كثيرات حدود زيرنيك

الموسوعة الحرة

أول 21 متعددة حدود زيرنيكه، مرتبة عموديًا حسب الدرجة القطرية وأفقيًا حسب الدرجة السمتية

في الرياضيات ، تُعرف كثيرات حدود زيرنيكه بأنها سلسلة من كثيرات الحدود المتعامدة على قرص الوحدة . سُميت هذه الكثيرات نسبةً إلى الفيزيائي البصري فريتس زيرنيكه ، الحائز على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1953 ومخترع مجهر التباين الطوري ، وتلعب أدوارًا مهمة في فروع مختلفة من علم البصريات، مثل بصريات الحزم والتصوير. [ 1 ] [ 2 ]

التعريفات

توجد كثيرات حدود زيرنيكه زوجية وفردية . تُعرَّف كثيرات حدود زيرنيكه الزوجية على النحو التالي:

Zنم(ρ،φ)=Rنم(ρ)كوس⁡(مφ){\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!}

(وظيفة متساوية على الزاوية السمتية)φ{\displaystyle \varphi }وتُعرَّف كثيرات حدود زيرنيك الفردية على النحو التالي:

Zن-م(ρ،φ)=Rنم(ρ)الخطيئة⁡(مφ)،{\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),\!}

(دالة فردية على الزاوية السمتية)φ{\displaystyle \varphi }) حيث m و n عددان صحيحان غير سالبين مع n  ≥  m ≥ 0 ( m = 0 لكثيرات حدود زيرنيك الكروية)،φ{\displaystyle \varphi }هي الزاوية السمتية ، وρ هي المسافة القطرية0≤ρ≤1{\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}، وRنم{\displaystyle R_{n}^{m}}هي كثيرات الحدود الشعاعية المحددة أدناه.

يتم تمثيل كثيرات حدود زيرنيكه أحيانًا بطريقة توضح بشكل صريح o (فردي) و e (زوجي): [ 3 ]هـيونم(ρ،φ)=Zنم(ρ،φ)=Rنم(ρ)كوس⁡(مφ)oيونم(ρ،φ)=Zن-م(ρ،φ)=Rنم(ρ)الخطيئة⁡(مφ){\displaystyle {\begin{array}{lcl}^{e}\,U_{n}^{m}(\rho ,\varphi )&=&Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )&=&R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\\^{o}\,U_{n}^{m}(\rho ,\varphi )&=&Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )&=&R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi )\end{array}}}تتميز كثيرات حدود زيرنيكه بخاصية كونها محصورة في نطاق من -1 إلى +1 في قرص الوحدة، أي|Zنم(ρ،φ)|≤1{\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1}لوρ≤1{\displaystyle \rho \leq 1}كثيرات الحدود الشعاعيةRنم{\displaystyle R_{n}^{m}}تُعرَّف بأنها

Rنم(ρ)=∑ك=0ن-م2(-1)ك(ن-ك)!ك!(ن+م2-ك)!(ن-م2-ك)!ρن-2ك{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2k}}

بالنسبة للأعداد الزوجية (n − m) ، تكون القيمة صفرًا للأعداد الفردية (n − m) . وهناك قيمة خاصة هي

Rنم(1)=1.{\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}

تمثيلات أخرى

إعادة كتابة نسب المضروب في الجزء القطري كحاصل ضرب ثنائيات الحدود يوضح أن المعاملات أعداد صحيحة:

Rنم(ρ)=∑ك=0ن-م2(-1)ك(ن-كك)(ن-2كن-م2-ك)ρن-2ك{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}}.

إن استخدام الترميز كدوال هندسية فائقة غاوسية منتهية مفيد للكشف عن العلاقات التكرارية، ولإثبات أنها حالات خاصة من كثيرات حدود جاكوبي ، ولكتابة المعادلات التفاضلية، وما إلى ذلك:

Rنم(ρ)=(-1)(ن-م)/2ρمP(ن-م)/2(م،0)(1-2ρ2)=(نن+م2)ρن 2F1(-ن+م2،-ن-م2؛-ن؛ρ-2)=(-1)ن-م2(ن+م2م)ρم 2F1(1+ن+م2،-ن-م2؛1+م؛ρ2){\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})\\&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}

بالنسبة لـ n − m زوجي.

