نظرية النمطية

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية النمطية على أن المنحنيات الإهليلجية على حقل الأعداد النسبية ترتبط بالأشكال النمطية بطريقة خاصة. وقد أثبت أندرو وايلز وريتشارد تايلور نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة ، وهو ما كان كافيًا لاستنتاج نظرية فيرما الأخيرة . لاحقًا، قامت سلسلة من الأبحاث التي نشرها طلاب وايلز السابقون ، بريان كونراد وفريد ​​دايموند وريتشارد تايلور، والتي توجت بورقة بحثية مشتركة مع كريستوف برويل ، بتوسيع تقنيات وايلز لإثبات نظرية النمطية الكاملة في عام 2001. قبل ذلك، كانت هذه النظرية تُعرف باسم حدسية تانياما-شيمورا ، أو حدسية تانياما-شيمورا-ويل ، أو حدسية النمطية للمنحنيات الإهليلجية .

تنص النظرية على أن أي منحنى إهليلجي فوق${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن الحصول على المنحنى المعياري الكلاسيكي X₀(N) عبر دالة كسرية ذات معاملات صحيحة ، حيث N عدد صحيح . هذا المنحنى _ذو معاملات صحيحة وله تعريف واضح. تُسمى هذه الدالة بالمعاملة المعيارية من المستوى N. إذا كان N هو أصغر عدد صحيح يمكن إيجاد مثل هذه المعاملة له (والذي يُعرف الآن، وفقًا لنظرية المعيارية، بأنه عدد يُسمى الموصل ) ، فيمكن تعريف المعاملة بدلالة دالة مُولَّدة بواسطة نوع معين من الأشكال المعيارية ذات الوزن 2 والمستوى N ، وهي شكل جديد مُعَيَّر ذو توسيع صحيح من الرتبة q ، متبوعًا، عند الحاجة ، بتماثل .

طرح يوتاكا تانياما ^{[ 1 ]} نسخة أولية (غير دقيقة بعض الشيء) من التخمين في الندوة الدولية لنظرية الأعداد الجبرية عام 1955 في طوكيو ونيكو ، باعتبارها المسألة الثانية عشرة من بين 36 مسألة لم تُحل . عمل غورو شيمورا وتانياما على تحسين دقتها حتى عام 1957. أعاد أندريه ويل ^{[ 2 ]} اكتشاف التخمين، وبيّن في عام 1967 أنه سيُستنتج من المعادلات الوظيفية (المفترضة) لبعض متسلسلات L الملتوية للمنحنى الإهليلجي؛ وكان هذا أول دليل جاد على صحة التخمين. كما بيّن ويل أن موصل المنحنى الإهليلجي يجب أن يكون مستوى الشكل النمطي المقابل. أصبح تخمين تانياما-شيمورا-ويل جزءًا من برنامج لانغلاندز . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

حظيت هذه الفرضية باهتمام كبير عندما اقترح غيرهارد فراي ^{[ 5 ]} عام 1986 أنها تستلزم نظرية فيرمي-لويس . وقد فعل ذلك بمحاولة إثبات أن أي مثال مضاد لنظرية فيرمي-لويس سيستلزم وجود منحنى إهليلجي غير نمطي واحد على الأقل. وقد اقتربت هذه الحجة من هدفها عام 1987 عندما حدد جان بيير سير ^{[ 6 ]} حلقة مفقودة (تُعرف الآن بفرضية إبسيلون أو نظرية ريبيت) في عمل فراي الأصلي، وتلا ذلك بعد عامين إكمال كين ريبيت لإثبات فرضية إبسيلون. ^{[ 7 ]}

حتى بعد أن حظيت حدسية تانياما-شيمورا-ويل باهتمام جاد، فقد اعتبرها علماء الرياضيات المعاصرون صعبة الإثبات للغاية، أو ربما حتى مستحيلة الإثبات . ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، ذكر جون كوتس، المشرف على رسالة الدكتوراه الخاصة بويلز، أنه بدا "من المستحيل إثباتها فعليًا"، واعتبر كين ريبت نفسه "واحدًا من الغالبية العظمى من الناس الذين اعتقدوا أنها مستحيلة الإثبات تمامًا".

مع برهان ريبيت على حدسية إبسيلون، رأى أندرو وايلز فرصة سانحة: فقد أصبحت نظرية فيرما الأخيرة مشروعًا بحثيًا جديرًا بالاهتمام لأنها باتت نتيجة منطقية لحدسية TSW. كان لديه خبرة في نظرية إيواساوا ؛ وربما كان هناك مسار يربط بين نظرية إيواساوا ونظرية تانياما-شيمورا-ويل.

في عام 1995، أثبت أندرو وايلز، بمساعدة من ريتشارد تايلور ، حدسية تانياما-شيمورا-ويل لجميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة . استخدم وايلز هذه الحدسية لإثبات نظرية فيرمي-لويس، ^{[ 9 ]} وأُثبتت حدسية تانياما-شيمورا-ويل كاملةً في النهاية على يد دايموند، ^{[ 10 ]} وكونراد ودايموند وتايلور؛ وبرويل وكونراد ودايموند وتايلور؛ بالاعتماد على عمل وايلز، قاموا تدريجيًا بدراسة الحالات المتبقية حتى تم إثبات النتيجة الكاملة في عام 1999. ^{[ 11 ] [ 12 ]} وبمجرد إثباتها بالكامل، أصبحت الحدسية تُعرف باسم نظرية النمطية.

