تمثيل غالوا

في الرياضيات ، وحدة غالوا هي وحدة G ، حيث G هي زمرة غالوا (نسبةً إلى إيفاريست غالوا ) لامتداد ما من الحقول . يُستخدم مصطلح تمثيل غالوا بكثرة عندما تكون وحدة G فضاءً متجهيًا فوق حقل أو وحدة حرة فوق حلقة في نظرية التمثيل ، ولكن يمكن استخدامه أيضًا كمرادف لوحدة G. تُعد دراسة وحدات غالوا لامتدادات الحقول المحلية أو العالمية وتماثلها الزمرّي أداةً مهمةً في نظرية الأعداد .

أمثلة

بالنظر إلى حقل K ، فإن المجموعة الضربية ( K ^s ) ^× لإغلاق قابل للفصل لـ K هي وحدة غالوا لمجموعة غالوا المطلقة . مجموعة التماثل الثانية الخاصة بها متماثلة مع مجموعة براور لـ K ( بحسب نظرية هيلبرت 90 ، فإن مجموعة التماثل الأولى الخاصة بها تساوي صفرًا).
إذا كان X مخططًا مناسبًا سلسًا على حقل K فإن مجموعات التماثل ℓ-adic للألياف الهندسية الخاصة به هي وحدات غالوا لمجموعة غالوا المطلقة لـ K.

نظرية التفرع

ليكن K حقلاً قيمياً (يرمز إلى التقييم بـ v )، وليكن L / K امتداد غالوا منتهياً مع زمرة غالوا G. بالنسبة لامتداد w لـ v إلى L ، ليكن _Iw زمرة القصور الذاتي الخاصة به . يُقال إن وحدة غالوا ρ : G → Aut( V ) غير متفرعة إذا كانت ρ ( Iw ₎ = {1}.

بنية وحدة غالوا للأعداد الصحيحة الجبرية

في نظرية الأعداد الجبرية الكلاسيكية ، ليكن L امتدادًا لغالوا للحقل K ، ولتكن G زمرة غالوا المناظرة. عندئذٍ، يمكن اعتبار حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية OL في L وحدة نمطية OK _[ G ] ، ويمكن التساؤل عن بنيتها. هذا سؤال حسابي، إذ تُعرف نظرية الأساس الطبيعي أن L وحدة نمطية حرة من الرتبة 1 على _K [ G ] . إذا كان الأمر نفسه ينطبق على الأعداد الصحيحة، فهذا يُكافئ وجود أساس تكاملي طبيعي ، أي α في OL بحيث تُشكل عناصره المترافقة تحت G أساسًا حرًا لـ OL على _OK . هذا سؤال مثير للاهتمام حتى (وربما خصوصًا ) _عندما يكون _K هو حقل الأعداد النسبية Q.

على سبيل المثال، إذا كان L = Q ( √ −3 )، فهل توجد قاعدة تكاملية طبيعية؟ الإجابة هي نعم، كما يتضح من خلال تعريفها بـ Q ( ζ ) حيث

ζ = exp(2

π

i /3).

في الواقع، جميع الحقول الفرعية للحقول الدائرية للجذور p للوحدة ، حيث p عدد أولي، لها قواعد صحيحة طبيعية (على Z )، كما يُستنتج من نظرية الدورات الغاوسية ( مبرهنة هيلبرت-سبايزر ). من ناحية أخرى، لا يمتلك الحقل الغاوسي هذه القواعد . هذا مثال على شرط ضروري وجدته إيمي نوثر ( ربما كان معروفًا سابقًا؟ ). المهم هنا هو التفرع المُروض . بدلالة المميز D لـ L ، وبافتراض أن K = Q ، لا يجب أن يقسم أي عدد أولي p قيمة D مرفوعة للأس p . تنص مبرهنة نوثر على أن التفرع المُروض شرط ضروري وكافٍ لكي يكون OL وحدة إسقاطية على Z [ G ]. من المؤكد إذًا أنه شرط ضروري لكي يكون وحدة حرة . يبقى السؤال مطروحًا حول الفجوة بين _{الوحدات} الحرة والإسقاطية، والتي بُنيت لها نظرية واسعة.