تتوسع العلاقة العكسيةρج{\displaystyle \rho ^{j}}للثابتم≤ج{\displaystyle m\leq j}داخلRنم(ρ){\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}

ρج=∑ن≡م(مود2)جحج،ن،مRنم(ρ){\displaystyle \rho ^{j}=\sum _{n\equiv m{\pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(\rho )}

بمعاملات نسبيةحج،ن،م{\displaystyle h_{j,n,m}}[ 4 ]

حج،ن،م=ن+11+ج+ن2((ج-م)/2(ن-م)/2)((ج+ن)/2(ن-م)/2){\displaystyle h_{j,n,m}={\frac {n+1}{1+{\frac {j+n}{2}}}}{\frac {\binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{\binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}

حتىج-م=0،2،4،...{\displaystyle j-m=0,2,4,\ldots }.

العاملρن-2ك{\displaystyle \rho ^{n-2k}}في كثير الحدود الشعاعيRنم(ρ){\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}يمكن توسيعها في أساس برنشتاين لـبs،ن/2(ρ2){\displaystyle b_{s,n/2}(\rho ^{2})}حتىن{\displaystyle n}أوρ{\displaystyle \rho }مرات دالة لـبs،(ن-1)/2(ρ2){\displaystyle b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})}للفردين{\displaystyle n}في النطاق⌊ن/2⌋-ك≤s≤⌊ن/2⌋{\displaystyle \lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor }وبالتالي، يمكن التعبير عن متعددة الحدود الشعاعية بعدد محدود من متعددات حدود برنشتاين ذات المعاملات النسبية:

Rنم(ρ)=1(⌊ن/2⌋⌊م/2⌋)ρنمود2∑s=⌊م/2⌋⌊ن/2⌋(-1)⌊ن/2⌋-s(s⌊م/2⌋)((ن+م)/2s+⌈م/2⌉)بs،⌊ن/2⌋(ρ2).{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).}

فورمولا رودريغز

تحقق كثيرات الحدود الشعاعية صيغة رودريغز

Rنم(x)=1(ن-م2)!xم(دد(x2))ن-م2[xن+م(x2-1)ن-م2].{\displaystyle R_{n}^{m}(x)={\frac {1}{\left({\frac {n-m}{2}}\right)!x^{m}}}\left({\frac {d}{d\left(x^{2}\right)}}\right)^{\frac {n-m}{2}}\left[x^{n+m}\left(x^{2}-1\right)^{\frac {n-m}{2}}\right].}

ملكيات

التعامد

تُقرأ خاصية التعامد في الجزء القطري على النحو التالي [ 5 ]

∫012ن+2Rنم(ρ)2ن′+2Rن′م(ρ)ρدρ=دلتان،ن′{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,\rho d\rho =\delta _{n,n'}}

أو

∫10Rنم(ρ)Rن′م(ρ)ρدρ=دلتان،ن′2ن+2.{\displaystyle {\underset {0}{\overset {1}{\mathop {\int } }}}\,R_{n}^{m}(\rho )R_{{n}'}^{m}(\rho )\rho d\rho ={\frac {{\delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}

يتم تمثيل التعامد في الجزء الزاوي بواسطة العنصر الأساسي

∫02πكوس⁡(مφ)كوس⁡(م′φ)دφ=ϵمπدلتام،م′،{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{m,m'},}
∫02πالخطيئة⁡(مφ)الخطيئة⁡(م′φ)دφ=πدلتام،م′؛م≠0،{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =\pi \delta _{m,m'};\quad m\neq 0,}
∫02πكوس⁡(مφ)الخطيئة⁡(م′φ)دφ=0،{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,}

أينϵم{\displaystyle \epsilon _{m}}(يُطلق عليه أحيانًا عامل نيومان لأنه يظهر غالبًا بالتزامن مع دوال بيسل) يُعرَّف بأنه 2 إذام=0{\displaystyle m=0}و 1 إذام≠0{\displaystyle m\neq 0}إن حاصل ضرب الأجزاء الزاوية والشعاعية يثبت تعامد دوال زيرنيك بالنسبة لكلا المؤشرين إذا تم التكامل على قرص الوحدة.

∫Zنل(ρ،φ)Zن′ل′(ρ،φ)د2ر=ϵلπ2ن+2دلتان،ن′دلتال،ل′،{\displaystyle \int Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{l'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{l}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{l,l'},}

أيند2ر=ρدρدφ{\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi }هو عنصر مساحة متناهي الصغر في نظام الإحداثيات الدائرية (حيثρ{\displaystyle \rho }(حيث يمثل جاكوبيان الصيغة التي تحول نظام الإحداثيات هذا إلى نظام إحداثيات ديكارتية )، ون-ل{\displaystyle n-l}ون′-ل′{\displaystyle n'-l'}كلاهما متساويان.

