معادلات بلوخ لأشباه الموصلات

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

تصف معادلات بلوخ لأشباه الموصلات [ 1 ] (المختصرة بـ SBEs) الاستجابة البصرية لأشباه الموصلات المُثارة بمصادر ضوئية كلاسيكية متماسكة ، مثل الليزر . وهي تستند إلى نظرية الكم الكاملة ، وتشكل مجموعة مغلقة من المعادلات التكاملية التفاضلية للديناميكيات الكمية للاستقطاب المجهري وتوزيع حاملات الشحنة . [ 2 ] [ 3 ] سُميت معادلات SBEs بهذا الاسم نسبةً إلى التشابه البنيوي مع معادلات بلوخ البصرية التي تصف ديناميكيات الإثارة في ذرة ثنائية المستوى تتفاعل مع مجال كهرومغناطيسي كلاسيكي . وباعتبارها التعقيد الرئيسي الذي يتجاوز النهج الذري، يجب أن تعالج معادلات SBEs التفاعلات متعددة الأجسام الناتجة عن قوة كولوم بين الشحنات والاقتران بين اهتزازات الشبكة والإلكترونات.

خلفية

يمكن تحديد الاستجابة البصرية لأشباه الموصلات إذا أمكن تحديد استقطابها الكلي.P{\displaystyle \mathbf {P} }كدالة للمجال الكهربائيهـ{\displaystyle \mathbf {E} }هذا ما يثير حماسه. العلاقة بينP{\displaystyle \mathbf {P} }والاستقطاب المجهريPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يُعطى بواسطة

P=د∑كPك+ج.ج.،{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\اسم المشغل {cc} \;,}

حيث يتضمن المجموع زخم البلورةℏك{\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }}من بين جميع الحالات الإلكترونية ذات الصلة. في مجال بصريات أشباه الموصلات، يتم عادةً إثارة الانتقالات بين نطاق التكافؤ ونطاق التوصيل . وفي هذا السياق،د{\displaystyle \mathbf {d} }يمثل عنصر مصفوفة ثنائي القطب بين نطاق التوصيل ونطاق التكافؤ وPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يحدد سعة الانتقال المقابلة.

يبدأ اشتقاق معادلات التوازن الهيكلي من هاميلتوني النظام الذي يشمل بالكامل الجسيمات الحرة ، وتفاعل كولوم ، وتفاعل ثنائي القطب بين الضوء الكلاسيكي والحالات الإلكترونية، بالإضافة إلى مساهمات الفونون . [ 3 ] وكما هو الحال دائمًا تقريبًا في فيزياء الأجسام المتعددة ، فمن الأنسب تطبيق صيغة التكميم الثاني بعد هاميلتوني النظام المناسب.ح^Sysتهـم{\displaystyle {\hat {H}} _ {\mathrm {النظام} }}يتم تحديدها. ويمكن بعد ذلك استنتاج الديناميكيات الكمومية للكميات القابلة للرصد ذات الصلة.يا^{\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}باستخدام معادلة هايزنبرغ للحركة

أناℏددت⟨يا^⟩=⟨[يا^،ح^Sysتهـم]-⟩.//

بسبب التفاعلات بين الأجسام المتعددة في الداخلح^Sysتهـم{\displaystyle {\hat {H}} _ {\mathrm {النظام} }}ديناميكيات الملاحظيا^{\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}ترتبط هذه المعادلات بمتغيرات جديدة قابلة للرصد، ولا يمكن إغلاق بنيتها. هذه هي مشكلة التسلسل الهرمي BBGKY المعروفة ، والتي يمكن اختصارها بشكل منهجي باستخدام طرق مختلفة مثل أسلوب توسيع المجموعات . [ 4 ]

