نظرية سارد

في الرياضيات ، تُعرف نظرية سارد ، أو لِمّة سارد، أو نظرية مورس - سارد ، بأنها نتيجة في التحليل الرياضي تُؤكد أن مجموعة القيم الحرجة (أي صورة مجموعة النقاط الحرجة ) لدالة سلسة f من فضاء أو مشعب إقليدي إلى آخر هي مجموعة فارغة ، أي أن قياسها وفقًا لمقياس ليبيغ يساوي صفرًا. وهذا يجعل مجموعة القيم الحرجة "صغيرة" بمعنى خاصية عامة . سُميت النظرية نسبةً إلى أنتوني مورس وآرثر سارد .

بصورة أكثر وضوحًا، ^{[ 1 ]} دع

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

يكون${\displaystyle C^{k}}$، (إنه،${\displaystyle k}$(أوقات قابلة للتفاضل باستمرار )، حيث${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. يترك${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$تشير إلى المجموعة الحرجة لـ${\displaystyle f,}$وهي مجموعة النقاط${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$عندها تكون مصفوفة جاكوبي لـ${\displaystyle f}$لديه رتبة${\displaystyle <m}$ثم الصورة${\displaystyle f(X)}$يبلغ قياس ليبيغ 0 في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

بشكل بديهي، هذا يعني أنه على الرغم من${\displaystyle X}$قد يكون حجمه كبيرًا، لكن يجب أن تكون صورته صغيرة بمعنى مقياس لوبيغ: بينما${\displaystyle f}$قد يكون هناك العديد من النقاط الحرجة في المجال${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يجب أن تحتوي الصورة على عدد قليل من القيم الحرجة${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

وبشكل أعم، تنطبق النتيجة أيضاً على التطبيقات بين المشعبات القابلة للتفاضل.${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$الأبعاد${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$، على التوالي. المجموعة الحرجة${\displaystyle X}$من${\displaystyle C^{k}}$وظيفة

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

تتكون من تلك النقاط التي يكون عندها التفاضل

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

يحتل مرتبة أقل من${\displaystyle m}$كتحويل خطي. إذا${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ثم تنص نظرية سارد على أن صورة${\displaystyle X}$لها قياس صفر كمجموعة جزئية من${\displaystyle M}$تُستنتج هذه الصيغة للنتيجة من الصيغة الخاصة بالفضاءات الإقليدية بأخذ مجموعة قابلة للعد من رقع الإحداثيات. وتُعدّ نتيجة النظرية عبارة محلية، إذ أن الاتحاد القابل للعد لمجموعات قياسها صفر هو مجموعة قياسها صفر، وتبقى خاصية المجموعة الجزئية من رقعة إحداثيات ذات قياس صفر ثابتة تحت التحويل التفاضلي .

تعتمد البراهين القياسية لنظرية سارد على اختزال العبارة العامة إلى عبارة محلية، ثم تحليل المجموعة الحرجة وفقًا لعدد المشتقات التي تتلاشى عند نقطة معينة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

بما أن النتيجة محلية، فإن المرء يختزل أولاً إلى حالة الخريطة الملساء

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

مُعرَّفة على مجموعة جزئية محدودة من الفضاء الإقليدي. في الواقع، قد تُغطى هذه المجموعة بعددٍ قابلٍ للعد من الأجزاء المحدودة، كما أن أي اتحاد قابل للعد لمجموعات قياسها صفر يكون قياسه صفرًا أيضًا. في حالة المتشعبات، يُختزل المجال إلى الفضاء الإقليدي بالانتقال إلى مخططات الإحداثيات، حيث تُحفظ خاصية القياس الصفري تحت التحويلات التفاضلية. ^{[ 4 ]}