تُشير إحدى النتائج الكلاسيكية، المستندة إلى نتيجة ديفيد هيلبرت ، إلى أن حقل الأعداد الأبيلية المتفرع بشكل طفيف يمتلك أساسًا تكامليًا طبيعيًا. ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية كرونكر-ويبر لتضمين الحقل الأبيلي في حقل دائري. ^{[ 1 ]}

تمثيلات غالوا في نظرية الأعداد

العديد من الكائنات التي تظهر في نظرية الأعداد هي تمثيلات غالوا طبيعية. على سبيل المثال، إذا _كان L امتداد غالوا لحقل عددي K ، فإن حلقة الأعداد الصحيحة OL من _L هي وحدة غالوا فوق OK لمجموعة غالوا لـ L / K (انظر نظرية هيلبرت-سبايزر). إذا كان K حقلاً محلياً، فإن المجموعة الضربية لإغلاقه القابل للفصل هي وحدة لمجموعة غالوا المطلقة لـ K، ودراستها تؤدي إلى نظرية حقول الفئات المحلية . أما في نظرية حقول الفئات العالمية ، فيُستخدم اتحاد مجموعات فئات الإيديل لجميع الامتدادات القابلة للفصل المحدودة لـ K.

توجد أيضًا تمثيلات غالوا التي تنشأ من كائنات مساعدة ويمكن استخدامها لدراسة زمر غالوا. ومن الأمثلة المهمة على ذلك وحدات تيت ℓ-adic للأصناف الأبيلية .

تمثيلات آرتين

ليكن K حقلًا عدديًا. قدّم إميل أرتين فئة من تمثيلات غالوا لمجموعة غالوا المطلقة G _K لـ K ، والتي تُعرف الآن بتمثيلات أرتين . وهي تمثيلات خطية متصلة ذات أبعاد منتهية لـ G _K على فضاءات متجهة عقدية . قادته دراسة أرتين لهذه التمثيلات إلى صياغة قانون التبادلية لأرتين ، وإلى وضع تخمين يُعرف الآن بتخمين أرتين المتعلق بتماثل دوال أرتين L - .

بسبب عدم توافق الطوبولوجيا المحدودة على G _K والطوبولوجيا المعتادة (الإقليدية) على فضاءات المتجهات المعقدة، فإن صورة تمثيل أرتين تكون دائمًا محدودة.

التمثيلات ℓ-adic

ليكن ℓ عددًا أوليًا . التمثيل ℓ-adic للمجموعة G _K هو تشاكل زمر متصل ρ : G _K → Aut( M ) حيث M إما فضاء متجهي محدود الأبعاد على Q_ℓ (الإغلاق الجبري للأعداد ℓ-adic Q _ℓ ) أو وحدة نمطية Z_ℓ-مولّدة نهائيًا (حيث Z_ℓ هو الإغلاق التكاملي لـ Z _ℓ في Q_ℓ ). من الأمثلة الأولى التي ظهرت: الخاصية الدائرية ℓ-adic ووحدات تيت ℓ-adic للأصناف الأبيلية على K. وتأتي أمثلة أخرى من تمثيلات غالوا للأشكال النمطية والأشكال الذاتية ، وتمثيلات غالوا على زمر التماثل ℓ-adic للأصناف الجبرية.

على عكس تمثيلات آرتين، يمكن أن يكون للتمثيلات ℓ-adic صورة لانهائية. على سبيل المثال، صورة G _Q تحت خاصية ℓ-adic الدائرية هي $\mathbf {Z} _{\ell }^{\times }$ تُسمى التمثيلات ℓ-adic ذات الصورة المحدودة غالبًا بتمثيلات آرتين. ومن خلال تماثل Q_ℓ مع C، يمكن تحديدها على أنها تمثيلات آرتين حقيقية .

تمثيلات Mod ℓ

هذه تمثيلات على حقل منتهٍ ذي خاصية ℓ. وغالبًا ما تنشأ كاختزال modulo ℓ لتمثيل ℓ-adic.