على مستوى المؤثرات، يُعرَّف الاستقطاب المجهري بقيمة متوقعة لانتقال إلكتروني واحد بين نطاق التكافؤ ونطاق التوصيل. في التكميم الثاني، تُعرَّف إلكترونات نطاق التوصيل بمؤثرات الإنشاء والإفناء الفرميونية .أ^ج،ك†{\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}وأ^ج،ك{\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}}على التوالي. تعريف مماثل، أيأ^v،ك†{\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }}وأ^v،ك{\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}، مصمم لإلكترونات نطاق التكافؤ. يصبح الانتقال الإلكتروني بين النطاقات المقابل بعد ذلك

Pك⋆=⟨أ^ج،ك†أ^v،ك⟩،Pك=⟨أ^v،ك†أ^ج،ك⟩،{\displaystyle P_{\mathbf {k}}^{\star}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {أ}} _ {v،\mathbf {k}}^{\dagger }{\hat {a}} _ {c,\mathbf {k} }\rangle \,,}

التي تصف سعات الانتقال لنقل الإلكترون من نطاق التوصيل إلى نطاق التكافؤ (Pك⋆{\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }}(مصطلح) أو العكس (Pك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}(مصطلح). في الوقت نفسه، يتبع توزيع الإلكترونات من

وكهـ=⟨أ^ج،ك†أ^ج،ك⟩.{\displaystyle f_{\mathbf {k}}^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}

من الملائم أيضاً تتبع توزيع الفراغات الإلكترونية، أي الثقوب .

وكح=1-⟨أ^v،ك†أ^v،ك⟩=⟨أ^v،كأ^v،ك†⟩// {أ}} _ {v،\mathbf {ك}}^{\dagger }\rangle }

التي تُترك لنطاق التكافؤ بسبب عمليات الإثارة الضوئية.

الهيكل الرئيسي لـ SBEs

تؤدي الديناميكيات الكمومية للإثارات البصرية إلى معادلات تكاملية تفاضلية تشكل معادلات SBEs [ 1 ] [ 3 ]

معادلات بلوخ لأشباه الموصلات

أناℏ∂∂تPك=ε~كPك-[1-وكهـ(ت)-وكح(ت)]Ωك+أناℏ∂∂تPك|sجأتتهـر،{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial} {\partial t}}P_ {\mathbf {k} }={\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }-\left[1-f_{\mathbf {k} }^{e}(t)-f_{\mathbf {k}}^{h}(t)\right]\Omega _{\mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\partial} {\partial t}}P_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}

ℏ∂∂توكهـ=2أنا⁡[Ωك⋆Pك]+ℏ∂∂توكهـ|sجأتتهـر،{\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}

ℏ∂∂توكح=2أنا⁡[Ωك⋆Pك]+ℏ∂∂توكح|sجأتتهـر.{\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {scatter} }\;.}

تحتوي هذه على طاقة رابي المعاد تطبيعها

Ωك=د⋅هـ+∑ك′≠كVك-ك′Pك′{\displaystyle \Omega _{\mathbf {k}}=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}

بالإضافة إلى طاقة الناقل المعاد ضبطها

ε~ك=εك-∑ك′≠كVك-ك′[وك′هـ+وك′ح]،// '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}

أينεك{\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {k} }}يتوافق مع طاقة أزواج الإلكترون-فجوة الحرة وVك{\displaystyle V_{\mathbf {k} }}يمثل عنصر مصفوفة كولوم، المعطى هنا بدلالة متجه الموجة الحاملةك{\displaystyle \mathbf {k} }.

الرمزي⋯|sجأتتهـر{\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }}تنشأ المساهمات من الترابط الهرمي الناتج عن تفاعلات الأجسام المتعددة. من الناحية المفاهيمية،Pك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}،وكهـ{\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}، ووكح{\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}تمثل هذه القيم المتوقعة للجسيم الواحد، بينما ينشأ الاقتران الهرمي من ارتباطات الجسيمات الثنائية، مثل ارتباطات الاستقطاب بالكثافة أو ارتباطات الاستقطاب بالفونون. فيزيائيًا، تُدخل هذه الارتباطات بين الجسيمات الثنائية العديد من التأثيرات غير التافهة، مثل حجب تفاعل كولوم، وتشتت من نوع بولتزمان.وكهـ{\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}ووكح{\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}باتجاه توزيع فيرمي-ديراك ، وفقدان التماسك الناتج عن الإثارة، وإعادة تطبيع الطاقات بشكل أكبر بسبب الارتباطات.

