مشعب باناش

في الرياضيات ، يُعرف فضاء باناخ بأنه فضاء متعدد الأبعاد مُصمم على غرار فضاءات باناخ . وبالتالي، فهو فضاء طوبولوجي لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في فضاء باناخ (يُقدم تعريف أكثر تفصيلاً ورسمية أدناه). تُعد فضاءات باناخ إحدى طرق توسيع الفضاءات متعددة الأبعاد إلى أبعاد لا نهائية .

يُمكن تعميم ذلك على فضاءات فريشيه ، باستبدال فضاءات باناخ بها . من جهة أخرى، يُعد فضاء هيلبرت حالة خاصة من فضاء باناخ، حيث يُنمذج الفضاء محليًا على فضاءات هيلبرت .

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة . أطلس للفئات${\displaystyle C^{r},}$${\displaystyle r\geq 0,}$على${\displaystyle X}$هي مجموعة من الأزواج (تسمى المخططات )${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right),}$${\displaystyle i\in I,}$بحيث

1. كل${\displaystyle U_{i}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$واتحاد​​${\displaystyle U_{i}}$هو كل${\displaystyle X}$؛
2. كل${\displaystyle \varphi _{i}}$هو تقابل من${\displaystyle U_{i}}$على مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\right)}$من بعض فضاء باناش${\displaystyle E_{i},}$ولأي مؤشرات${\displaystyle i{\text{ و }}j,}$${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$مفتوح في${\displaystyle E_{i};}$
3. خريطة التقاطع$${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$هو${\displaystyle r}$دالة قابلة للتفاضل باستمرار عدد مرات لكل${\displaystyle i,j\in I;}$أي،${\displaystyle r}$مشتق فريشيه$${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)}$$موجودة وهي دالة متصلة بالنسبة إلى${\displaystyle E_{i}}$- طوبولوجيا المعيار على مجموعات فرعية من${\displaystyle E_{i}}$وطوبولوجيا معيار المؤثر على${\displaystyle \operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).}$

يمكن للمرء بعد ذلك أن يثبت وجود بنية طوبولوجية فريدة على${\displaystyle X}$بحيث يكون كل${\displaystyle U_{i}}$مفتوح وكل${\displaystyle \varphi _{i}}$هو تماثل طوبولوجي . في كثير من الأحيان، يُفترض أن هذا الفضاء الطوبولوجي هو فضاء هاوسدورف ، لكن هذا ليس ضروريًا من وجهة نظر التعريف الرسمي.

إذا كانت جميع مساحات باناش${\displaystyle E_{i}}$متساويان في نفس المساحة${\displaystyle E,}$يُطلق على الأطلس اسم${\displaystyle E}$-أطلس . ومع ذلك، ليس من الضروري مسبقًا أن تكون فضاءات باناخ${\displaystyle E_{i}}$قد تكون نفس الفضاء، أو حتى متماثلة مثل فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ومع ذلك، إذا كان هناك مخططان${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$و${\displaystyle \left(U_{j},\varphi _{j}\right)}$هي من النوع الذي${\displaystyle U_{i}}$و${\displaystyle U_{j}}$وجود تقاطع غير فارغ ، فحص سريع لمشتق خريطة التقاطع $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$ يُظهر ذلك أن${\displaystyle E_{i}}$و${\displaystyle E_{j}}$يجب أن تكون متماثلة بالفعل كفضاءات متجهة طوبولوجية. علاوة على ذلك، فإن مجموعة النقاط${\displaystyle x\in X}$والتي يوجد لها مخطط${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$مع${\displaystyle x}$في${\displaystyle U_{i}}$و${\displaystyle E_{i}}$متماثل مع فضاء باناخ معين${\displaystyle E}$هي مفتوحة ومغلقة في آن واحد . وبالتالي، يمكن للمرء، دون فقدان للعمومية، أن يفترض أنه على كل مكون متصل من${\displaystyle X,}$الأطلس هو${\displaystyle E}$-أطلس لبعض الثوابت${\displaystyle E.}$

مخطط جديد${\displaystyle (U,\varphi )}$يُطلق عليه اسم متوافق مع أطلس معين${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}}$إذا كانت خريطة التقاطع $${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)}$$ هو${\displaystyle r}$دالة قابلة للتفاضل باستمرار عدد مرات لكل${\displaystyle i\in I.}$يُقال عن أطلسين أنهما متوافقان إذا كانت كل خريطة في أحدهما متوافقة مع خريطة الأطلس الآخر. ويُعرّف التوافق علاقة تكافؤ على فئة جميع الأطالس الممكنة.${\displaystyle X.}$

