نظرية الانعكاس

في نظرية الأعداد الجبرية ، تُعرف نظرية الانعكاس أو Spiegelungssatz ( بالألمانية : Spiegel و Satz ) بأنها إحدى النظريات التي تربط أحجام مجموعات الفئات المثالية المختلفة (أو مجموعات فئات الأشعة )، أو أحجام المكونات المتماثلة المختلفة لمجموعة فئات. ويعود المثال الأصلي إلى إرنست إدوارد كومر ، الذي أثبت أن عدد فئات الحقل الدائري${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)}$، حيث p عدد أولي، سيكون قابلاً للقسمة على p إذا كان عدد فئات الحقل الجزئي الحقيقي الأقصى${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}}$مثال آخر يعود إلى شولتز. ^{[ 1 ]} تنص نسخة مبسطة من نظريته على أنه إذا كان 3 يقسم عدد فئات حقل تربيعي حقيقي${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$ثم يقسم العدد 3 أيضًا رقم فئة الحقل التربيعي التخيلي${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)}$.

يتم تعميم كلتا النتيجتين المذكورتين أعلاه بواسطة "Spiegelungssatz" لليوبولد ، والتي تربط الرتب p للمكونات المتماثلة المختلفة لمجموعة الفئات لحقل عددي يعتبر وحدة نمطية على مجموعة غالوا لامتداد غالوا.

ليكن L / K امتداد غالوا منتهيًا لحقول الأعداد، مع زمرة G ، درجتها أولية بالنسبة إلى p ، و L تحتوي على الجذور p للوحدة. ولتكن A الزمرة الجزئية p- سيلو لزمرة الفئات في L. ولتكن φ دالة على المحرفات غير القابلة للاختزال لحلقة الزمرة Qp [ G ] _، ولتكن Aφ هي الحدود المباشرة المناظرة لـ A. لأي φ، ليكن _q = pφ ⁽¹⁾ ، وليكن eφ هو الأس في الدليل _.

${\displaystyle [A_{\phi }:A_{\phi }^{p}]=q^{e_{\phi }}.}$

ليكن ω هو خاصية G

${\displaystyle \zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ for }}\zeta \in \mu _{p}.}$

يتم تعريف الانعكاس ( Spiegelung ) φ ^{* بواسطة}

${\displaystyle \phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).}$

ليكن E زمرة الوحدة لـ K. نقول إن ε "أولية" إذا${\displaystyle K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K}$غير متفرعة، ولنرمز بـ E ₀ إلى مجموعة الوحدات الأولية modulo E ^p . ولنرمز بـ δ _φ إلى رتبة G للمكون φ من E ₀ .

تنصّ نظرية الانعكاس على ما يلي:

${\displaystyle |e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.}$

قدّم أوريات وأوريات-ساتج امتداداتٍ لنظرية الانعكاس هذه، حيث لم تعد زمر الفئات مرتبطةً بخصائص زمرة غالوا لـ K / k ، بل بمثاليّاتٍ في حلقة زمرة فوق زمرة غالوا لـ K / k . وقد عمّم كورودا نظرية الانعكاس لليوبولد في اتجاهٍ مختلف، حيث وسّعها لتشمل بيانًا حول زمر فئات الأشعة . ثمّ طُوّرت هذه النظرية لاحقًا إلى " نظرية انعكاس T - S " العامة جدًا لجورج غراس . ^{[ 2 ]} كما قدّم كينكيتشي إيواساوا نظرية انعكاس إيواساوا .

• كوخ، هيلموت (1997). نظرية الأعداد الجبرية . موسوعة العلوم الرياضية، المجلد  62 (الطبعة الثانية من الطبعة الأولى  ). سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 147-149 . ISBN  3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 .