نظرية ريبيت

تُعدّ نظرية ريبيت (المعروفة سابقًا باسم حدسية إبسيلون أو حدسية ε ) جزءًا من نظرية الأعداد . وهي تُعنى بخصائص تمثيلات غالوا المرتبطة بالأشكال النمطية . وقد اقترحها جان بيير سير، وأثبتها كين ريبيت . وكان هذا البرهان خطوةً هامةً نحو إثبات نظرية فيرما الأخيرة . وكما بيّن سير وريبيت، فإن حدسية تانياما-شيمورا (التي لم يكن وضعها محسومًا آنذاك) وحدسية إبسيلون معًا تُشيران إلى صحة نظرية فيرما الأخيرة.

من الناحية الرياضية، تُظهر نظرية ريبيت أنه إذا كان لتمثيل غالوا المرتبط بمنحنى إهليلجي خصائص معينة، فإن هذا المنحنى لا يمكن أن يكون نمطيًا (بمعنى أنه لا يمكن أن يوجد شكل نمطي يُنتج نفس التمثيل). ^{[ 1 ]}

ليكن f شكلاً جديداً من الوزن 2 على Γ ₀ ( qN ) – أي من المستوى qN حيث q لا يقسم N – مع تمثيل غالوا ثنائي الأبعاد غير قابل للاختزال مطلقاً modulo p ρ _f,p غير متفرع عند q إذا كان q ≠ p ومسطح محدود عند q = p . عندئذٍ يوجد شكل جديد من الوزن 2 g من المستوى N بحيث

${\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

على وجه الخصوص، إذا كان E منحنى إهليلجيًا فوق${\displaystyle \mathbb {Q} }$إذا كان لدينا موصل qN ، فإن نظرية النمطية تضمن وجود شكل جديد f من الوزن 2 والمستوى qN بحيث يكون تمثيل غالوا ثنائي الأبعاد mod p، ρ _{f, p} ، للدالة f متماثلًا مع تمثيل غالوا ثنائي الأبعاد mod p، ρ _{E, p} ، للدالة E. ولتطبيق نظرية ريبت على ρ _{E , p} ، يكفي التحقق من عدم قابلية اختزال ρ _{E, p} وتفرعها . باستخدام نظرية منحنى تيت ، يمكن إثبات أن ρ _{E, p} غير متفرعة عند q ≠ p ومسطحة عند q = p إذا كان p يقسم القوة التي يظهر عندها q في المميز الأدنى Δ _E. عندئذٍ، تشير نظرية ريبت إلى وجود شكل جديد g من الوزن 2 والمستوى N بحيث يكون ρ _{g , p} ≈ ρ _{E , p} .

تنص نظرية ريبيت على أن البدء بمنحنى إهليلجي E ذي موصل qN لا يضمن وجود منحنى إهليلجي E ′ من المستوى N بحيث يكون ρE _{, p} ≈ ρE _{′ , p} . قد لا يمتلك الشكل الجديد g من المستوى N معاملات فورييه نسبية ، وبالتالي قد يرتبط بتنوع أبيلي ذي أبعاد أعلى _، وليس بمنحنى إهليلجي. على سبيل المثال، المنحنى الإهليلجي 4171a1 في قاعدة بيانات كريمونا مُعطى بالمعادلة

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}$

مع الموصل 43 × 97 والمميز 43 ⁷ × 97 ³ لا يؤدي إلى خفض المستوى mod 7 إلى منحنى إهليلجي للموصل 97. بل إن تمثيل غالوا mod p متماثل مع تمثيل غالوا mod p لشكل جديد غير نسبي g من المستوى 97.

مع ذلك، عندما تكون قيمة ^{p كبيرة بما يكفي مقارنةً بالمستوى N للشكل الجديد المُخفَّض المستوى، يجب أن يُخفَّض مستوى الشكل الجديد العقلاني (مثل منحنى إهليلجي) إلى شكل جديد عقلاني آخر (مثل منحنى إهليلجي). وبالتحديد، عندما تكون p ≫ N 1+} ε ، لا يمكن أن يكون تمثيل غالوا ^{modulo p} للشكل الجديد العقلاني متماثلًا مع شكل جديد غير عقلاني من المستوى N. ^{[ 2 ]}

وبالمثل، تتنبأ فرضية فراي- مازور بأنه بالنسبة لقيم p الكبيرة بما يكفي (بغض النظر عن الموصل N )، فإن المنحنيات الإهليلجية ذات تمثيلات غالوا المتماثلة modulo p تكون في الواقع متجانسة ، وبالتالي لها نفس الموصل. لذا، لا يُتوقع حدوث انخفاض غير تافه في المستوى بين الأشكال الجديدة العقلانية لقيم p الكبيرة ( p > 17) .

في أطروحته، ابتكر إيف هيليغوارش فكرة ربط حلول ( أ ، ب ، ج ) لمعادلة فيرما بكائن رياضي مختلف: منحنى إهليلجي. ^{[ 3 ]} إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا ، و a و b و c أعدادًا صحيحة موجبة بحيث

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p},}$

عندئذٍ، يكون منحنى فراي المقابل منحنى جبريًا يُعطى بالمعادلة

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{p})(x+b^{p}).}$

هذا منحنى جبري غير منفرد من النوع واحد معرف على${\displaystyle \mathbb {Q} }$وإكمالها الإسقاطي عبارة عن منحنى إهليلجي فوق${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

