تمثيل شبه بسيط

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 114 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية التمثيل ، يُعرف التمثيل شبه البسيط (ويُسمى أيضًا التمثيل القابل للاختزال كليًا ) بأنه تمثيل خطي لمجموعة أو جبر، وهو عبارة عن مجموع مباشر لتمثيلات بسيطة (وتُسمى أيضًا التمثيلات غير القابلة للاختزال ). [ 1 ] وهو مثال على المفهوم الرياضي العام لشبه البساطة . [ 2 ] [ 3 ]

العديد من التمثيلات التي تظهر في تطبيقات نظرية التمثيل هي تمثيلات شبه بسيطة أو يمكن تقريبها بتمثيلات شبه بسيطة. يُعدّ النموذج شبه البسيط فوق جبر فوق حقل مثالاً على التمثيل شبه البسيط. وعلى العكس ، فإن التمثيل شبه البسيط لمجموعة G فوق حقل k هو نموذج شبه بسيط فوق جبر المجموعة k [ G ].

توصيفات مكافئة

ليكن V تمثيلاً لمجموعة G ؛ أو بشكل أعم، ليكن V فضاءً متجهيًا مع مجموعة من التشاكلات الخطية الداخلية المؤثرة عليه. بشكل عام، يُقال إن الفضاء المتجهي المؤثر عليه مجموعة من التشاكلات الخطية الداخلية بسيط (أو غير قابل للاختزال) إذا كانت الفضاءات الجزئية الثابتة الوحيدة لتلك المؤثرات هي الصفر والفضاء المتجهي نفسه؛ وبالتالي، فإن التمثيل شبه البسيط هو مجموع مباشر للتمثيلات البسيطة بهذا المعنى. [ 1 ]

ما يلي متكافئ: [ 4 ]

  1. V شبه بسيط كتمثيل.
  2. V عبارة عن مجموع تمثيلات فرعية بسيطة .
  3. كل تمثيل فرعي W من V يقبل تمثيلاً مكملاً : تمثيل فرعي W بحيثV=دبليو⊕دبليو′{\displaystyle V=W\oplus W'}.

يمكن إثبات تكافؤ الشروط المذكورة أعلاه بناءً على اللمة التالية ، والتي لها أهمية مستقلة:

اللمة [ 5 ] - ليكن p : V → W تطبيقًا شاملًا ومتكافئًا بين التمثيلات. إذا كان V شبه بسيط، فإن p يقسم ؛ أي أنه يقبل مقطعًا .

برهان اللمة : اكتبV=⨁أنا∈أناVأنا{\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}أينVأنا{\displaystyle V_{i}}هي تمثيلات بسيطة. وبدون فقدان للعمومية ، يمكننا أن نفترضVأنا{\displaystyle V_{i}}هي تمثيلات فرعية؛ أي يمكننا افتراض أن المجموع المباشر داخلي. الآن، لننظر إلى عائلة جميع المجاميع المباشرة الممكنةVج:=⨁أنا∈جVأنا⊂V{\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}مع مجموعات فرعية متنوعةج⊂أنا{\displaystyle J\subset I}ضع الترتيب الجزئي عليه بالقول إن المجموع المباشر على K أقل من المجموع المباشر على J إذاك⊂ج{\displaystyle K\subset J}باستخدام ليمّة زورن ، يمكننا إيجاد قيمة عظمىج⊂أنا{\displaystyle J\subset I}بحيثكير⁡ص∩Vج=0{\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}نزعم أنV=كير⁡ص⊕Vج{\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}بحسب التعريف،كير⁡ص∩Vج=0{\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}لذا كل ما نحتاجه هو أن نوضح ذلكV=كير⁡ص+Vج{\displaystyle V=\operatorname {ker} p+V_{J}}. لوكير⁡ص+Vج{\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}هو تمثيل فرعي مناسب لـV{\displaystyle V}ثم يوجدك∈أنا-ج{\displaystyle k\in IJ}بحيثVك⊄كير⁡ص+Vج{\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}. منذVك{\displaystyle V_{k}}بسيط (غير قابل للاختزال)،Vك∩(كير⁡ص+Vج)=0{\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}وهذا يتناقض مع مبدأ الحد الأقصى لـج{\displaystyle J}، لذاV=كير⁡ص⊕Vج{\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}كما هو مزعوم. لذا، دبليو≃V/كير⁡ص≃Vج→V{\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}هو جزء من ص .◻{\displaystyle \square }

