مجال سيكلوتوم

في نظرية الأعداد الجبرية ، الحقل الدائري هو حقل عددي يتم الحصول عليه عن طريق ضم جذر عقدي للوحدة إلى${\displaystyle \mathbb {Q} }$، حقل الأعداد النسبية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

لعبت الحقول الدائرية دورًا حاسمًا في تطور الجبر الحديث ونظرية الأعداد نظرًا لارتباطها بنظرية فيرما الأخيرة . وقد كان ذلك في سياق أبحاثه المعمقة في حساب هذه الحقول (للأعداد الأولية) .${\displaystyle n}$)—وبشكل أدق، بسبب فشل التحليل الفريد في حلقات الأعداد الصحيحة الخاصة بهم —أن إرنست كومر هو أول من قدم مفهوم العدد المثالي وأثبت تطابقاته الشهيرة .

ل${\displaystyle n\geq 1}$، يترك

${\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}\in \mathbb {C} .}$

هذا بدائي${\displaystyle n}$الجذر النوني للوحدة. ثم${\displaystyle n}$المجال الدائري هو امتداد المجال${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \zeta _{n}}$.

• ال${\displaystyle n}$متعددة الحدود الحلقية رقم 1$${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})}$$غير قابلة للاختزال ، لذا فهي متعددة الحدود الدنيا لـ${\textstyle \zeta _{n}}$زيادة${\textstyle \mathbb {Q} }$.

• المترافقات لـ​${\displaystyle \zeta _{n}}$في${\displaystyle \mathbb {C} }$وبالتالي فهي البدائية الأخرى${\displaystyle n}$جذور الوحدة:${\displaystyle \zeta _{n}^{k}}$ل${\displaystyle 1\leq k\leq n}$مع${\displaystyle \gcd(k,n)=1}$.

• درجة​​${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$وبالتالي${\displaystyle [\mathbb {Q} (\zeta _{n}):\mathbb {Q} ]=\deg \Phi _{n}=\varphi (n)}$، أين${\displaystyle \varphi }$هي دالة أويلر الموجبة .

• جذور​​${\displaystyle x^{n}-1}$هي قوى${\displaystyle \zeta _{n}}$، لذا${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$هو حقل التقسيم لـ${\displaystyle x^{n}-1}$(أو من${\displaystyle \Phi _{n}}$) زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$هو امتداد غالوا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• مجموعة غالوا${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$متماثل طبيعياً مع المجموعة الضربية${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$، والتي تتكون من البقايا القابلة للعكس modulo${\displaystyle n}$وهي البقايا${\displaystyle a}$تعديل${\displaystyle n}$مع${\displaystyle 1\leq a\leq n}$و${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$. يُرسل التشاكل كل${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$ل${\displaystyle a}$تعديل${\displaystyle n}$، أين${\displaystyle a}$هو عدد صحيح بحيث${\displaystyle \sigma (\zeta _{n})=\zeta _{n}^{a}}$.

• حلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$يكون${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$.

• ل${\displaystyle n>2}$، المميز للامتداد${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$هو ^{[ 3 ]} (الفرضية 2.7)

${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.}$

• بخاصة،${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$غير متفرع فوق كل عدد أولي لا يقسم${\displaystyle n}$.

• لو${\displaystyle n}$هي قوة عدد أولي${\displaystyle p}$، ثم${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$متفرعة بالكامل في الأعلى${\displaystyle p}$.

• لو${\displaystyle q}$هو عدد أولي لا يقسم${\displaystyle n}$ثم عنصر فروبينيوس${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$يتوافق مع بقايا${\displaystyle q}$في${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

• مجموعة جذور الوحدة في${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$تم الطلب${\displaystyle n}$أو${\displaystyle 2n}$، وفقًا لما إذا${\displaystyle n}$زوجي أو فردي.

• مجموعة الوحدات${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$هي مجموعة أبيلية مولدة منتهية من الرتبة${\displaystyle \varphi (n)/2-1}$، لأي${\displaystyle n>2}$، وفقًا لنظرية وحدة ديريشليه . على وجه الخصوص،${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$محدود فقط لـ${\displaystyle n\in \{1,2,3,4,6\}}$. المجموعة الفرعية للالتواء من${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$هي مجموعة جذور الوحدة في${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$، والتي تم وصفها في البند السابق. تشكل الوحدات الحلقية مجموعة فرعية ذات فهرس محدود صريح من${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]^{\times }}$.

