكبيًا .

يمكن تجميع سلسلة تروس كوكبية بحيث يدور الترس الكوكبي على السطح الداخلي لدائرة الخطوة لحلقة التروس الخارجية، أو الترس الحلقي، والذي يُسمى أحيانًا بالترس الحلقي . يُطلق على هذا التجميع، الذي يتضمن ترسًا كوكبيًا يتعشق مع كل من الترس الشمسي والترس الحلقي، اسم سلسلة التروس الكوكبية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} باختيار تثبيت أحد المكونات - حامل التروس الكوكبية، أو الترس الحلقي، أو الترس الشمسي - يمكن الحصول على ثلاث نسب تروس مختلفة. ^{[ 3 ]}

من أهم خصائص أنظمة التروس الكوكبية قدرتها على دمج مدخلات دورانية متعددة في مخرج واحد. ويمكن فهم هذا السلوك من خلال تشبيه خطي مكافئ (الترس المسنن والجريدة المسننة)، مما يبسط العلاقات الحركية.

• العنصر أ → الرف العلوي يتوافق مع عنصر تروس واحد (مثل الترس الشمسي)
• العنصر ج ← الرف السفلي يتوافق مع عنصر تروس آخر (مثل الترس الحلقي)
• يمثل الجسم ب حامل الكوكب

إذا كان الجسم أ ثابتًا وتحرك الجسم ب بوصة واحدة، فإن الجسم ج يتحرك بوصتين.

تتحرك النقطة C ضعف المسافة التي تتحركها النقطة B، لأن الدوران والانتقال يتحدان.

يمكن تحليل نظام تروس كوكبي بسيط باستخدام نموذج مكافئ خطي للتروس المسننة. في هذا التشبيه، يمثل المسنن A عنصر تروس واحد، مثل الترس الشمسي؛ ويمثل المسنن C عنصر تروس آخر، مثل الترس الحلقي؛ ويمثل الجسم B حامل التروس الكوكبية.

يترك

${\displaystyle v_{A}}$لتكن سرعة الرف A،

${\displaystyle v_{B}}$لتكن سرعة الناقل B،

${\displaystyle v_{C}}$لتكن سرعة الرف C،

${\displaystyle \omega }$لتكن السرعة الزاوية للترس الكوكبي، و

${\displaystyle R}$ليكن نصف قطر دائرة التروس الكوكبية.

إذا تم تثبيت الرف A، فإن شرط عدم الانزلاق عند نقطة التلامس العلوية هو:

${\displaystyle v_{A}=v_{B}-\omega R=0.}$

لذلك،

${\displaystyle \omega R=v_{B}.}$

عند نقطة التلامس السفلية، تكون سرعة الرف C هي مجموع سرعة انتقال الحامل والمساهمة الدورانية للترس الكوكبي:

${\displaystyle v_{C}=v_{B}+\omega R.}$

الاستبدال${\displaystyle \omega R=v_{B}}$أعطِ

${\displaystyle v_{C}=2v_{B}.}$

وبالتالي، إذا تحرك الحامل B وحدة واحدة بينما يكون الرف A ثابتًا، فإن الرف C يتحرك وحدتين.

وبشكل عام، فإن شروط عدم الانزلاق عند نقطتي التلامس هي

${\displaystyle v_{A}=v_{B}-\أوميغا R}$

و

${\displaystyle v_{C}=v_{B}+\omega R.}$

بجمع هذه المعادلات نحصل على

${\displaystyle v_{A}+v_{C}=2v_{B},}$

أو

${\displaystyle v_{B}={\frac {v_{A}+v_{C}}{2}}.}$

بالنسبة لمجموعة تروس كوكبية، تكون الكميات الدورانية المقابلة كما يلي:${\displaystyle v_{A}}$يتوافق مع${\displaystyle N_{s}\omega _{s}}$بالنسبة لمعدات الحماية من الشمس،${\displaystyle v_{C}}$يتوافق مع${\displaystyle N_{r}\omega _{r}}$بالنسبة للترس الحلقي، و${\displaystyle v_{B}}$يتوافق مع${\displaystyle (N_{s}+N_{r})\omega _{c}}$للناقل. هنا،${\displaystyle N_{s}}$هو عدد أسنان الترس الشمسي،${\displaystyle N_{r}}$يمثل عدد أسنان الترس الحلقي، و${\displaystyle \omega _{s}}$،${\displaystyle \omega _{r}}$، و${\displaystyle \omega _{c}}$تمثل هذه السرعات الزاوية للترس الشمسي والترس الحلقي والحامل، على التوالي.