لاحظ أنه لا يمكننا أن نأخذج{\displaystyle J}إلى مجموعةأنا{\displaystyle i}بحيثكير⁡(ص)∩Vأنا=0{\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}والسبب هو أنه يمكن أن يحدث، وكثيراً ما يحدث، أنX{\displaystyle X}هو فضاء جزئي منY⊕Z{\displaystyle Y\oplus Z}ومع ذلكX∩Y=0=X∩Z{\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}على سبيل المثال، خذX{\displaystyle X}،Y{\displaystyle Y}وZ{\displaystyle Z}أن تكون ثلاثة خطوط متميزة تمر عبر نقطة الأصل فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}. كمثال مضاد صريح، دعأ=حصيرة2⁡F{\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}F}لتكن جبر المصفوفات من الرتبة 2×2 و مجموعةV=أ{\displaystyle V=A}التمثيل المنتظم لـأ{\displaystyle A}. تعيينV1={(أ0ب0)}{\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}وV2={(0ج0د)}{\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}وضبطدبليو={(ججدد)}{\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}. ثمV1{\displaystyle V_{1}}،V2{\displaystyle V_{2}}ودبليو{\displaystyle W}جميعها غير قابلة للاختزالأ{\displaystyle A}-الوحدات النمطية وV=V1⊕V2{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}. يتركص:V→V/دبليو{\displaystyle p:V\to V/W}ليكن الشمول الطبيعي. ثمكير⁡ص=دبليو≠0{\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}وV1∩كير⁡ص=0=V2∩كير⁡ص{\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}في هذه الحالة،دبليو≃V1≃V2{\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}لكنV≠كير⁡ص⊕V1⊕V2{\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}لأن هذا المجموع ليس مباشراً.

إثبات التكافؤات [ 6 ]1.⇒3.{\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}لنفترض أن p هو التطبيق الشامل الطبيعيV→V/دبليو{\displaystyle V\to V/W}بما أن V شبه بسيط، فإن p ينقسم، وبالتالي، من خلال مقطع،V/دبليو{\displaystyle V/W}متماثل مع تمثيل فرعي مكمل لـ W.

3.⇒2.{\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}سنلاحظ أولاً أن لكل تمثيل جزئي غير صفري W تمثيلاً جزئياً بسيطاً. بتقليص W إلى تمثيل جزئي دوري (غير صفري) ، يمكننا افتراض أنه مولد نهائياً. عندئذٍ، يكون له تمثيل جزئي أقصى U. وفقاً للشرط 3،V=يو⊕يو′{\displaystyle V=U\oplus U'}بالنسبة للبعضيو′{\displaystyle U'}وبحسب قانون الوحدات، فإن ذلك يستلزمدبليو=يو⊕(دبليو∩يو′){\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}. ثم(دبليو∩يو′)≃دبليو/يو{\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}هي تمثيل فرعي بسيط لـ W (بسيطة بسبب كونها قصوى). هذا يثبت الملاحظة. الآن، خذدبليو{\displaystyle W}أن تكون مجموع جميع التمثيلات الفرعية البسيطة، والتي، بحسب 3، تقبل تمثيلاً مكملاًدبليو′{\displaystyle W'}. لودبليو′≠0{\displaystyle W'\neq 0}ثم، من خلال الملاحظة المبكرة،دبليو′{\displaystyle W'}يحتوي على تمثيل فرعي بسيط، وبالتاليدبليو∩دبليو′≠0{\displaystyle W\cap W'\neq 0}كلام فارغ. لذا،دبليو′=0{\displaystyle W'=0}.