تحويل زيرنيك

أي مجال طور حقيقي القيم سلس بدرجة كافية على قرص الوحدةجي(ρ،φ){\displaystyle G(\rho ,\varphi )}يمكن تمثيلها بدلالة معاملات زيرنيك (الفردية والزوجية)، تمامًا كما تجد الدوال الدورية تمثيلًا متعامدًا باستخدام متسلسلة فورييه . لدينا

جي(ρ،φ)=∑م،ن[أم،نZنم(ρ،φ)+بم،نZن-م(ρ،φ)]،{\displaystyle G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],}

حيث يمكن حساب المعاملات باستخدام الضرب الداخلي . على فضاءل2{\displaystyle L^{2}}الدوال على قرص الوحدة، يوجد منتج داخلي مُعرَّف بواسطة

⟨F،جي⟩:=∫F(ρ،φ)جي(ρ،φ)ρدρدφ.{\displaystyle \langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .}

ويمكن التعبير عن معاملات زيرنيكه على النحو التالي:

أم،ن=2ن+2ϵمπ⟨جي(ρ،φ)،Zنم(ρ،φ)⟩،بم،ن=2ن+2ϵمπ⟨جي(ρ،φ)،Zن-م(ρ،φ)⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}}

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام القيم المعروفة لدالة الطور G على الشبكة الدائرية لتكوين نظام معادلات. تُستخرج دالة الطور من خلال الضرب الموزون للمعاملات المجهولة مع القيم المعروفة لكثير حدود زيرنيكه عبر شبكة الوحدة. وبالتالي، يمكن أيضاً إيجاد المعاملات بحل نظام خطي ، على سبيل المثال عن طريق عكس المصفوفة. تستخدم الخوارزميات السريعة لحساب تحويل زيرنيكه الأمامي والعكسي خصائص التناظر للدوال المثلثية ، وقابلية فصل الأجزاء القطرية والسمتية لكثيرات حدود زيرنيكه، وتناظراتها الدورانية.

التناظرات

ينتج عن انعكاسات الدوال المثلثية أن الزوجية بالنسبة للانعكاس على طول المحور السيني هي

Zنل(ρ،φ)=Zنل(ρ،-φ){\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}لـ l ≥ 0،
Zنل(ρ،φ)=-Zنل(ρ،-φ){\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,-\varphi )}لـ l < 0.

ينتج عن إزاحات π للدوال المثلثية أن الزوجية بالنسبة للانعكاس النقطي عند مركز الإحداثيات هي

Zنل(ρ،φ)=(-1)لZنل(ρ،φ+π)،{\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ),}

أين(-1)ل{\displaystyle (-1)^{l}}يمكن كتابتها أيضاً(-1)ن{\displaystyle (-1)^{n}}لأنن-ل{\displaystyle n-l}بما أن الأعداد الزوجية هي الحالات الوحيدة التي يمكن فيها الحصول على كثيرات حدود زيرنيك غير الصفرية. (إذا كان n زوجيًا، فإن l يكون زوجيًا أيضًا. وإذا كان n فرديًا، فإن l يكون فرديًا أيضًا). تُستخدم هذه الخاصية أحيانًا لتصنيف كثيرات حدود زيرنيك إلى كثيرات حدود زوجية وفردية من حيث اعتمادها الزاوي. (من الممكن أيضًا إضافة فئة أخرى حيث l = 0 نظرًا لخاصية عدم اعتمادها على الزاوية).

  • كثيرات حدود زيرنيكه ذات الزاوية الزوجية: كثيرات حدود زيرنيكه ذات l الزوجية بحيثZنل(ρ،φ)=Zنل(ρ،φ+π).{\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}
  • كثيرات حدود زيرنيك ذات الزاوية الفردية: كثيرات حدود زيرنيك ذات الزاوية الفردية بحيثZنل(ρ،φ)=-Zنل(ρ،φ+π).{\displaystyle Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi )=-Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi +\pi ).}

(لا يتم استخدام هذه التسمية عمليًا لأن كثيرات الحدود غير المتلاشية لها l زوجي فقط مقترن بـ n زوجي و l فردي مقترن بـ n فردي ، لذلك فإن كثيرات الحدود الزوجية زاويًا هي أيضًا كثيرات حدود زوجية شعاعيًا وكثيرات الحدود الفردية زاويًا هي أيضًا كثيرات حدود فردية شعاعيًا بحيث تكون السمة زاويًا زائدة.)