وباستبدال هذه الكميات نحصل على العلاقة الحركية القياسية

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{r}\omega _{r}=(N_{s}+N_{r})\omega _{c}.}$

تصف هذه المعادلة كيف تحدد السرعات الزاوية لعنصرين من عناصر التروس السرعة الزاوية للعنصر الثالث. إذا تم تحريك عنصر واحد فقط بينما العناصر الأخرى غير مقيدة، فإن الحركة لا تُحدد بشكل فريد. يلزم وجود عنصر ثابت، أو حالة تحميل، أو قيد اتجاهي، مثل آلية السقاطة أو القابض أحادي الاتجاه، لتحديد حركة خرج فريدة.

على سبيل المثال، لنفترض

${\displaystyle N_{s}=60,\quad N_{r}=100,\quad \omega _{s}=+0.5,\quad \omega _{c}=-0.25.}$

إيجاد سرعة الترس الحلقي،

${\displaystyle 60(0.5)+100\أوميغا _{r}=(60+100)(-0.25)،}$

لذا

${\displaystyle 30+100\أوميغا _{r}=-40,}$

${\displaystyle 100\أوميغا _{r}=-70,}$

و

${\displaystyle \omega _{r}=-0.7.}$

وبالتالي، يدور الترس الحلقي بسرعة زاوية قدرها${\displaystyle -0.7}$، مما يشير إلى الدوران في الاتجاه السالب وفقًا لاتفاقية الإشارة المختارة.

وينطبق الأمر نفسه على الترس التفاضلي المتناظر، حيث تكون سرعة الناقل هي متوسط ​​سرعتي الترسين الجانبيين:

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {\omega _{L}+\omega _{R}}{2}}.}$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة الترس الأيمن نحصل على

${\displaystyle \omega _{R}=2\omega _{c}-\omega _{L}.}$

على سبيل المثال، إذا

${\displaystyle \omega _{L}=0.5}$

و

${\displaystyle \omega _{c}=-0.25,}$

ثم

${\displaystyle \omega _{R}=2(-0.25)-0.5=-1.0.}$

كما تم اقتراح أنظمة التروس الكوكبية المعدلة لتطبيقات طاقة الأمواج، حيث يمكن أن تساعد في تحويل الحركة غير المنتظمة والبطيئة والنابضة إلى دوران أحادي الاتجاه أكثر استقرارًا.

نظام التروس الكوكبية، أو نظام التروس الإبيسيكليكية، هو نظام تروس يتكون من ترس كوكبي خارجي واحد أو أكثر، أو تروس صغيرة ، تدور حول ترس شمسي مركزي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} عادةً ما تُركّب التروس الكوكبية على ذراع أو حامل متحرك، والذي قد يدور بدوره بالنسبة للترس الشمسي. كما تتضمن أنظمة التروس الإبيسيكليكية استخدام ترس حلقي خارجي، يتعشق مع التروس الكوكبية. تُصنّف التروس الكوكبية (أو التروس الإبيسيكليكية) عادةً إلى تروس كوكبية بسيطة أو مركبة. تحتوي التروس الكوكبية البسيطة على ترس شمسي واحد، وترس حلقي واحد، وحامل واحد، ومجموعة تروس كوكبية واحدة. أما التروس الكوكبية المركبة، فتتضمن نوعًا واحدًا أو أكثر من الأنواع الثلاثة التالية من الهياكل: تروس كوكبية متشابكة (يوجد ترسان كوكبيان أو أكثر على الأقل متشابكان مع بعضهما البعض في كل مجموعة تروس كوكبية)، وتروس كوكبية متدرجة (يوجد اتصال عمودي بين ترسين كوكبيين في كل مجموعة تروس كوكبية)، وهياكل متعددة المراحل (يحتوي النظام على مجموعتين أو أكثر من مجموعات التروس الكوكبية). بالمقارنة مع التروس الكوكبية البسيطة، تتميز التروس الكوكبية المركبة بنسبة تخفيض أكبر، ونسبة عزم دوران إلى وزن أعلى، وتكوينات أكثر مرونة. ^{[ 6 ]}

تكون محاور جميع التروس عادةً متوازية، ولكن في حالات خاصة مثل مباري الأقلام والتروس التفاضلية ، يمكن وضعها بزاوية، مما يُدخل عناصر التروس المخروطية (انظر أدناه). علاوة على ذلك، فإن محاور الشمس وحامل الكواكب والتروس الحلقية عادةً ما تكون متحدة المحور .

يتكون تصميم آخر للتروس الكوكبية من ترس شمسي، وحامل، وترسين كوكبيين يتعشقان مع بعضهما. يتعشق أحد الترسين الكوكبيين مع الترس الشمسي، بينما يتعشق الآخر مع الترس الحلقي. في هذا التصميم، عندما يكون الحامل ثابتًا، يدور الترس الحلقي في نفس اتجاه دوران الترس الشمسي، مما يوفر انعكاسًا للاتجاه مقارنةً بالتروس الكوكبية القياسية.