يمكن تضمين جميع تأثيرات الترابط هذه بشكل منهجي من خلال حل ديناميكيات ترابط الجسيمات الثنائية أيضًا. [ 5 ] عند هذا المستوى من التعقيد، يمكن استخدام معادلات الإلكترونات شبه الموصلة (SBEs) للتنبؤ بالاستجابة البصرية لأشباه الموصلات دون الحاجة إلى معلمات ظاهرية ، مما يمنح هذه المعادلات درجة عالية جدًا من القدرة على التنبؤ. في الواقع، يمكن استخدام معادلات الإلكترونات شبه الموصلة للتنبؤ بتصميمات الليزر المناسبة من خلال المعرفة الدقيقة التي توفرها حول طيف كسب أشباه الموصلات . بل يمكن استخدامها أيضًا لاستنتاج وجود ترابطات، مثل الإكسيتونات المقيدة، من القياسات الكمية. [ 6 ]

تمت صياغة معادلات SBE المعروضة في فضاء الزخم لأن زخم البلورة للحامل يتبع منℏك{\displaystyle \hbar \mathbf {k} }يمكن أيضًا صياغة مجموعة مكافئة من المعادلات في فضاء الموضع. [ 7 ] ومع ذلك، فإن حسابات الارتباط، على وجه الخصوص، أسهل بكثير في إجرائها في فضاء الزخم.

التفسير والنتائج

طيف امتصاص خطي مميزα(هـ){\displaystyle \alpha (E)}من GaAs الضخم باستخدام SBEs ثنائية النطاق. يتم تقريب اضمحلال الاستقطاب بثابت اضمحلالℏγ=0.13مهـV{\displaystyle \hbar \gamma =0.13\,\mathrm {meV} }وα(هـ){\displaystyle \alpha (E)}يتم حسابها كدالة لطاقة الفوتون لحقل الضخهـ{\displaystyle E}. يتم إزاحة الطاقة بالنسبة لطاقة فجوة النطاقهـزأص=1.490مهـV{\displaystyle E_{\mathrm {gap} }=1.490\,\mathrm {meV} }ويكون شبه الموصل في البداية غير مُثار. ونظرًا لصغر ثابت التلاشي المستخدم، تظهر عدة رنينات إكسيتونية أسفل طاقة فجوة النطاق. وقد ضُرب مقدار الرنينات عالية الطاقة في 5 لزيادة وضوحها.

الPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يُظهر الديناميكي بنية حيث يكون الفردPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يرتبط هذا الاستقطاب بجميع الاستقطابات المجهرية الأخرى بسبب تفاعل كولومVك{\displaystyle V_{\mathbf {k} }}لذلك، فإن سعة الانتقالPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يتم تعديلها بشكل جماعي بوجود سعات انتقال أخرى. فقط إذا قام المرء بضبطVك{\displaystyle V_{\mathbf {k} }}عند الوصول إلى الصفر، يجد المرء انتقالات معزولة داخل كلك{\displaystyle {\mathbf {k} }}الحالة التي تتبع نفس الديناميكيات التي تتنبأ بها معادلات بلوخ البصرية . لذلك، فإن تفاعل كولوم بينPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}ينتج تأثيرًا جديدًا في الحالة الصلبة مقارنة بالانتقالات الضوئية في الذرات البسيطة.