يتم البرهان بالاستقراء، بتقسيم المجموعة الحرجة إلى أجزاء وفقًا لترتيب تلاشي المشتقات. تُدرس النقاط التي تتلاشى عندها جميع المشتقات الجزئية حتى رتبة معينة، والنقاط التي تكون عندها بعض المشتقات من رتبة أدنى غير صفرية. تمثل النقاط الأولى النقاط التي يكون عندها التطبيق مسطحًا للغاية، بينما يمكن معالجة النقاط الثانية بالاختزال إلى مسألة ذات أبعاد أقل. ^{[ 5 ]}

إذا لم تنعدم مشتقة من رتبة موجبة عند نقطة حرجة، فإنه بعد تغيير مناسب للإحداثيات، نحصل على تحليل محلي يمكن فيه فصل متغير واحد عن المتغيرات الأخرى. وهذا يُتيح تطبيق فرضية الاستقراء على دالة في بُعد أقل، مما يُبين أن مجموعة القيم الحرجة المقابلة لها قياسها صفر. ^{[ 5 ]}

بالنسبة للنقاط التي تتلاشى عندها العديد من المشتقات المتتالية، تُعطي نظرية تايلور التقدير الأساسي. إذا كانت جميع المشتقات من الرتبة على الأكثر${\displaystyle r}$إذا اختفت عند نقطة ما، فإن الخريطة في جوار صغير بما فيه الكفاية تتغير فقط من حيث الترتيب.${\displaystyle r+1}$وبالتالي، فإن صورة مكعب صغير في المجال محصورة في مجموعة ذات قطر صغير جدًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$بتغطية الجزء المحدود من المجموعة الحرجة بالعديد من هذه المكعبات الصغيرة وجمع تقديرات الحجم المقابلة، يتبين أن المقياس الكلي للصورة يمكن أن يكون صغيرًا بشكل تعسفي، وبالتالي يساوي صفرًا. ^{[ 4 ]}

يؤدي الجمع بين هذين الجزأين من الحجة إلى الحصول على نظرية التطبيقات الملساء. بالنسبة للتطبيقات من الفئة${\displaystyle C^{k}}$تنجح نفس الاستراتيجية بشرط استخدام المشتقات حتى رتبة معينة فقط.${\displaystyle k}$الحالة

${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$

يضمن ذلك وجود قابلية تفاضل كافية لتوسيع تايلور وحجة التغطية لإجبار مجموعة القيم الحرجة على أن يكون قياسها صفرًا. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

توجد العديد من الصيغ المختلفة لهذه اللمة، التي تلعب دورًا أساسيًا في نظرية التفرد، من بين مجالات أخرى. الحالة${\displaystyle m=1}$تم إثبات ذلك بواسطة أنتوني ب. مورس في عام 1939، ^{[ 6 ]} والحالة العامة بواسطة آرثر سارد في عام 1942. ^{[ 1 ]}

وقد أثبت ستيفن سميل نسخةً لمتشعبات باناخ اللانهائية الأبعاد . ^{[ 7 ]}

العبارة قوية للغاية، ويتطلب إثباتها تحليلاً. في علم الطوبولوجيا، كثيراً ما يتم الاستشهاد بها - كما هو الحال في نظرية النقطة الثابتة لبروير وبعض التطبيقات في نظرية مورس - لإثبات النتيجة الأضعف التي تنص على أن "الدالة الملساء غير الثابتة لها قيمة منتظمة واحدة على الأقل ".

في عام 1965، عمم سارد نظريته لينص على أنه إذا${\displaystyle f:N\rightarrow M}$يكون${\displaystyle C^{\infty }}$وإذا${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$هي مجموعة النقاط${\displaystyle x\in N}$بحيث${\displaystyle df_{x}}$رتبته أقل من أو تساوي${\displaystyle r}$ثم بُعد هاوسدورف لـ${\displaystyle f(A_{r})}$هو على الأكثر${\displaystyle r}$[ ^{8 ] [ 9 ]​}

• خاصية عامة

• هيرش، موريس و. (1976)، الطوبولوجيا التفاضلية ، نيويورك: سبرينغر، ص 67-84 ، ISBN  0-387-90148-5.
• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall , MR 0193578 , Zbl 0129.13102 .