حوالي عام 500  قبل الميلاد، ابتكر الإغريق مفهوم الأفلاك التدويرية، وهي دوائر تدور في مدارات دائرية. وبفضل هذه النظرية، تمكن كلاوديوس بطليموس في كتابه المجسطي عام 148 ميلادي من تقريب مسارات الكواكب المرصودة في السماء. وقد احتوت آلية أنتيكيثيرا ، التي تعود إلى حوالي عام 80 قبل الميلاد، على تروس قادرة على مطابقة مسار القمر الإهليلجي في السماء بدقة، بل وتصحيح ترنح هذا المسار الذي يحدث كل تسع سنوات . ^{[ 7 ]} (فسر الإغريق الحركة التي رأوها، لا على أنها إهليلجية، بل على أنها حركة دائرية).  

في كتابه "التركيب الرياضي" (المعروف أيضًا باسم "المجسطي")، الذي يعود تاريخه إلى القرن الثاني الميلادي ، استخدم كلاوديوس بطليموس  مدارات حاملة وأخرى دائرية تُشكل سلاسل تروس دائرية للتنبؤ بحركة الكواكب. وقد افترضت التنبؤات الدقيقة لحركة الشمس والقمر والكواكب الخمسة (عطارد، الزهرة، المريخ، المشتري، وزحل) في السماء أن كل كوكب يتبع مسارًا محددًا بنقطة على محور الكوكب في سلسلة التروس الدائرية. يُطلق على هذا المنحنى اسم " المنحنى الإبيتروكويد" .

استُخدمت التروس الدائرية في آلية أنتيكيثيرا ، حوالي عام 80  قبل الميلاد، لضبط موضع القمر المعروض وفقًا لشكل مداره الإهليلجي ، وحتى لضبط ترنحه المداري . كان هناك ترسان متقابلان يدوران حول مركزين مختلفين قليلاً؛ أحدهما يُحرك الآخر، ليس بأسنان متشابكة، بل بدبوس مُدخل في فتحة في الترس الثاني. ومع تحريك الفتحة للترس الثاني، يتغير نصف قطر الدوران، مما يؤدي إلى تسارع وتباطؤ الترس المُدار في كل دورة.

 وصف ريتشارد من والينغفورد ، وهو رئيس دير سانت ألبانز الإنجليزي ، آلية التروس الدائرية لساعة فلكية في  القرن الرابع عشر. ^{[ 8 ]} وفي عام 1588، اخترع المهندس العسكري الإيطالي أغوستينو راميللي عجلة الكتب ، وهي حامل كتب يدور عموديًا ويحتوي على آلية تروس دائرية ذات مستويين من التروس الكوكبية للحفاظ على الوضع الصحيح للكتب. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

قام عالم الرياضيات والمهندس الفرنسي ديزارج بتصميم وبناء أول طاحونة بأسنان فوق دائرية حوالي عام 1650. ^{[ 10 ]}

لكي تتعشق أسنان التروس الكوكبية بشكل صحيح مع كل من التروس الشمسية والتروس الحلقية، بافتراض

${\displaystyle n_{p}}$

بالنسبة للتروس الكوكبية المتباعدة بالتساوي، يجب أن تتحقق المعادلة التالية:

${\displaystyle {\frac {N_{s}+N_{r}}{n_{p}}}=A}$

أين

${\displaystyle N_{s},N_{r}}$يمثل عدد أسنان الترس الشمسي والترس الحلقي على التوالي.

${\displaystyle n_{p}}$يمثل عدد التروس الكوكبية في المجموعة، و

${\displaystyle A}$هو عدد صحيح

إذا أردنا تصميم إطار حامل غير متماثل مزود بتروس كوكبية غير متساوية الزوايا، بهدف إحداث نوع من الاهتزاز الميكانيكي في النظام، فيجب تصميم ترتيب التروس بحيث تتوافق المعادلة المذكورة أعلاه مع "التروس الافتراضية". على سبيل المثال، في حالة احتواء إطار الحامل على تروس كوكبية بزوايا 0°، 50°، 120°، و230°، يجب حساب عدد التروس كما لو كان هناك 36 ترساً كوكبياً (متساوية الزوايا بمقدار 10°)، بدلاً من العدد الفعلي وهو أربعة تروس.

نسبة التروس في نظام التروس الكوكبية غير بديهية إلى حد ما، خاصةً لوجود عدة طرق لتحويل الدوران المدخل إلى دوران مخرج. المكونات الأساسية الأربعة للترس الكوكبي هي:

• الترس الشمسي : الترس المركزي
• إطار الحامل : يحمل ترسًا كوكبيًا واحدًا أو أكثر بشكل متناظر ومنفصل، وكلها متشابكة مع الترس الشمسي
• التروس الكوكبية : عادةً ما تتكون من ترسين إلى أربعة تروس محيطية، جميعها بنفس الحجم، تتعشق بين الترس الشمسي والترس الحلقي.
• الترس الحلقي ، أو الترس القمري ، أو الترس الحلقي ، أو الترس الحلقي : حلقة خارجية ذات أسنان متجهة للداخل تتعشق مع الترس (التروس) الكوكبي.