تكون كثيرات الحدود الشعاعية إما زوجية أو فردية، وذلك اعتمادًا على الرتبة n أو الدليل السمتي m :

Rنم(ρ)=(-1)نRنم(-ρ)=(-1)مRنم(-ρ).{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).}

يمكن ملاحظة هذه المساواة بسهولة لأنRنم(ρ){\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}تحتوي m ذات عدد فردي (زوجي) على قوى فردية (زوجية) فقط لـ ρ (انظر أمثلة علىRنم(ρ){\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}أقل).

تؤدي دورية الدوال المثلثية إلى ثباتها عند تدويرها بمضاعفات2π/ل{\displaystyle 2\pi /l}راديان حول المركز:

Zنل(ρ،φ+2πكل)=Zنل(ρ،φ)،ك=0،±1،±2،⋯.{\displaystyle Z_{n}^{l}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{l}}\right)=Z_{n}^{l}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .}

كدوال ذاتية لمؤثر تفاضلي

كثيرات الحدود Zernike هي وظائف ذاتية لمشغل Zernike التفاضلي، في الصياغة الحديثة [ 6 ]

ل[و]=∇2و-(ر⋅∇)2و-2ر⋅∇و{\displaystyle {\begin{aligned}L\left[f\right]=\nabla ^{2}f-({\bf {r}}\cdot \nabla )^{2}f-2{\bf {r}}\cdot \nabla f\end{aligned}}}

مترافقة ذاتيًا على القرص الواحدي، بقيم ذاتية سالبةل[Zنم]=-ن(ن+2)Zنم{\displaystyle L[Z_{n}^{m}]=-n(n+2)Z_{n}^{m}}يمكن إنشاء مؤثرات تفاضلية ذاتية الترافق أخرى تشكل فيها كثيرات حدود زيرنيك طيفًا، على سبيل المثال∇⋅(1-ρ2)∇Zنم=(م2-ن(ن+2))Zنم{\displaystyle \nabla \cdot (1-\rho ^{2})\nabla Z_{n}^{m}=\left(m^{2}-n(n+2)\right)Z_{n}^{m}}(فيما يتعلق بـ BRDFs للأسطح الخشنة [ 7 ] )، والذي يختلف عن ما سبق بمعامل∂φφ{\displaystyle \partial _{\varphi \varphi }}.

العلاقات التكرارية

تحقق كثيرات حدود زيرنيك العلاقة التكرارية التالية : [ 8 ]

Rنم(ρ)+Rن-2م(ρ)=ρ[Rن-1|م-1|(ρ)+Rن-1م+1(ρ)] .{\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}}

من تعريفRنم{\displaystyle R_{n}^{m}}يمكن ملاحظة ذلكRمم(ρ)=ρم{\displaystyle R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}}وRم+2م(ρ)=((م+2)ρ2-(م+1))ρم{\displaystyle R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}} تسمح علاقة التكرار الثلاثية التالية [ 9 ] [ 10 ] بحساب جميع الحدود الأخرىRنم(ρ){\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}:

Rنم(ρ)=2(ن-1)(2ن(ن-2)ρ2-م2-ن(ن-2))Rن-2م(ρ)-ن(ن+م-2)(ن-م-2)Rن-4م(ρ)(ن+م)(ن-م)(ن-2) .{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}

يتمثل الاستخدام الرئيسي لهذه التكرارات في تجنب إلغاء الأرقام الذي يحدث للأعداد الكبيرةن{\displaystyle n}في تراكم الحدود ذات الحدين المتذبذبة في تدوين متسلسلة القوى [ 11 ] . [ 12 ]

تُعد العلاقة المذكورة أعلاه مفيدة أيضًا لأن مشتقةRنم{\displaystyle R_{n}^{m}}يمكن حسابها من كثيرتي حدود زيرنيك الشعاعيتين من الدرجة المتجاورة: [ 9 ]

ددρRنم(ρ)=(2نم(ρ2-1)+(ن-م)(م+ن(2ρ2-1)))Rنم(ρ)-(ن+م)(ن-م)Rن-2م(ρ)2نρ(ρ2-1) .{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}