الشروط المحلية المتعلقة بالتمثيلات

توجد شروط عديدة على التمثيلات، تُحددها خاصية معينة لهذا التمثيل، مُقيدة بمجموعة تحليل لعدد أولي. وتتسم المصطلحات المستخدمة لوصف هذه الشروط بشيء من الفوضى، حيث يبتكر مؤلفون مختلفون أسماءً متباينة للشرط نفسه، ويستخدمون الاسم نفسه بمعانٍ مختلفة. ومن هذه الشروط:

التمثيلات الأبيلية. وهذا يعني أن صورة مجموعة غالوا في التمثيلات هي تمثيل أبيلي .
التمثيلات غير القابلة للاختزال مطلقًا. تظل هذه التمثيلات غير قابلة للاختزال على إغلاق جبري للحقل.
تمثيلات بارسوتي-تيت. وهي تشبه التمثيلات المسطحة المحدودة.
تمثيلات كريستالية
تمثيلات بلورية.
تمثيلات دي رام.
التمثيلات المسطحة المحدودة. (هذا الاسم مضلل بعض الشيء، لأنها في الواقع شبه محدودة وليست محدودة.) يمكن بناء هذه التمثيلات كحد إسقاطي لتمثيلات مجموعة غالوا على مخطط مجموعة مسطحة محدودة .
تمثيلات جيدة. هذه التمثيلات مرتبطة بتمثيلات المنحنيات الإهليلجية مع اختزال جيد.
تمثيلات هودج-تيت.
التمثيلات غير القابلة للاختزال . هذه التمثيلات غير قابلة للاختزال بمعنى أن التمثيل الفرعي الوحيد هو الفضاء بأكمله أو الصفر.
تمثيلات ذات تفرعات قليلة.
التمثيلات المعيارية. هذه تمثيلات ناتجة عن شكل معياري ، ولكن يمكن أن تشير أيضًا إلى تمثيلات على حقول ذات خصائص موجبة .
التمثيلات العادية. ترتبط هذه التمثيلات بتمثيلات المنحنيات الإهليلجية ذات الاختزال العادي (غير الفائق التفرد). وبشكل أدق، هي تمثيلات ثنائية الأبعاد قابلة للاختزال إلى تمثيل فرعي أحادي البعد، بحيث تؤثر مجموعة القصور الذاتي بطريقة معينة على الوحدة الفرعية والناتج. ويختلف الشرط الدقيق باختلاف الباحث؛ فعلى سبيل المثال، قد تؤثر بشكل بديهي على الناتج، وبواسطة الخاصية ε على الوحدة الفرعية.
قد تكون هذه تمثيلات. وهذا يعني أن التمثيلات المقيدة بمجموعة فرعية مفتوحة ذات فهرس محدود لها خاصية محددة.
التمثيلات القابلة للاختزال. هذه لها تمثيل فرعي مناسب غير صفري.
التمثيلات شبه المستقرة. هذه تمثيلات ثنائية الأبعاد مرتبطة بالتمثيلات الناتجة عن المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة .
التمثيلات المتفرعة بشكل طفيف. هذه التمثيلات تافهة على مجموعة التفرع (الأولى) .
التمثيلات المثلثية.
التمثيلات غير المتفرعة. هذه التمثيلات تافهة على مجموعة القصور الذاتي.
تمثيلات متفرعة بشكل كبير. هذه التمثيلات ليست تافهة في مجموعة التفرع (الأولى).

تمثيلات مجموعة ويل

إذا كان K حقلاً محلياً أو عالمياً، فإن نظرية تكوين الفئات تُلحق بـ K زمرة ويل W _K ، وتشاكل زمر مستمر φ : W _K → G _K ، وتشاكل الزمر الطوبولوجية

r_{K}:C_{K}{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\text{ab}}

حيث C _K هي K ^× أو زمرة الفئات المثالية I _K / K ^× (بحسب ما إذا كانت K محلية أم عالمية)، و W ab K هي عملية التبديل لزمرة ويل لـ K. عبر φ، يمكن اعتبار أي تمثيل لـ G _K تمثيلاً لـ W _K. مع ذلك، قد يكون لـ W _K تمثيلات أكثر من G _K. على سبيل المثال، عبر r _K، تكون خصائص العقد المتصلة لـ W _K تقابلية مع خصائص C _K. بالتالي، فإن خاصية القيمة المطلقة على C _K تُنتج خاصية لـ W _K صورتها لانهائية، وبالتالي فهي ليست خاصية لـ G _K (لأن جميع هذه الخصائص لها صور منتهية).