يمكن حساب نسبة التروس الإجمالية لمجموعة تروس كوكبية بسيطة باستخدام المعادلتين التاليتين، ^{[ 1 ]} اللتين تمثلان تفاعلات الشمس مع الكوكب وتفاعلات الكوكب مع الحلقة على التوالي:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{p}\omega _{p}-\left(N_{s}+N_{p}\right)\omega _{c}=0}$

${\displaystyle N_{r}\omega _{r}-N_{p}\omega _{p}-\left(N_{r}-N_{p}\right)\omega _{c}=0}$

أين

${\displaystyle \omega _{r},\omega _{s},\omega _{p},\omega _{c}}$

تمثل هذه القيم السرعات الزاوية للترس الحلقي ، والترس الشمسي ، والتروس الكوكبية ، والإطار الحامل على التوالي، و

${\displaystyle N_{r},N_{s},N_{p}}$

تمثل هذه الأرقام عدد أسنان الترس الحلقي ، والترس الشمسي ، وكل ترس كوكبي على التوالي.

ومنها يمكننا استخلاص ما يلي:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{r}\omega _{r}=(N_{s}+N_{r})\omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}\omega _{c}-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}\omega _{r}}$

${\displaystyle \omega _{r}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}\omega _{c}-{\frac {N_{s}}{N_{r}}}\omega _{s}}$

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}\omega _{s}+{\frac {N_{r}}{N_{s}+N_{r}}}\omega _{r}}$

و

${\displaystyle -{\frac {N_{r}}{N_{s}}}={\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}}$

فقط إذا${\displaystyle \omega _{r}\neq \omega _{c}}$[ ^{11 ]} في العديد من أنظمة التروس الإيبسيكلية، يتم تثبيت أحد هذه المكونات الأساسية الثلاثة (ومن هنا جاء اسم المجموعة) ^.${\displaystyle \omega _{...}=0}$بالنسبة للترس الثابت؛ يُعد أحد المكونين المتبقيين مدخلاً ، حيث يزود النظام بالطاقة، بينما يُعد المكون الأخير مخرجاً ، حيث يستقبل الطاقة من النظام. وتعتمد نسبة دوران المدخل إلى دوران المخرج على عدد أسنان كل ترس، وعلى المكون الثابت.

أو بدلاً من ذلك، في الحالة الخاصة التي يتوافق فيها عدد أسنان كل ترس مع العلاقة${\displaystyle N_{r}=N_{s}+2N_{p}}$ويمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+(2+n)\omega _{r}-2(1+n)\omega _{c}=0}$

أين

${\displaystyle n={\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$هي نسبة التروس بين الشمس والكوكب.

يمكن استخدام هذه العلاقات لتحليل أي نظام إيبسيكليك، بما في ذلك تلك الأنظمة، مثل ناقلات الحركة في المركبات الهجينة، حيث يُستخدم اثنان من المكونات كمدخلات بينما يوفر المكون الثالث مخرجات بالنسبة للمدخلين. ^{[ 12 ]}

في أحد الترتيبات، يُثبَّت حامل التروس الكوكبية (الأخضر في الرسم التخطيطي أعلاه) في مكانه، ويُستخدم الترس الشمسي (الأصفر) كمدخل. في هذه الحالة، تدور التروس الكوكبية ببساطة حول محاورها (أي تدور حول نفسها) بمعدل يُحدده عدد أسنان كل ترس. إذا كان الترس الشمسي${\displaystyle N_{s}}$أسنان، وكل ترس كوكبي لديه${\displaystyle N_{p}}$إذا كانت الأسنان، فإن النسبة تساوي${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$على سبيل المثال، إذا كان للترس الشمسي 24  سنًا، وكان لكل كوكب 16 سنًا، فإن النسبة هي ⁠ − + 24 / 16 ⁠ ، أو ⁠ − + 3 / 2 ⁠ ؛ وهذا يعني أن دورة واحدة في اتجاه عقارب الساعة للترس الشمسي تنتج 1.5 دورة عكس اتجاه عقارب الساعة لكل ترس من تروس الكواكب حول محوره. 

يمكن لدوران التروس الكوكبية أن يُحرك بدوره الترس الحلقي (غير الموضح في الرسم التخطيطي)، بسرعة تتناسب مع نسب التروس: إذا كان الترس الحلقي${\displaystyle N_{r}}$الأسنان، ثم ستدور الحلقة بواسطة${\displaystyle {\tfrac {N_{p}}{N_{r}}}}$عدد الدورات لكل دورة من دورات التروس الكوكبية. على سبيل المثال، إذا كان للترس الحلقي 64  سنًا، وللتروس الكوكبية 16 سنًا، فإن دورة واحدة باتجاه عقارب الساعة للترس الكوكبي تُنتج 16/64 ،   أو 1/4 دورة باتجاه عقارب الساعة للترس الحلقي. وبناءً على الحالة المذكورة أعلاه :

• تؤدي دورة واحدة لترس الشمس إلى${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$دوران الكواكب
• تؤدي دورة واحدة لترس كوكبي إلى${\displaystyle {\tfrac {N_{p}}{N_{r}}}}$عدد لفات الترس الحلقي

لذا، مع قفل حامل الكواكب، تؤدي دورة واحدة لترس الشمس إلى${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{r}}}}$عدد لفات الترس الحلقي.