في عام ١٩٨٢، لفت غيرهارد فراي الانتباه إلى الخصائص غير المألوفة للمنحنى نفسه، والذي يُعرف الآن بمنحنى فراي . ^{[ ٤ ]} وقد شكّل هذا جسراً بين نظريتي فيرما وتانياما ، إذ أظهر أن مثالاً مضاداً لنظرية فيرما- تانياما سيُنتج منحنىً غير نمطي. وقد حظيت هذه الفرضية باهتمام كبير عندما اقترح فراي أن فرضية تانياما-شيمورا تستلزم نظرية فيرما-تانياما. ومع ذلك، لم تكن حجته كاملة. ^{[ ٥ ]} في عام ١٩٨٥، اقترح جان بيير سير أن منحنى فراي لا يمكن أن يكون نمطياً، وقدّم برهاناً جزئياً. ^{[ ٦ ] [ ٧ ]} وقد أظهر هذا أن برهان الحالة شبه المستقرة لفرضية تانياما-شيمورا سيستلزم نظرية فيرما-تانياما. لم يُقدّم سير برهاناً كاملاً، وأصبح الجزء الناقص يُعرف بفرضية إبسيلون أو فرضية ε. في صيف عام 1986، أثبت كينيث آلان ريبت حدسية إبسيلون، وبالتالي أثبت أن نظرية النمطية تستلزم نظرية FLT. ^{[ 8 ]}

أصل الاسم من الجزء ε من "تخمين تانياما-شيمورا + ε ⇒ نظرية فيرما الأخيرة".

لنفترض أن معادلة فيرما ذات الأس p ≥ 5 ^{[ 8 ]} لها حل في الأعداد الصحيحة غير الصفرية _{^{a و b و c. منحنى فراي المقابل E = ap, bp, cp}} هو منحنى إهليلجي _مميزه الأدنى Δ يساوي _{2 ^- 8 (} abc ₎ ²p ، وموصله N هو ^{جذر abc} ، أي حاصل ^{ضرب _جميع} الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم abc . وبنظرة أولية على المعادلة ap ⁺ bp = ^cp ، يتضح أن أحد a أو b أو c زوجي ، وبالتالي فإن N زوجي ^أيضًا . وبحسب حدسية تانياما-شيمورا، فإن E منحنى إهليلجي معياري. بما أن جميع الأعداد الأولية الفردية التي تقسم a و b و c في N تظهر مرفوعة للقوة p في المميز الأدنى Δ ، فبحسب نظرية ريبت، فإن الانحدار المتكرر للمستويات بتردد p يُزيل جميع الأعداد الأولية الفردية من الموصل. ومع ذلك، لا تبقى أي أشكال جديدة من المستوى 2 لأن جنس المنحنى المعياري X₀ ₍ 2) يساوي صفرًا (والأشكال الجديدة من المستوى N هي تفاضلات على X₀ ₍ N )) .

• تخمين ABC
• برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة

1. ↑ "برهان نظرية فيرما الأخيرة" . 10-12-2008. مؤرشف من الأصل في 10-12-2008.
2. ↑ سيليمان، جيسي؛ فوغت، إيزابيل (2015). "القوى في متواليات لوكاس عبر تمثيلات غالوا". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 143 (3): 1027-1041 . arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090 /S0002-9939-2014-12316-1 . MR 3293720. S2CID 16892383 .   
3. ^ هيليغوارتش ، إيف (1972). “Courbes elliptiques et المعادلة de Fermat”. أطروحة دكتوراه . بي إن إف 359121326 . 
4. ^ فري، جيرهارد (1982)، “Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven” [ النقاط العقلانية على منحنيات فيرما والمنحنيات المعيارية الملتوية ] ، جيه رين أنجيو. الرياضيات. (في الألمانية)، 1982 (331): 185–191 ، دوى : 10.1515/crll.1982.331.185 ، MR 0647382 ، S2CID 118263144  
5. ↑ فراي، جيرهارد (1986)، "الروابط بين المنحنيات الإهليلجية المستقرة وبعض المعادلات الديوفانتية"، حوليات جامعة سرافيان، سلسلة الرياضيات ، 1 (1): iv+40، ISSN 0933-8268 ، MR 0853387  
6. ↑ سير، جيه-بي (1987)، "رسالة إلى جيه-إف ميستر"، الاتجاهات الحالية في الهندسة الجبرية الحسابية (أركاتا، كاليفورنيا، 1985) ، الرياضيات المعاصرة (بالفرنسية)، المجلد 67، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 263-268 ، doi : 10.1090/conm/067/902597 ، ISBN   9780821850749، MR 0902597 
7. ^ سيري ، جان بيير (1987)، “Sur lespresentations modulaires de degré 2 de Gal( Q / Q )”، مجلة ديوك الرياضية ، 54 (1): 179–230 ، دوى : 10.1215 / S0012-7094-87-05413-5 ، ISSN 0012-7094 ، السيد 0885783  
8. 1 2 ريبيت، كين (1990). "حول التمثيلات النمطية لـ Gal( Q / Q ) الناشئة عن الأشكال النمطية" (ملف PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476 . Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007 / BF01231195 . MR 1047143. S2CID 120614740 .  

• كينيث ريبيت، من تخمين تانياما-شيمورا إلى نظرية فيرما الأخيرة . حوليات كلية العلوم في تولوز سير. 5، 11 لا. 1 (1990)، ص.  116-139.
• أندرو وايلز (مايو 1995). "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 10 مايو 2011. تاريخ الاسترجاع : 22 مايو 2006 .  
• ريتشارد تايلور وأندرو وايلز (مايو 1995). " خصائص نظرية الحلقات لبعض جبر هيك" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 553-572 . CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307/2118560 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 مارس 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 سبتمبر 2011 .     
• منحنى فراي ونظرية ريبت

• كين ريبت ونظرية فيرما الأخيرة بقلم كيفن بوزارد ، 28 يونيو 2008