المعادلة التفاضلية للدالة الهندسية الفائقة الغاوسية مكافئة لـ

ρ2(ρ2-1)د2دρ2Rنم(ρ)=[ن(ن+2)ρ2-م2]Rنم(ρ)+ρ(1-3ρ2)ددρRنم(ρ).{\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{m}(\rho )=[n(n+2)\rho ^{2}-m^{2}]R_{n}^{m}(\rho )+\rho (1-3\rho ^{2}){\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{m}(\rho ).}

التسمية

مؤشرات نول المتسلسلة

تتضمن التطبيقات غالبًا الجبر الخطي ، حيث يؤدي التكامل على حاصل ضرب كثيرات حدود زيرنيك وعامل آخر إلى تكوين عناصر المصفوفة. ولترقيم صفوف وأعمدة هذه المصفوفات بفهرس واحد، قدم نول [ 13 ] عملية ربط تقليدية بين الفهرسين n و m والفهرس j .

(في هذا القسم)م{\displaystyle m}هو المؤشر العلوي الموقّع لـZ{\displaystyle Z}(والتي قد تكون موجبة أو سالبة أو صفرًا.) جدول هذه العلاقةZنم→Zج{\displaystyle Z_{n}^{m}\rightarrow Z_{j}}يبدأ على النحو التالي (التسلسل A176988 في OEIS ) .

ج=ن(ن+1)2+|م|+{0،م>0∧ن≡{0،1}(مود4)؛0،م<0∧ن≡{2،3}(مود4)؛1،م≥0∧ن≡{2،3}(مود4)؛1،م≤0∧ن≡{0،1}(مود4).{\displaystyle j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}

ن، م0,01.11، -12.02، -22.23، -13.13، -33.3
ج12345678910
ن، م4.04.24، -24.44، -45.15، -15.35، -35.5
ج11121314151617181920

القاعدة هي التالية.

  • كثيرات حدود زيرنيك الزوجية Z معم>0{\displaystyle m>0}الحصول على مؤشرات زوجية j. 
  • حرف Z الغريب حيثم<0{\displaystyle m<0}الحصول على مؤشرات فردية j . 
  • ضمن قيمة معينة لـ n ، يكون الحد الأدنى|م|{\displaystyle \left\vert m\right\vert }ينتج عن ذلك انخفاض في قيمة j . 

مؤشرات معيار OSA/ANSI

استخدام OSA [ 14 ] ومتعددات حدود زيرنيكي ذات المؤشر الواحد ANSI :

ج=ن(ن+2)+م2{\displaystyle j={\frac {n(n+2)+m}{2}}}
ن، م0,01، -11.12، -22.02.23، -33، -13.13.3
ج0123456789
ن، م4، -44، -24.04.24.45، -55، -35، -15.15.3
ج10111213141516171819

يمكن تحويل مؤشرات OSA/ANSI إلى مؤشرات قياسية على النحو التالي (حيث⌊...⌋{\textstyle \left\lfloor \ldots \right\rfloor }دالة الجزء الصحيح (الجزء الصحيح من المعادلة ):

ن=⌊8ج+1-12⌋،م=2ج-ن(ن+2).{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8j+1}}-1}{2}}\right\rfloor ,\qquad m=2j-n(n+2).}

مؤشرات فرينج/جامعة أريزونا

يُستخدم نظام فهرسة الهدب في برامج التصميم البصري التجارية والاختبار البصري في، على سبيل المثال، الطباعة الضوئية . [ 15 ] [ 16 ]

ج=(1+ن+|م|2)2-2|م|+⌊1-علامة⁡م2⌋{\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|m|}{2}}\right)^{2}-2|m|+\left\lfloor {\frac {1-\operatorname {sgn} m}{2}}\right\rfloor }

أينعلامة⁡م{\displaystyle \operatorname {sgn} m}هي دالة الإشارة أو دالة الإشارة . فيما يلي قائمة بأول 20 رقمًا هامشيًا.

ن، م0,01.11، -12.02.22، -23.13، -14.03.3
ج12345678910
ن، م3، -34.24، -25.15، -16.04.44، -45.35، -3
ج11121314151617181920

مؤشرات واينت

يستخدم جيمس سي. واينت نظام فهرسة "فرينج" باستثناء أنه يبدأ من 0 بدلاً من 1 (بطرح 1). [ 17 ] تُستخدم هذه الطريقة بشكل شائع، بما في ذلك برامج تحليل التداخل في مقاييس التداخل من نوع زيجو، وبرنامج DFTFringe مفتوح المصدر.