يمكن أيضًا تثبيت الترس الحلقي، مع توفير مدخلات لحامل التروس الكوكبية؛ ثم يتم إنتاج دوران الخرج من الترس الشمسي. سيؤدي هذا التكوين إلى زيادة في نسبة التروس، تساوي${\displaystyle 1+{\tfrac {N_{r}}{N_{s}}}={\tfrac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}}$.

إذا تم تثبيت الترس الحلقي واستخدام الترس الشمسي كمدخل، فسيكون حامل الكواكب هو المخرج. ستكون نسبة التروس في هذه الحالة هي${\displaystyle {\tfrac {1}{1+{\tfrac {N_{r}}{N_{s}}}}}={\tfrac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}}$والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي${\displaystyle N_{s}:N_{s}+N_{r}}$هذه هي أدنى نسبة تروس يمكن تحقيقها باستخدام نظام تروس كوكبي. يُستخدم هذا النوع من التروس أحيانًا في الجرارات ومعدات البناء لتوفير عزم دوران عالٍ لعجلات القيادة.

في تروس محور الدراجة ، يكون القرص الشمسي عادةً ثابتًا، حيث يُثبّت على المحور أو حتى يُصنع عليه مباشرةً. ويُستخدم حامل التروس الكوكبية كمدخل. في هذه الحالة، تُعطى نسبة التروس ببساطة بواسطة${\displaystyle {\tfrac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}}$عدد أسنان الترس الكوكبي غير ذي صلة.

من الصيغ المذكورة أعلاه، يمكننا أيضًا استنتاج تسارعات الشمس والحلقة والحامل، وهي:

${\displaystyle \alpha _{s}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}\alpha _{c}-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}\alpha _{r}}$

${\displaystyle \alpha _{r}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}\alpha _{c}-{\frac {N_{s}}{N_{r}}}\alpha _{s}}$

${\displaystyle \alpha _{c}={\frac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}\alpha _{s}+{\frac {N_{r}}{N_{s}+N_{r}}}\alpha _{r}}$

في التروس الكوكبية، يجب معرفة سرعتين لتحديد السرعة الثالثة. أما في حالة الاستقرار، فيكفي معرفة عزم دوران واحد لتحديد عزمي الدوران الآخرين. المعادلات التي تحدد عزم الدوران هي:

${\displaystyle \tau _{r}=\tau _{s}{\frac {N_{r}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{r}=-\tau _{c}{\frac {N_{r}}{N_{r}+N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{r}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{s}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=\tau _{r}{\frac {N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=-\tau _{c}{\frac {N_{s}}{N_{r}+N_{s}}}}$

أين

${\displaystyle \tau _{r}}$— عزم دوران الحلقة (الحلقة البينية)،

${\displaystyle \tau _{s}}$عزم دوران الشمس،

${\displaystyle \tau _{c}}$— عزم دوران الحامل.

بالنسبة للثلاثة جميعًا، تمثل هذه العزوم المطبقة على الآلية (عزوم الإدخال). وتكون عزوم الإخراج معكوسة الإشارة لعزوم الإدخال. ويمكن اشتقاق نسب العزوم هذه باستخدام قانون حفظ الطاقة. وعند تطبيقه على مرحلة واحدة، تُكتب هذه المعادلة على النحو التالي:

${\displaystyle \tau _{r}\omega _{r}+\tau _{c}\omega _{c}+\tau _{s}\omega _{s}=0}$

في الحالات التي تتسارع فيها التروس، أو لمراعاة الاحتكاك، يجب تعديل هذه المعادلات.

تبدأ إحدى الطرق الملائمة لتحديد نسب السرعة المختلفة المتاحة في مجموعة تروس كوكبية بالنظر إلى نسبة سرعة مجموعة التروس عندما يكون الحامل ثابتًا. تُعرف هذه النسبة بنسبة سرعة مجموعة التروس ذات الحامل الثابت. ^{[ 2 ]}

في حالة مجموعة تروس كوكبية بسيطة تتكون من حامل يدعم ترسًا كوكبيًا متشابكًا مع ترس شمسي وترس حلقي، تُحسب نسبة مجموعة التروس الثابتة على الحامل كنسبة سرعة مجموعة التروس المكونة من التروس الشمسية والكوكبية والحلقية على الحامل الثابت. ويُعطى ذلك بواسطة

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

في هذه الحسابات، يعتبر الترس الكوكبي ترسًا وسيطًا.