أ${\displaystyle C^{r}}$-بنية متعددة الأبعاد${\displaystyle X}$ثم يُعرَّف بأنه اختيار فئة التكافؤ للأطالس على${\displaystyle X}$من فئة${\displaystyle C^{r}.}$إذا كانت جميع مساحات باناش${\displaystyle E_{i}}$متماثلة كفضاءات متجهة طوبولوجية (وهو أمر مضمون إذا${\displaystyle X}$إذا كانت متصلة )، فيمكن إيجاد أطلس مكافئ تكون فيه جميعها مساوية لفضاء باناخ ما${\displaystyle E.}$${\displaystyle X}$ثم يُطلق عليه اسم${\displaystyle E}$-متعدد الأوجه ، أو كما يقول المرء أن${\displaystyle X}$تم تصميمه على غرار${\displaystyle E.}$

يمكن تعريف كل فضاء باناخ بشكل أساسي على أنه متعدد شعب باناخ. إذا${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$إذا كان فضاء باناخ،${\displaystyle X}$هو متعدد شعب باناش مع أطلس يحتوي على مخطط واحد محدد عالميًا ( خريطة الهوية ).

وبالمثل، إذا${\displaystyle U}$إذا كانت مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء باناخ ما${\displaystyle U}$هو متعدد شعب باناخ. (انظر نظرية التصنيف أدناه.)

ليس صحيحاً بأي حال من الأحوال أن مشعبًا محدود الأبعاد ذو بُعد${\displaystyle n}$متماثل الشكل عالميًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$أو حتى مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$مع ذلك، في سياق لانهائي الأبعاد، يُمكن تصنيف مشعبات باناخ " حسنة السلوك " بدقة تامة حتى التشاكل الموضعي. تنص نظرية ديفيد هندرسون لعام 1969 ^{[ 1 ]} على أن كل مشعب باناخ متري قابل للفصل ولانهائي الأبعاد هو مشعب باناخ متري قابل للفصل ولانهائي الأبعاد${\displaystyle X}$يمكن تضمينها كمجموعة فرعية مفتوحة من فضاء هيلبرت القابل للفصل ذي الأبعاد اللانهائية،${\displaystyle H}$(حتى التشاكل الخطي، لا يوجد سوى فضاء واحد من هذا النوع، والذي يُعرف عادةً بـ${\displaystyle \ell ^{2}}$). في الواقع، نتيجة هندرسون أقوى: نفس الاستنتاج ينطبق على أي مشعب متري مصمم على فضاء فريشيه قابل للفصل لا نهائي الأبعاد .

يمكن استخدام التماثل المضمن كمخطط عالمي لـ${\displaystyle X.}$وبالتالي، في الحالة المترية القابلة للفصل ذات الأبعاد اللانهائية، فإن مشعبات باناخ "الوحيدة" هي المجموعات الفرعية المفتوحة لفضاء هيلبرت.

• حزمة باناش - مفهوم في الرياضيات 
• التمايز في مساحات فريشيه
• مشعب فينسلر – تعميم لمشعبات ريمان 
• مشعب فريشي
• التحليل العالمي – الذي يستخدم مشعبات باناخ وأنواعًا أخرى من المشعبات اللانهائية الأبعاد
• متعدد الشعب هيلبرت – متعدد الشعب مصمم على غرار فضاءات هيلبرت 

• أبراهام، رالف؛ مارسدن، جيه إي؛ راتيو، تيودور (1988). المتشعبات، تحليل الموترات، والتطبيقات . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-96790-7.
• أندرسون، آر دي (1969). "المجموعات المهملة بشدة في مشعبات فريشيه" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . 75 (1). الجمعية الأمريكية للرياضيات (AMS): 64-67 . doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12146-4 . ISSN 0273-0979 . S2CID 34049979 .  
• أندرسون، آر دي؛ وشوري، آر. (1969). "عوامل المشعبات اللانهائية الأبعاد" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 142. الجمعية الرياضية الأمريكية (AMS): 315-330 . doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5 . ISSN 0002-9947 . 
• هندرسون، ديفيد و. (1969). "المشعبات اللانهائية الأبعاد هي مجموعات جزئية مفتوحة من فضاء هيلبرت" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 75 ( 4): 759-762 . doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR 0247634 . 
• لانغ، سيرج (1972). المشعبات التفاضلية . ريدينغ، ماساتشوستس - لندن - دون ميلز، أونتاريو: شركة أديسون ويسلي للنشر.
• زايدلر، إيبرهارد (1997). التحليل الوظيفي غير الخطي وتطبيقاته. المجلد 4. سبرينغر-فيرلاغ نيويورك.