2.⇒1.{\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}[ 7 ] يُعدّ هذا الاستنتاج تعميمًا مباشرًا لحقيقة أساسية في الجبر الخطي، وهي إمكانية استخلاص أساس من مجموعة مولدة لفضاء متجهي. أي أنه يمكننا إثبات العبارة التالية الأكثر دقة :

  • متىV=∑أنا∈أناVأنا{\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}هو مجموع تمثيلات فرعية بسيطة، وتفكيك شبه بسيطV=⨁أنا∈أنا′Vأنا{\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}، مجموعة فرعيةأنا′⊂أنا{\displaystyle I'\subset I}، ويمكن استخراجها من المجموع.

كما هو الحال في برهان اللمة، يمكننا إيجاد مجموع مباشر أقصىدبليو{\displaystyle W}التي تتكون من بعضVأنا{\displaystyle V_{i}}الآن، لكل i في I ، ببساطة، إماVأنا⊂دبليو{\displaystyle V_{i}\subset W}أوVأنا∩دبليو=0{\displaystyle V_{i}\cap W=0}في الحالة الثانية، المجموع المباشردبليو⊕Vأنا{\displaystyle W\oplus V_{i}}وهذا يتناقض مع مبدأ الحد الأقصى لـ W. لذا،Vأنا⊂دبليو{\displaystyle V_{i}\subset W}.◻{\displaystyle \square }

أمثلة ونماذج مضادة

التمثيلات الموحدة

التمثيل الوحدوي ذو الأبعاد المحدودة (أي التمثيل الذي يمر عبر زمرة وحدوية ) هو مثال أساسي على التمثيل شبه البسيط. ويُسمى هذا التمثيل شبه بسيط لأنه إذا كان W تمثيلاً جزئياً، فإن المتمم المتعامد لـ W هو تمثيل مكمل [ 8 ]، لأنه إذاv∈دبليو⊥{\displaystyle v\in W^{\bot }}وز∈جي{\displaystyle g\in G}، ثم⟨π(ز)v،w⟩=⟨v،π(ز-1)w⟩=0{\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}لأي w في W لأن W ثابتة بالنسبة لـ G ، وبالتاليπ(ز)v∈دبليو⊥{\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}.

على سبيل المثال، بالنظر إلى تمثيل معقد مستمر ذي أبعاد محدودةπ:جي→جيل(V){\displaystyle \pi :G\to GL(V)}بالنسبة لمجموعة منتهية أو مجموعة متراصة G ، يمكن تعريف الضرب الداخلي باستخدام حجة المتوسط.⟨،⟩{\displaystyle \langle \,,\rangle }على V التي هي ثابتة بالنسبة لـ G : أي،⟨π(ز)v،π(ز)w⟩=⟨v،w⟩{\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }وهذا يعنيπ(ز){\displaystyle \pi (g)}هو عامل وحدوي، وبالتاليπ{\displaystyle \pi }[ 8 ] هو تمثيل وحدوي. [9] وبالتالي، فإن كل تمثيل عقدي متصل محدود الأبعاد للمجموعة G هو تمثيل شبه بسيط. [ 10 ] بالنسبة لمجموعة منتهية ، تُعد هذه حالة خاصة من نظرية ماشكه ، التي تنص على أن التمثيل محدود الأبعاد لمجموعة منتهية G على حقل k ذي خاصية لا تقسم رتبة G هو تمثيل شبه بسيط . [ 11 ] [ 12 ]

تمثيلات جبر لي شبه البسيط

بحسب نظرية فايل حول الاختزال الكامل ، فإن كل تمثيل محدود الأبعاد لجبر لي شبه بسيط على حقل ذي خاصية صفرية هو شبه بسيط. [ 12 ]

كثيرات الحدود الدنيا القابلة للفصل

بالنظر إلى تشاكل خطي T لفضاء متجهي V ، يكون V شبه بسيط كتمثيل لـ T (أي أن T مؤثر شبه بسيط ) إذا وفقط إذا كانت متعددة الحدود الدنيا لـ T قابلة للفصل؛ أي حاصل ضرب متعددات حدود غير قابلة للاختزال مختلفة. [ 13 ]