تُستنتج الصيغة الأساسية لنظام التروس الكوكبية مع حامل دوار من خلال إدراك أن هذه الصيغة تظل صحيحة إذا تم حساب السرعات الزاوية للتروس الشمسية والكوكبية والحلقية نسبةً إلى السرعة الزاوية للحامل. وهذا يصبح،

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}.}$

توفر هذه الصيغة طريقة بسيطة لتحديد نسب السرعة لسلسلة التروس الكوكبية البسيطة في ظل ظروف مختلفة:

1. يتم تثبيت الحامل بشكل ثابت

${\displaystyle \omega _{c}=0}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

2. يتم تثبيت الترس الحلقي بشكل ثابت

${\displaystyle \omega _{r}=0}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1-R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

3. يتم تثبيت جهاز الشمس بشكل ثابت

${\displaystyle \omega _{s}=0}$

${\displaystyle {\frac {-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1-{\frac {1}{R}},\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{s}}{N_{r}}}.}$

يمكن الحصول على كل نسبة من نسب السرعة المتاحة في نظام تروس كوكبي بسيط باستخدام فرامل شريطية لتثبيت وتحرير التروس الحاملة أو الشمسية أو الحلقية حسب الحاجة. وهذا يوفر البنية الأساسية لناقل الحركة الأوتوماتيكي .

ترس تفاضلي ذو تروس مستقيمة

يُصنع الترس التفاضلي ذو التروس المستقيمة من سلسلتين متطابقتين من التروس الكوكبية المحورية، مُجمّعتين على حامل واحد بحيث تتعشق تروسهما الكوكبية. وهذا يُشكّل سلسلة تروس كوكبية بنسبة حامل ثابتة R  =  -1.

في هذه الحالة، ينتج عن الصيغة الأساسية لسلسلة التروس الكوكبية ما يلي:

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=-1,}$

أو

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{2}}(\omega _{s}+\omega _{r}).}$

وبالتالي، فإن السرعة الزاوية لحامل التروس التفاضلية ذات التروس المستقيمة هي متوسط ​​السرعات الزاوية للتروس الشمسية والحلقية.

عند مناقشة الترس التفاضلي ذي التروس المستقيمة، يُعد استخدام مصطلح " الترس الحلقي" طريقةً ملائمةً لتمييز التروس الشمسية في سلسلتي التروس الكوكبية. عادةً ما تكون التروس الحلقية ثابتةً في معظم التطبيقات، لأن هذا الترتيب يوفر قدرة تخفيض جيدة. يؤدي الترس الشمسي الثاني نفس وظيفة الترس الحلقي في سلسلة التروس الكوكبية البسيطة، ولكنه من الواضح أنه لا يحتوي على الترس الداخلي المقابل الذي يميز الترس الحلقي. ^{[ 1 ]}

تستخدم بعض أنظمة التروس الكوكبية ترسين كوكبيين يتعشقان مع بعضهما. يتعشق أحد هذين الكوكبين مع الترس الشمسي، بينما يتعشق الآخر مع الترس الحلقي. ينتج عن ذلك نسب تروس مختلفة، كما يتسبب في دوران الترس الشمسي في نفس اتجاه دوران الترس الحلقي عندما يكون حامل الكواكب ثابتًا. تصبح المعادلة الأساسية كما يلي:

${\displaystyle (R-1)\omega _{c}=R\omega _{r}-\omega _{s}}$

أين${\displaystyle R=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}}$

مما ينتج عنه:

${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{s}}{R}}}$عندما يكون الناقل مغلقًا،

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{c}{\frac {R-1}{R}}}$عندما تكون الشمس محصورة،

${\displaystyle \omega _{s}=-\omega _{c}(R-1)}$عندما يتم قفل الترس الحلقي.

"التروس الكوكبية المركبة" هو مفهوم عام ويشير إلى أي تروس كوكبية تتضمن واحدًا أو أكثر من الأنواع الثلاثة التالية من الهياكل: الكوكب المتشابك (يوجد كوكبان أو أكثر متشابكان مع بعضهما البعض في كل مجموعة كوكبية)، والكوكب المتدرج (يوجد اتصال عمود بين كوكبين في كل مجموعة كوكبية)، والهياكل متعددة المراحل (يحتوي النظام على مجموعتين كوكبيتين أو أكثر).