تنبثق من نظرية النمطية عدة نظريات في نظرية الأعداد مشابهة لنظرية فيشر-لويس. على سبيل المثال: لا يمكن كتابة أي مكعب على شكل مجموع قوتين أوليّتين من الرتبة n ، حيث n ≥ 3. ^{[ أ ]}

في عام 2025، تم توسيع نطاق مفهوم النمطية ليشمل أكثر من 10% من الأسطح الأبيلية بواسطة بوكسر، وكاليغاري، وجي، وبيلوني. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

تُعدّ نظرية النمطية حالةً خاصةً من تخميناتٍ أعمّ وضعها روبرت لانغلاندز . ويسعى برنامج لانغلاندز إلى إلحاق شكلٍ ذاتي أو تمثيلٍ ذاتي (تعميمٍ مناسبٍ للشكل النمطي) بكائناتٍ أعمّ في الهندسة الجبرية الحسابية ، مثل كل منحنى إهليلجي على حقلٍ عددي . ولم تُثبت معظم حالات هذه التخمينات الموسّعة بعد.

في عام 2013، أثبت كل من فريتاس ولي هونغ وسيكسيك أن المنحنيات الإهليلجية المعرفة على الحقول التربيعية الحقيقية هي منحنيات نمطية. ^{[ 15 ]}

على سبيل المثال، ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} يرتبط المنحنى الإهليلجي y² + y = x³ - x ، ذو المميز (والموصل) ^{37 ، بالشكل التالي :}

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

بالنسبة للأعداد الأولية l التي لا تساوي 37، يمكن التحقق من الخاصية المتعلقة بالمعاملات. بالتالي، عندما l = 3 ، يوجد 6 حلول للمعادلة بتردد 3: (0, 0) ، (0, 1) ، (1, 0) ، (1, 1) ، (2, 0) ، (2, 1) ؛ ومن ثم a (3) = 3 − 6 = −3 .

تم إثبات هذه الفرضية، التي تعود إلى خمسينيات القرن العشرين، بشكل كامل بحلول عام 1999 باستخدام أفكار أندرو وايلز ، الذي أثبتها في عام 1994 لمجموعة كبيرة من المنحنيات الإهليلجية. ^{[ 19 ]}

توجد عدة صيغ لهذه الفرضية. وكان إثبات تكافؤها تحديًا رئيسيًا في نظرية الأعداد خلال النصف الثاني من القرن العشرين. ويمكن التعبير عن نمطية منحنى إهليلجي E ذي موصل N بالقول إن هناك دالة كسرية غير ثابتة معرفة على ℚ ، من المنحنى النمطي X ₀ ( N ) إلى E. وعلى وجه الخصوص، يمكن تمثيل نقاط E بدوال نمطية .

على سبيل المثال، يتم إعطاء معلمات معيارية للمنحنى y ² − y = x ³ − x بواسطة ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

حيث، كما سبق، q = e ^{2 πiz} . الدالتان x ( z ) و y ( z ) معياريتان من الوزن 0 والمستوى 37؛ بعبارة أخرى، هما دالتان ميرومورفيتان ، معرفتان على النصف العلوي من المستوى Im( z ) > 0 ، وتحققان الشرط التالي:

${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

وبالمثل بالنسبة لـ y ( z ) ، لجميع الأعداد الصحيحة a ، b ، c ، d مع ad − bc = 1 و 37 | c .

تعتمد صياغة أخرى على مقارنة تمثيلات غالوا المرتبطة من جهة بالمنحنيات الإهليلجية، ومن جهة أخرى بالأشكال النمطية. وقد استُخدمت هذه الصياغة الأخيرة في إثبات الفرضية. ويُعدّ التعامل مع مستوى الأشكال (وعلاقتها بموصل المنحنى) أمرًا بالغ الحساسية.

يُعدّ برهان نظرية فيرما الأخيرة (FLT) التطبيق الأكثر إثارةً لهذه الفرضية. لنفترض أنه بالنسبة لعدد أولي p ≥ 5 ، فإن معادلة فيرما

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

يوجد حل بأعداد صحيحة غير صفرية، وبالتالي فهو مثال مضاد لنظرية FLT. ثم كما لاحظ إيف هيليغوارش أولاً، ^{[ 21 ]} المنحنى الإهليلجي

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

من التمييز

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$

لا يمكن أن تكون نمطية. ^{[ 7 ]} وبالتالي، فإن إثبات حدسية تانياما-شيمورا-ويل لهذه العائلة من المنحنيات الإهليلجية (المسماة منحنيات هيليغوارش-فري ) يستلزم نظرية فيرمي-لويس. يُعد إثبات العلاقة بين هاتين العبارتين، استنادًا إلى فكرة غيرهارد فري (1985)، صعبًا ومعقدًا تقنيًا. وقد أثبته كينيث ريبت في عام 1987. ^{[ 22 ]}

• دارمُن، هـ. (2001) [1994]، "تخمين شيمورا-تانياما" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• وايسشتاين، إريك دبليو. "تخمين تانياما-شيمورا" . عالم الرياضيات .