التمثيل شبه البسيط المرتبط

بالنظر إلى تمثيل محدود الأبعاد V ، تنص نظرية جوردان-هولدر على وجود ترشيح بواسطة التمثيلات الفرعية:V=V0⊃V1⊃⋯⊃Vن=0{\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}بحيث يكون كل ناتج قسمة متتاليVأنا/Vأنا+1{\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}هو تمثيل بسيط. ثم الفضاء المتجهي المرتبط بهغرام⁡V:=⨁أنا=0ن-1Vأنا/Vأنا+1{\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}هو تمثيل شبه بسيط يسمى تمثيل شبه بسيط مرتبط ، والذي يتم تحديده بشكل فريد بواسطة V حتى التماثل . [ 14 ]

مثال غير صحيح لمجموعة أحادية القدرة

تمثيل المجموعة أحادية القوة ليس شبه بسيط بشكل عام. خذ على سبيل المثالجي{\displaystyle G}أن تكون المجموعة المكونة من المصفوفات الحقيقية[1أ01]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}يؤثر علىV=R2{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}بطريقة طبيعية، مما يجعل V تمثيلاً لـ G. إذا كان W تمثيلاً جزئياً لـ V ذو بُعد 1، فإن عملية حسابية بسيطة تُظهر أنه يجب أن يمتد بواسطة المتجه.[10]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}أي أن هناك ثلاثة تمثيلات فرعية من النوع G لـ V ؛ وعلى وجه الخصوص، فإن V ليس شبه بسيط (حيث أن التمثيل الفرعي أحادي البعد الوحيد لا يقبل تمثيلاً مكملاً). [ 15 ]

التفكيك شبه البسيط والتعددية

لا يشترط أن يكون تفكيك التمثيل شبه البسيط إلى تمثيلات بسيطة، والذي يُسمى التفكيك شبه البسيط، فريدًا؛ فعلى سبيل المثال، بالنسبة للتمثيل التافه، تكون التمثيلات البسيطة عبارة عن فضاءات متجهة أحادية البعد، وبالتالي فإن التفكيك شبه البسيط يُختزل إلى اختيار أساس لفضاء متجه التمثيل. [ 16 ] أما التفكيك المتماثل، فهو مثال على التفكيك الفريد . [ 17 ]

مع ذلك، بالنسبة لتمثيل شبه بسيط محدود الأبعاد V على حقل مغلق جبريًا ، فإن عدد التمثيلات البسيطة حتى التشاكل التي تظهر في تفكيك V (1) يكون فريدًا، و(2) يحدد التمثيل حتى التشاكل تحديدًا كاملًا؛ [ 18 ] هذه نتيجة لفرضية شور على النحو التالي. لنفترض أن لدينا تمثيلًا شبه بسيط محدود الأبعاد V على حقل مغلق جبريًا: بحسب التعريف، هو مجموع مباشر للتمثيلات البسيطة. بتجميع التمثيلات البسيطة المتماثلة فيما بينها في التفكيك، حتى التشاكل، نجد تفكيكًا (ليس بالضرورة فريدًا): [ 18 ]

V≃⨁أناVأنا⊕مأنا{\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}

أينVأنا{\displaystyle V_{i}}هي تمثيلات بسيطة، غير متماثلة فيما بينها، ومأنا{\displaystyle m_{i}}هي أعداد صحيحة موجبة . وفقًا لفرضية شور،

مأنا=خافت⁡هومما يعادل⁡(Vأنا،V)=خافت⁡هومما يعادل⁡(V،Vأنا){\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}،

أينهومما يعادل{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}يشير إلى الخرائط الخطية المتغيرة . كذلك، كلمأنا{\displaystyle m_{i}}لا يتغير إذاVأنا{\displaystyle V_{i}}يتم استبدالها بتمثيل بسيط آخر متماثل معVأنا{\displaystyle V_{i}}وبالتالي، فإن الأعداد الصحيحةمأنا{\displaystyle m_{i}}مستقلة عن عمليات التفكيك المختارة؛ إنها تعددية التمثيلات البسيطة.Vأنا{\displaystyle V_{i}}، حتى التماثل، في V . [ 19 ]