تستخدم بعض التصاميم تروسًا كوكبية متدرجة، تتكون من ترسين مختلفي الحجم على طرفي عمود مشترك. يتعشق الطرف الأصغر مع الترس الشمسي، بينما يتعشق الطرف الأكبر مع الترس الحلقي. قد يكون هذا ضروريًا لتحقيق تغييرات طفيفة في نسبة التروس عندما يكون حجم المجموعة الكلي محدودًا. تحتوي التروس الكوكبية المركبة على "علامات توقيت" (أو "طور تعشيق التروس النسبي" بالمصطلح التقني). شروط تجميع التروس الكوكبية المركبة أكثر تقييدًا من التروس الكوكبية البسيطة، ^{[ 13 ]} ويجب تجميعها في الوضعية الأولية الصحيحة بالنسبة لبعضها البعض، وإلا فلن تتعشق أسنانها في وقت واحد مع الترس الشمسي والترس الحلقي عند طرفي الكوكب، مما يؤدي إلى تشغيل غير منتظم وعمر قصير. في عام 2015، طُوِّرَ تصميمٌ مُعدّلٌ للتروس الكوكبية المتدرجة يعتمد على الجر في جامعة دلفت للتكنولوجيا، ^{[ 14 ]} ويعتمد على ضغط عناصر الكوكب المتدرجة لنقل عزم الدوران. يُغني استخدام عناصر الجر عن الحاجة إلى "علامات التوقيت" وشروط التجميع المُقيِّدة المعتادة. تُتيح التروس الكوكبية المركبة تحقيق نسبة نقل أكبر بسهولة مع حجم مماثل أو أصغر. على سبيل المثال، تُعطي التروس الكوكبية المركبة ذات الأسنان بنسبة 2:1 مع ترس حلقي ذي 50 سنًا نفس تأثير الترس الحلقي ذي 100 سن، ولكن بنصف القطر الفعلي.

يمكن وضع المزيد من وحدات التروس الكوكبية والشمسية على التوالي في نفس الغلاف (حيث يصبح عمود الإخراج للمرحلة الأولى عمود الإدخال للمرحلة التالية) مما يوفر نسبة تروس أكبر (أو أصغر). هذه هي الطريقة التي تعمل بها معظم ناقلات الحركة الأوتوماتيكية . في بعض الحالات، قد تشترك مراحل متعددة في نفس الترس الحلقي الذي يمكن تمديده على طول ناقل الحركة، أو حتى أن يكون جزءًا هيكليًا من غلاف علب التروس الأصغر.

خلال الحرب العالمية الثانية ، طُوِّر نوعٌ خاص من التروس الدائرية لأجهزة الرادار المحمولة ، حيث كانت هناك حاجة إلى نسبة تخفيض عالية جدًا في حجم صغير. احتوى هذا النوع على ترسين حلقيين خارجيين، كلٌّ منهما بنصف سُمك الترسين الآخرين. كان أحد هذين الترسين الحلقيين ثابتًا ويحتوي على سنٍّ أقل من الآخر. بالتالي، فإن عدة دورات للترس "الشمسي" تُكمل بها التروس "الكوكبية" دورةً واحدة، مما يُؤدي بدوره إلى دوران الترس الحلقي الدوار بمقدار سنٍّ واحد، كما في آلية الدفع الحلقية . ^{[ 15 ]}

يمكن لأكثر من عنصر في النظام أن يعمل كمخرج. على سبيل المثال، يتم توصيل المدخل بالترس الحلقي، والترس الشمسي بالمخرج، وحامل الكواكب بالمخرج عبر محول عزم الدوران . تُستخدم تروس وسيطة بين الترس الشمسي والكواكب لجعل الترس الشمسي يدور في نفس اتجاه الترس الحلقي عندما يكون حامل الكواكب ثابتًا. عند سرعة إدخال منخفضة، وبسبب الحمل على المخرج، سيبقى الترس الشمسي ثابتًا وسيدور حامل الكواكب في اتجاه الترس الحلقي. عند وجود حمل كافٍ، سيبقى توربين محول عزم الدوران ثابتًا، وستتبدد الطاقة، وستنزلق مضخة محول عزم الدوران. إذا زادت سرعة الإدخال للتغلب على الحمل، فسيدير ​​توربين المحول عمود الإخراج. ولأن محول عزم الدوران نفسه يمثل حملاً على حامل الكواكب، فسيتم بذل قوة على الترس الشمسي. يستخلص كل من حامل الكواكب والترس الشمسي الطاقة من النظام ويطبقانها على عمود الإخراج. ^{[ 16 ]}

توفر أنظمة التروس الكوكبية كثافة طاقة عالية مقارنةً بأنظمة التروس المحورية المتوازية التقليدية. وتتميز بصغر حجمها، وتعدد تركيباتها الحركية، واعتمادها على ردود فعل الالتواء فقط، ومحورها المتحد المركز. أما عيوبها فتتمثل في أحمال المحامل العالية، ومتطلبات التشحيم المستمرة، وصعوبة الوصول إليها، وتعقيد تصميمها. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

يبلغ فقد الكفاءة في نظام التروس الكوكبية عادةً حوالي 3% لكل مرحلة. وهذا يضمن نقل نسبة عالية (حوالي 97%) من طاقة الإدخال عبر علبة التروس، بدلاً من تبديدها في خسائر ميكانيكية داخلها.