من الناحية المفاهيمية،Pك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}إنها مجرد سعة انتقال لإثارة إلكترون من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل. في الوقت نفسه، الجزء المتجانس منPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}تُنتج الديناميكا مسألة قيم ذاتية يُمكن التعبير عنها من خلال معادلة وانير المعممة . تُشابه الحالات الذاتية لمعادلة وانير الحلول المقيدة لمسألة الهيدروجين في ميكانيكا الكم. ويُشار إليها غالبًا بحلول الإكسيتون ، وهي تصف رسميًا الترابط الكولومبي بين الإلكترونات والفجوات ذات الشحنات المتعاكسة.

مع ذلك، فإن الإكسيتون الحقيقي هو ارتباط حقيقي بين جسيمين، لأنه يجب أن يكون هناك ارتباط بين إلكترون وفجوة. لذلك، فإن ظهور رنين الإكسيتون في الاستقطاب لا يدل على وجود الإكسيتونات، لأنPك{\displaystyle P_{\mathbf {k} }}يمثل سعة انتقال الجسيم المفرد. وتُعدّ رنينات الإكسيتون نتيجة مباشرة للاقتران الكولومبي بين جميع الانتقالات الممكنة في النظام. بعبارة أخرى، تتأثر انتقالات الجسيم المفرد نفسها بالتفاعل الكولومبي، مما يجعل من الممكن رصد رنين الإكسيتون في الاستجابة البصرية حتى في حال عدم وجود إكسيتونات حقيقية. [ 8 ]

لذا، من الشائع تحديد الرنينات الضوئية على أنها رنينات إكسيتونية بدلاً من رنينات إكسيتونية. ولا يمكن استنتاج الدور الفعلي للإكسيتونات في الاستجابة الضوئية إلا من خلال التغيرات الكمية التي تحدث في عرض الخط وانزياح الطاقة للرنينات الإكسيتونية. [ 6 ]

تُقدّم حلول معادلة وانير رؤى قيّمة حول الخصائص الأساسية للاستجابة البصرية لأشباه الموصلات. على وجه الخصوص، يُمكن حلّ حلول الحالة المستقرة لمعادلات الطاقة السطحية للتنبؤ بطيف الامتصاص البصري تحليليًا باستخدام ما يُعرف بصيغة إليوت . بهذه الصيغة، يُمكن التحقق من أن شبه موصل غير مُثار يُظهر العديد من رنينات امتصاص الإكسيتونات عند طاقة أقل بكثير من طاقة فجوة النطاق الأساسية. من الواضح أن هذه الحالة لا تُتيح استكشاف الإكسيتونات لأن النظام الأولي متعدد الجسيمات لا يحتوي على إلكترونات أو فجوات في الأساس. علاوة على ذلك، يُمكن، من حيث المبدأ، إجراء الاستكشاف بلطف شديد بحيث لا يتم إثارة أزواج الإلكترون-فجوة. تُوضّح هذه التجربة الفكرية بوضوح سبب إمكانية الكشف عن رنينات الإكسيتونات دون وجود إكسيتونات في النظام، وذلك بفضل اقتران كولوم بين سعات الانتقال.

الإضافات

تُعدّ معادلات بواسون-بلانك مفيدةً للغاية عند حلّ مسألة انتشار الضوء عبر بنية أشباه الموصلات. في هذه الحالة، يلزم حلّ معادلات بواسون-بلانك بالتزامن مع معادلات ماكسويل المُستمدة من الاستقطاب الضوئي. تُسمى هذه المجموعة المتناسقة ذاتيًا بمعادلات ماكسويل-بواسون-بلانك، وتُستخدم بكثرة لتحليل التجارب الحالية ومحاكاة تصميمات الأجهزة.