بشكل عام، بالنظر إلى تمثيل محدود الأبعادπ:جي→جيل(V){\displaystyle \pi :G\to GL(V)}تركيب مجموعة G على حقل kχV:جي→πجيل(V)→trك{\displaystyle \chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k}يُطلق عليه اسم شخصية(π،V){\displaystyle (\pi ,V)}[ 20 ] عندما​(π،V){\displaystyle (\pi ,V)}شبه بسيط مع التفكيكV≃⨁أناVأنا⊕مأنا{\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}كما سبق، الأثرtr⁡(π(ز)){\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}هو مجموع آثارπ(ز):Vأنا→Vأنا{\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}مع التعددية، وبالتالي، كدوال على G ،

χV=∑أنامأناχVأنا{\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}

أينχVأنا{\displaystyle \chi _{V_{i}}}شخصياتVأنا{\displaystyle V_{i}}عندما تكون G مجموعة منتهية أو بشكل أعم مجموعة متراصة وV{\displaystyle V}هو تمثيل وحدوي مع حاصل الضرب الداخلي المعطى بواسطة وسيط المتوسط، وتنص علاقات تعامد شور على ما يلي: [ 21 ] إن الخصائص غير القابلة للاختزال (خصائص التمثيلات البسيطة) لـ G هي مجموعة فرعية متعامدة من فضاء الدوال ذات القيم المركبة على G ، وبالتاليمأنا=⟨χV،χVأنا⟩{\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }.

التحلل المتماثل

يوجد تحليل فريد للتمثيل شبه البسيط، يُسمى التحليل المتماثل للتمثيل. بحسب التعريف، إذا كان لدينا تمثيل بسيط S ، فإن المكون المتماثل من النوع S للتمثيل V هو مجموع جميع التمثيلات الفرعية لـ V المتماثلة مع S ؛ [ 17 ] لاحظ أن هذا المكون متماثل أيضًا مع المجموع المباشر لمجموعة مختارة من التمثيلات الفرعية المتماثلة مع S (لذا فإن المكون فريد، بينما لا تكون حدود المجموع فريدة بالضرورة).

ثم يكون التفكيك المتساوي النمط لتمثيل شبه بسيط V هو تفكيك المجموع المباشر (الفريد): [ 17 ] [ 22 ]

V=⨁λ∈جي^Vλ{\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}

أينجي^{\displaystyle {\widehat {G}}}هي مجموعة فئات التشاكل للتمثيلات البسيطة لـ G وVλ{\displaystyle V^{\lambda }}هو المكون المتماثل النمط لـ V من النوع S لبعضS∈λ{\displaystyle S\in \lambda }.

المكون المتماثل

المكون المتماثل للوزن​λ{\displaystyle \lambda }وحدة جبر لي هي مجموع جميع الوحدات الفرعية المتماثلة مع وحدة الوزن الأعلى ذات الوزنλ{\displaystyle \lambda }.

تعريف

V=⨁أنا=1شمالVأنا{\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{N}V_{i}}.
  • كل تمثيل غير قابل للاختزال ذو أبعاد محدودة منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}يتم تحديدها بشكل فريد (حتى التماثل) من خلال وزنها الأعلى
∀أنا∈{1،...،شمال}∃λ∈P(ز):Vأنا≃مλ{\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,N\}\,\exists \lambda \in P({\mathfrak {g}}):V_{i}\simeq M_{\lambda }}، أينمλ{\displaystyle M_{\lambda }}يشير إلى وحدة الوزن الأعلى ذات الوزن الأعلىλ{\displaystyle \lambda }.
  • في تحللV{\displaystyle V}قد تظهر فئة معينة من التشاكل أكثر من مرة، وبالتالي
V≃⨁λ∈P(ز)(⨁أنا=1دλمλ){\displaystyle V\simeq \bigoplus _{\lambda \in P({\mathfrak {g}})}(\bigoplus _{i=1}^{d_{\lambda }}M_{\lambda })}.

وهذا يحدد المكون المتماثل للوزنλ{\displaystyle \lambda }لV{\displaystyle V}:λ(V):=⨁أنا=1دλVأنا≃جدλ⊗مλ{\displaystyle \lambda (V):=\bigoplus _{i=1}^{d_{\lambda }}V_{i}\simeq \mathbb {C} ^{d_{\lambda }}\otimes M_{\lambda }} أيندλ{\displaystyle d_{\lambda }}هو الحد الأقصى.