يتم توزيع الحمل في نظام التروس الكوكبية على عدة تروس كوكبية، مما يزيد من قدرة عزم الدوران بشكل كبير. فكلما زاد عدد التروس الكوكبية في النظام، زادت قدرة تحمل الحمل وارتفعت كثافة عزم الدوران.

توفر سلسلة التروس الكوكبية استقرارًا بفضل التوزيع المتساوي للكتلة وزيادة الصلابة الدورانية. وينتقل عزم الدوران المطبق شعاعيًا على تروس سلسلة التروس الكوكبية شعاعيًا عبر الترس نفسه، دون أي ضغط جانبي على أسنانه.

في التطبيقات النموذجية، تتصل طاقة المحرك بالترس الشمسي، الذي بدوره يُشغّل التروس الكوكبية المتشابكة مع الترس الحلقي الخارجي. يدور نظام التروس الكوكبية بأكمله حول محوره وعلى طول الترس الحلقي، حيث يُخفّض عمود الإخراج المتصل بحامل التروس الكوكبية السرعة. ويمكن تحقيق نسبة تخفيض أعلى باستخدام تروس كوكبية متعددة المراحل تعمل ضمن نفس الترس الحلقي.

تختلف آلية حركة التروس الكوكبية عن التروس المتوازية التقليدية. تعتمد التروس التقليدية على عدد قليل من نقاط التلامس بين ترسين لنقل قوة الدفع. في هذه الحالة، يتركز الحمل بالكامل على عدد قليل من أسطح التلامس، مما يؤدي إلى تآكل التروس بسرعة، وأحيانًا إلى تشققها. أما مخفض السرعة الكوكبي، فيحتوي على أسطح تلامس متعددة للتروس ذات مساحة أكبر، مما يوزع الحمل بالتساوي حول المحور المركزي. تتشارك أسطح التروس المتعددة الحمل بالتساوي - بما في ذلك أي حمل صدمي لحظي - مما يجعلها أكثر مقاومة للتلف الناتج عن عزم الدوران العالي. كما أن أجزاء الغلاف والمحامل أقل عرضة للتلف من الأحمال العالية، حيث أن محامل حامل التروس الكوكبية فقط هي التي تتعرض لقوة جانبية كبيرة ناتجة عن نقل عزم الدوران، بينما تتعارض القوى الشعاعية وتتوازن، ولا تنشأ القوى المحورية إلا عند استخدام التروس الحلزونية.

أصبحت التروس الكوكبية شائعة في أوساط هواة التصنيع، نظرًا لقدرتها العالية على توليد عزم دوران كبير، فضلًا عن صغر حجمها وكفاءتها العالية. ^{[ 19 ]} ويمكن استخدامها، خاصةً في الطباعة ثلاثية الأبعاد، لإنشاء نماذج أولية سريعة لعلبة التروس، ليتم تصنيعها لاحقًا باستخدام تقنيات التشغيل الآلي. ^{[ 20 ]}

يتطلب المحرك ذو التروس المخفضة دورانًا أطول وسرعة أكبر لإنتاج نفس حركة الإخراج في الطابعة ثلاثية الأبعاد، وهو أمر مفيد طالما لم يُطغى عليه انخفاض سرعة الحركة. إذا كان على المحرك الخطوي الدوران لمسافة أطول، فسيتعين عليه أيضًا اتخاذ خطوات أكثر لتحريك الطابعة مسافة معينة؛ لذلك، يتميز المحرك الخطوي ذو التروس المخفضة بحد أدنى لحجم الخطوة أصغر من نفس المحرك الخطوي بدون علبة تروس. في حين أن تخفيض التروس يُحسّن الدقة في الحركة أحادية الاتجاه، إلا أنه يُضيف رد فعل عكسي للنظام، وبالتالي يُقلل من دقة تحديد الموضع المطلقة. ^{[ 21 ]}

نظراً لسهولة طباعة التروس المتعرجة ثلاثية الأبعاد، فقد شاع استخدام طباعة نظام تروس كوكبية متعرجة متحركة لتعليم الأطفال كيفية عمل التروس. ومن مزايا هذه التروس أنها لا تنفصل عن الحلقة ولا تحتاج إلى لوحة تثبيت، مما يسمح برؤية الأجزاء المتحركة بوضوح.

• مكتبة النماذج الحركية للتصميم الرقمية (KMODDL) ، أفلام وصور لمئات من نماذج الأنظمة الميكانيكية العاملة في جامعة كورنيل.
• "رسوم متحركة للتروس الدائرية في SVG"
• "رسوم متحركة للتروس الدائرية"
• "جهاز تقسيم الطاقة"
• "البرنامج التعليمي التفاعلي لمجموعة التروس الكوكبية"
• علبة تروس بريوس
• علبة تروس كوكبية
• اختصارات لتحليل التروس الكوكبية ( مؤرشفة بتاريخ ٢٥ فبراير ٢٠٢١ في أرشيف الإنترنت)