يُعرَّف التمثيل ℓ-adic لـ W _K بنفس طريقة تعريفه لـ G _K. وتنشأ هذه التمثيلات بشكل طبيعي من الهندسة: إذا كان X منوعًا إسقاطيًا أملسًا على K ، فإن التماثل ℓ-adic للألياف الهندسية لـ X هو تمثيل ℓ-adic لـ G _K ، والذي بدوره، عبر φ، يُولِّد تمثيلًا ℓ-adic لـ W _K. إذا كان K حقلًا محليًا ذا خاصية متبقية p ≠ ℓ، فإنه من الأسهل دراسة ما يُسمى بتمثيلات ويل-ديليجن لـ W _K.

تمثيلات ويل-ديلين

ليكن K حقلاً محلياً. وليكن E حقلاً ذا خاصية صفرية. تمثيل ويل-ديلين على E لـ W _K (أو ببساطة لـ K ) هو زوج ( r , N ) يتكون من

تماثل مجموعة مستمر r : W _K → Aut _E ( V ) ، حيث V هو فضاء متجهي محدود الأبعاد على E مزود بالطوبولوجيا المنفصلة ،
[ 2 ]

هذه التمثيلات هي نفسها التمثيلات على E لمجموعة Weil–Deligne لـ K.

إذا كانت خاصية البقايا لـ K مختلفة عن ℓ، فإن نظرية غروتينديك حول أحادية التفرع ℓ-adic تُنشئ تقابلاً بين تمثيلات ℓ-adic لـ W _K (على Q_ℓ ) وتمثيلات ويل-ديليجن لـ W _K على Q_ℓ (أو ما يكافئها على C ). تتميز هذه الأخيرة بميزة رائعة، وهي أن استمرارية r تكون فقط بالنسبة للطوبولوجيا المنفصلة على V ، مما يجعل الوضع أقرب إلى الطابع الجبري.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ فروليش 1983 ، ص 8
↑ هنا || w || معطى بواسطة q v ( w ) K حيث q _K هو حجم حقل البقايا لـ K و v ( w ) بحيث يكون w مكافئًا للقوة − v ( w ) لـ Frobenius (الحسابي) لـ W _K .

مراجع

كودلا، ستيفن س. (1994). "مراسلة لانجلاندز المحلية: الحالة غير الأرخميدية". في: جانسن، أوفه؛ كلايمان، ستيفن ؛ سير، جان بيير (محررون). دوافع . وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد 55، الجزء 2. بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 365-391 . ISBN 978-0-8218-2798-7MR 1265559

نيوكيرش، يورغن ؛ شميدت، ألكسندر؛ وينغبيرغ، كاي (2008) [2000]. علم التماثل لحقول الأعداد . سلسلة من الدراسات الشاملة في الرياضيات. المجلد 323 ( الطبعة الثانية). برلين ، هايدلبرغ : سبرينغر . ISBN 978-3-540-37888-4.

تيت، ج. (1979). "خلفية نظرية الأعداد" (ملف PDF) . في: بوريل، أ .؛ كاسلمان، و. (محرران). الأشكال التلقائية، والتمثيلات، ودوال L. وقائع ندوات في الرياضيات البحتة. المجلد 33، الجزء 2. بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . الصفحات 3-26 . ISBN 978-0-8218-1437-6MR 0546607 .

للمزيد من القراءة

سنايث، فيكتور ب. (1994). بنية وحدة غالوا . سلسلة دراسات معهد فيلدز. بروفيدنس : الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-0264-9. Zbl 0830.11042 .

فروليش، ألبريشت (1983). بنية وحدات غالوا للأعداد الصحيحة الجبرية . سلسلة من الدراسات الحديثة في الرياضيات. المجلد 1. برلين ، هايدلبرغ : سبرينغر . ISBN 3-540-11920-5. Zbl 0501.12012 .

[F8-1] فروليش 1983 ، ص 8

[2] هنا || w || معطى بواسطة q v ( w ) K حيث q _K هو حجم حقل البقايا لـ K و v ( w ) بحيث يكون w مكافئًا للقوة − v ( w ) لـ Frobenius (الحسابي) لـ W _K .

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