مثال

يتركV{\displaystyle V}ليكن فضاء كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة الثالثة على الأعداد المركبة في متغيراتx1،x2،x3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}. ثمS3{\displaystyle S_{3}}أعمال بشأنV{\displaystyle V}عن طريق تبديل المتغيرات الثلاثة. هذا تمثيل معقد محدود الأبعاد لمجموعة منتهية، وبالتالي فهو شبه بسيط. لذلك، يمكن تقسيم هذا التمثيل ذو العشرة أبعاد إلى ثلاثة مكونات متماثلة، كل منها يتوافق مع أحد التمثيلات الثلاثة غير القابلة للاختزال لـS3{\displaystyle S_{3}}. بخاصة،V{\displaystyle V}يحتوي على ثلاث نسخ من التمثيل التافه، ونسخة واحدة من تمثيل الإشارة، وثلاث نسخ من التمثيل غير القابل للاختزال ثنائي الأبعاددبليو{\displaystyle W}لS3{\displaystyle S_{3}}على سبيل المثال، مدىx12x2-x22x1+x12x3-x22x3{\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}وx22x3-x32x2+x22x1-x32x1{\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}متماثل معدبليو{\displaystyle W}ويمكن توضيح ذلك بسهولة أكبر من خلال كتابة هذا الفضاء الفرعي ثنائي الأبعاد على النحو التالي:

دبليو1={أ(x12x2+x12x3)+ب(x22x1+x22x3)+ج(x32x1+x32x2)|أ+ب+ج=0}{\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}}.

نسخة أخرى مندبليو{\displaystyle W}يمكن كتابتها بصيغة مماثلة:

دبليو2={أ(x22x1+x32x1)+ب(x12x2+x32x2)+ج(x12x3+x22x3)|أ+ب+ج=0}{\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}}.

وكذلك الثالث:

دبليو3={أx13+بx23+جx33|أ+ب+ج=0}{\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}.

ثمدبليو1⊕دبليو2⊕دبليو3{\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}هو المكون المتماثل للنمطدبليو{\displaystyle W}فيV{\displaystyle V}.

انتهاء

في تحليل فورييه ، تُفكَّك دالة (جيدة) إلى نهاية متسلسلة فورييه لتلك الدالة. وبالمثل، قد لا يكون التمثيل نفسه شبه بسيط، ولكنه قد يكون استكمالًا (بمعنى مناسب) لتمثيل شبه بسيط. وأبسط مثال على ذلك هو نظرية بيتر-ويل ، التي تُفكِّك التمثيل المنتظم الأيسر (أو الأيمن) لمجموعة متراصة إلى استكمال فضاء هيلبرت للمجموع المباشر لجميع التمثيلات الوحدوية البسيطة. وكنتيجة لذلك ، [ 23 ] يوجد تحليل طبيعي لـدبليو=ل2(جي){\displaystyle W=L^{2}(G)}= فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي (أو فئات الدوال) على مجموعة مضغوطة G :

دبليو≃⨁[(π،V)]^V⊕خافت⁡V{\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}

أين⨁^{\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}يعني ذلك إتمام عملية الجمع المباشر، وتسري عملية الجمع المباشر على جميع فئات التشاكل للتمثيلات الوحدوية البسيطة ذات الأبعاد المحدودة(π،V){\displaystyle (\pi ,V)}من G. [ ملاحظة 1 ] لاحظ هنا أن كل تمثيل وحدوي بسيط (حتى التشاكل ) يظهر في المجموع بتعدد أبعاد التمثيل.

عندما تكون المجموعة G مجموعة منتهية، فإن الفضاء المتجهيدبليو=ج[جي]{\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}هي ببساطة جبر المجموعة G ، وإكمالها فارغ. وبالتالي، تنص النظرية ببساطة على أن

ج[جي]=⨁[(π،V)]V⊕خافت⁡V.{\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}

أي أن كل تمثيل بسيط للمجموعة G يظهر في التمثيل المنتظم بتعدد يساوي بُعد التمثيل. [ 24 ] هذه إحدى الحقائق القياسية في نظرية تمثيل المجموعة المنتهية (ويسهل إثباتها).