• تنص نظرية كرونكر -ويبر على أن كل امتداد أبيلي محدود لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$في${\displaystyle \mathbb {C} }$موجود في${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n}$أو بعبارة أخرى، اتحاد جميع الحقول الدائرية${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$هو الامتداد الأبلي الأقصى${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\mathrm {ab} }}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

أحرز غاوس تقدماً مبكراً في نظرية الحقول الدائرية، وذلك في سياق مشكلة إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعاً باستخدام الفرجار والمسطرة . وكانت النتيجة المفاجئة التي لم يلاحظها أسلافه هي إمكانية إنشاء مضلع منتظم ذي 17 ضلعاً بهذه الطريقة. وبشكل أعم، لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 3}$، ما يلي متكافئ:

• منتظم${\displaystyle n}$يمكن إنشاء مضلع ذي عدد معين من الأضلاع؛
• يوجد تسلسل من الحقول، يبدأ بـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$وينتهي بـ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$، بحيث يكون كل منها امتدادًا تربيعيًا للحقل السابق؛
• ${\displaystyle \varphi (n)}$هو قوة للعدد 2 ؛
• ${\displaystyle n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}}$بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle a,r\geq 0}$وأعداد فيرما الأولية${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$(عدد فيرما الأولي هو عدد أولي فردي)${\displaystyle p}$بحيث${\displaystyle p-1}$هو قوة للعدد 2. الأعداد الأولية المعروفة لفيرما هي 3 و 5 و 17 و 257 و 65537 ، ومن المحتمل ألا يكون هناك أعداد أخرى.

تتمثل إحدى الطرق الطبيعية لإثبات نظرية فيرما الأخيرة في تحليل ذات الحدين${\displaystyle x^{n}+y^{n}}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد أولي فردي، يظهر في أحد طرفي معادلة فيرما

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

على النحو التالي:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta _{n}y)\ldots (x+\zeta _{n}^{n-1}y)}$

هنا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي أعداد صحيحة عادية، بينما العوامل هي أعداد صحيحة جبرية في الحقل الدائري${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$إذا كان التحليل الفريد صحيحًا في الأعداد الصحيحة الدائرية${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$، ومن ثم يمكن استخدامه لاستبعاد وجود حلول غير تافهة لمعادلة فيرما.

سارت عدة محاولات لمعالجة نظرية فيرما الأخيرة على هذا المنوال، وقد قدم فيرما برهانًا لـ${\displaystyle n=4}$وبرهان أويلر لـ${\displaystyle n=3}$يمكن إعادة صياغتها بهذه المصطلحات. القائمة الكاملة لـ n التي${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$لها تحليل فريد هو ^{[ 3 ]} (النظرية 11.1)

• من 1 إلى 22، 24، 25، 26، 27، 28، 30، 32، 33، 34، 35، 36، 38، 40، 42، 44، 45، 48، 50، 54، 60، 66، 70، 84، 90.

وجد كومر طريقة للتعامل مع فشل التحليل الفريد. فقد قدم بديلاً للأعداد الأولية في الأعداد الصحيحة الدائرية.${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$، تم قياس فشل التحليل الفريد عن طريق رقم الفئة${\displaystyle h_{n}}$وأثبت أنه إذا${\displaystyle h_{p}}$لا يقبل القسمة على عدد أولي${\displaystyle p}$(هذه${\displaystyle p}$إذا كانت تسمى أعدادًا أولية منتظمة ، فإن نظرية فيرما تكون صحيحة بالنسبة للأس${\displaystyle n=p}$علاوة على ذلك، وضع معيارًا لتحديد الأعداد الأولية المنتظمة، وأثبت نظرية فيرما لجميع الأسس الأولية.${\displaystyle p}$أقل من 100، باستثناء الأعداد الأولية غير المنتظمة 37 و 59 و 67 . وقد عُمِّم عمل كومر حول تطابقات أعداد فئات الحقول الدائرية في القرن العشرين على يد إيواساوا في نظرية إيواساوا ، وعلى يد كوبوتا وليوبولد في نظريتهما.${\displaystyle p}$دوال زيتا -adic .

(التسلسل A061653 في OEIS ) ، أو (التسلسل A055513 في OEIS )، أو (التسلسل A000927 في OEIS ) لـ${\displaystyle h}$الجزء (لعدد أولي n )

• Kronecker–Weber theorem
• Cyclotomic polynomial

• Coates, John; Sujatha, R. (2006). Cyclotomic Fields and Zeta Values. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002.
• Weisstein, Eric W."Cyclotomic Field". MathWorld.
• "Cyclotomic field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Yamagata, Koji; Yamagishi, Masakazu (2016). "On the ring of integers of real cyclotomic fields". Proc. Japan Academy, Series A, Math. Sciences. 92 (6). doi:10.3792/pjaa.92.73. ISSN 0386-2194.