على هذا المستوى، توفر معادلات النطاقات الطيفية طريقةً متعددة الاستخدامات للغاية لوصف الظواهر الخطية وغير الخطية، مثل تأثيرات الإكسيتون ، وتأثيرات الانتشار، وتأثيرات التجاويف الدقيقة لأشباه الموصلات، ومزج الموجات الأربع ، والبولاريتونات في التجاويف الدقيقة لأشباه الموصلات، وقياس طيف الكسب ، وما إلى ذلك. [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] ويمكن أيضًا تعميم معادلات النطاقات الطيفية بإضافة الإثارة باستخدام حقول تيراهيرتز [ 5 ] التي عادةً ما تكون رنانة مع انتقالات النطاقات الداخلية. كما يمكن تكميم مجال الضوء ودراسة التأثيرات البصرية الكمومية الناتجة. في هذه الحالة، تصبح معادلات النطاقات الطيفية مرتبطة بمعادلات تألق أشباه الموصلات .

انظر أيضاً

للمزيد من القراءة

  • أشكرُفت، نيل دبليو؛ ميرمين، ن. ديفيد (1976). فيزياء الحالة الصلبة . هولت، راينهارت ووينستون . ISBN 978-0-03-083993-1.
  • شاه، ج. (1999). التحليل الطيفي فائق السرعة لأشباه الموصلات والبنى النانوية لأشباه الموصلات (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-3-540-64226-8.
  • كيتل، سي. (2004). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة (  الطبعة الثامنة). وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-0471415268.
  • هاوغ، هـ.؛ كوخ، س. و. (2009). النظرية الكمية للخواص البصرية والإلكترونية لأشباه الموصلات (  الطبعة الخامسة). وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-9812838841.
  • كلينجشيرن، CF (2006). بصريات أشباه الموصلات . سبرينغر. رقم ISBN 978-3540383451.
  • كيرا، م.؛ كوخ، س. و. (2011). البصريات الكمية لأشباه الموصلات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521875097.

مراجع

  1. 1 2 ليندبرغ، م.؛ كوخ، س. و. (1988). "معادلات بلوخ الفعالة لأشباه الموصلات". مجلة Physical Review B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103/PhysRevB.38.3342
  2. ↑ شيفر، دبليو؛ فيجنر، إم. (2002). بصريات أشباه الموصلات وظواهر النقل . سبرينغر. ISBN 3540616144.
  3. 1 2 3 هاوغ، هـ.؛ كوخ، س. و. (2009). النظرية الكمية للخواص البصرية والإلكترونية لأشباه الموصلات (الطبعة الخامسة). وورلد ساينتيفيك. ص 216. ISBN 9812838848.
  4. 1 2 كيرا، م.؛ كوخ، س. و. (2011). البصريات الكمية لأشباه الموصلات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521875097.
  5. 1 2 كيرا، م.؛ كوخ، س. و. (2006). "الترابطات متعددة الأجسام وتأثيرات الإكسيتون في مطيافية أشباه الموصلات". التقدم في الإلكترونيات الكمية 30 (5): 155-296. doi:10.1016/j.pquantelec.2006.12.002
  6. 1 2 سميث، آر بي؛ والستراند، جيه كيه؛ فونك، إيه سي؛ ميرين، آر بي؛ كونديف، إس تي؛ شتاينر، جيه تي؛ شيفر، إم؛ كيرا، إم وآخرون (2010). "استخلاص تكوينات الأجسام المتعددة من الامتصاص غير الخطي في الآبار الكمومية لأشباه الموصلات". رسائل المراجعة الفيزيائية 104 (24). doi:10.1103/PhysRevLett.104.247401
  7. ↑ ستال، أ. (1984). "الديناميكا الكهربائية لحافة النطاق في أشباه الموصلات ذات الفجوة المباشرة". اتصالات الحالة الصلبة 49 (1): 91-93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6
  8. 1 2 كوخ، إس دبليو؛ كيرا، إم؛ خيتروفا، جي ؛ جيبس، إتش إم (2006). "إكسيتونات أشباه الموصلات في ضوء جديد". نيتشر ماتيريالز 5 (7): 523-531. doi:10.1038/nmat1658
  9. ^ كلينجشيرن، CF (2006). بصريات أشباه الموصلات . سبرينغر. رقم ISBN 978-3540383451.