عندما تكون المجموعة G هي مجموعة الدائرةS1{\displaystyle S^{1}}، فإن النظرية تعادل تمامًا تحليل فورييه الكلاسيكي. [ 25 ]

تطبيقات في الفيزياء

في ميكانيكا الكم وفيزياء الجسيمات ، يمكن وصف الزخم الزاوي لجسم ما بتمثيلات معقدة لمجموعة الدوران SO(3) ، وكلها شبه بسيطة. [ 26 ] وبسبب الارتباط بين SO(3) وSU(2) ، يُوصف اللف المغزلي غير النسبي لجسيم أولي بتمثيلات معقدة لـ SU(2)، بينما يُوصف اللف المغزلي النسبي بتمثيلات معقدة لـ SL2 ( C ) ، وكلها شبه بسيطة. [ 26 ] في اقتران الزخم الزاوي ، تنشأ معاملات كليبيش-غوردان من تعددية التمثيلات غير القابلة للاختزال التي تظهر في التفكيك شبه البسيط لحاصل ضرب موتر للتمثيلات غير القابلة للاختزال. [ 27 ]

ملحوظات

  1. ↑ على وجه الدقة، تتعلق النظرية بالتمثيل المنتظم لـجي×جي{\displaystyle G\times G}والبيان أعلاه هو نتيجة منطقية.

مراجع

الاقتباسات

  1. 1 2 عملية 2007 ، الفصل. 6، § 1.1، التعريف 1 (2).
  2. ↑ "بارك سيتي PDF" (PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-09-2025 .
  3. ↑ "ملف PDF الخاص بـ Replect" (PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-09-2025 .
  4. ^ العملية 2007 ، الفصل. 6، § 2.1.
  5. ↑ أندرسون وفولر 1992 ، الاقتراح 9.4.
  6. ↑ أندرسون وفولر 1992 ، النظرية 9.6.
  7. ↑ أندرسون وفولر 1992 ، المبرهنة 9.2.
  8. 1 2 فولتون وهاريس 1991 ، § 9.3. أ
  9. ↑ هول 2015 ، النظرية 4.28
  10. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، النتيجة 1.6.
  11. ↑ سير 1977 ، النظرية 2.
  12. ↑ هول 2015 نظرية 10.9
  13. ↑ جاكوبسون 1989 ، § 3.5. التمرين 4.
  14. ^ أرتين 1999 ، الفصل. الخامس، § 14.
  15. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، مباشرة بعد النتيجة 1.6.
  16. ^ سيري 1977 ، § 1.4. ملاحظة
  17. 1 2 3 عملية 2007 , الفصل. 6، § 2.3.
  18. 1 2 فولتون وهاريس 1991 ، الاقتراح 1.8.
  19. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، § 2.3.
  20. ↑ فولتون وهاريس 1991 ، § 2.1. التعريف
  21. ↑ سير 1977 ، § 2.3. النظرية 3 و § 4.3.
  22. ^ سيري 1977 ، § 2.6. نظرية 8 (ط)
  23. ^ العملية 2007 ، الفصل. 8، نظرية 3.2.
  24. ↑ سير 1977 ، § 2.4. النتيجة 1 للمقترح 5
  25. ^ العملية 2007 ، الفصل. 8، § 3.3.
  26. 1 2 هول، برايان سي. (2013). "الزخم الزاوي والدوران". نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 267. سبرينغر . الصفحات 367-392 . ISBN   978-1461471158.
  27. ↑ كليميك، أ. يو.؛ غافريليك، أ. م. (1979). "عناصر مصفوفة التمثيل ومعاملات كليبيش-غوردان لمجموعات لي شبه البسيطة". مجلة الفيزياء الرياضية . 20 (1624): 1624-1642 . Bibcode : 1979JMP....20.1624K . doi : 10.1063/1.524268 .

مصادر