أمثلة

كثيرات الحدود الشعاعية

أولى كثيرات الحدود الشعاعية هي:

R00(ρ)=1{\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1\,}
R11(ρ)=ρ{\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,}
R20(ρ)=2ρ2-1{\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,}
R22(ρ)=ρ2{\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,}
R31(ρ)=3ρ3-2ρ{\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,}
R33(ρ)=ρ3{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,}
R40(ρ)=6ρ4-6ρ2+1{\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,}
R42(ρ)=4ρ4-3ρ2{\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,}
R44(ρ)=ρ4{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,}
R51(ρ)=10ρ5-12ρ3+3ρ{\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,}
R53(ρ)=5ρ5-4ρ3{\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,}
R55(ρ)=ρ5{\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,}
R60(ρ)=20ρ6-30ρ4+12ρ2-1{\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,}
R62(ρ)=15ρ6-20ρ4+6ρ2{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,}
R64(ρ)=6ρ6-5ρ4{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,}
R66(ρ)=ρ6.{\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,}

كثيرات حدود زيرنيك

تُعرض أدناه الأنماط القليلة الأولى من نمط زيرنيكه، عند مؤشرات مختلفة، [ 5 ] [ 18 ] [ 19 ] . في هذا الجدول، تم توحيدها بشكل مختلف عن الأقسام المتبقية:∫02π∫01[Zج(ρ،ϕ)]2⋅ρدρدϕ=π{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}[Z_{j}(\rho ,\phi )]^{2}\cdot \rho \,d\rho \,d\phi =\pi }وهو ما يعادلمتغير⁡(Z)الوحدة=1{\displaystyle \operatorname {Var} (Z)_{\text{unit circle}}=1}.

Zنل{\displaystyle Z_{n}^{l}}مؤشر OSA/ANSI (ج{\displaystyle j})مؤشر نول (ج{\displaystyle j})مؤشر واينت (ج{\displaystyle j})مؤشر هامشي/UA (ج{\displaystyle j})الدرجة الشعاعية (ن{\displaystyle n})الدرجة السمتية (ل{\displaystyle l})Zج{\displaystyle Z_{j}}الاسم الكلاسيكي
Z00{\displaystyle Z_{0}^{0}} 0 1 0 10 01{\displaystyle 1}المكبس (انظر، توزيع ويغنر نصف الدائري )
Z1-1{\displaystyle Z_{1}^{-1}} 1 3 2 31-12ρالخطيئة⁡ϕ{\displaystyle 2\rho \sin \phi }الإمالة (الإمالة على المحور Y، الإمالة الرأسية)
Z11{\displaystyle Z_{1}^{1}} 2 2 1 21+12ρكوس⁡ϕ{\displaystyle 2\rho \cos \phi }الإمالة (الإمالة الأفقية، الإمالة المتقاطعة)
Z2-2{\displaystyle Z_{2}^{-2}} 3 5 5 62-26ρ2الخطيئة⁡2ϕ{\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\phi }الاستجماتيزم المائل
Z20{\displaystyle Z_{2}^{0}} 4 4 3 42 03(2ρ2-1){\displaystyle {\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)}عدم التركيز (وضع طولي)
Z22{\displaystyle Z_{2}^{2}} 5 6 4 52+26ρ2كوس⁡2ϕ{\displaystyle {\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\phi }الاستجماتيزم العمودي
Z3-3{\displaystyle Z_{3}^{-3}} 6 910113-38ρ3الخطيئة⁡3ϕ{\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\phi }شكل ثلاثي الفصوص عمودي
Z3-1{\displaystyle Z_{3}^{-1}} 7 7 7 83-18(3ρ3-2ρ)الخطيئة⁡ϕ{\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }غيبوبة عمودية
Z31{\displaystyle Z_{3}^{1}} 8 8 6 73+18(3ρ3-2ρ)كوس⁡ϕ{\displaystyle {\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }غيبوبة أفقية
Z33{\displaystyle Z_{3}^{3}} 910 9103+38ρ3كوس⁡3ϕ{\displaystyle {\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\phi }برسيم مائل
Z4-4{\displaystyle Z_{4}^{-4}}101517184-410ρ4الخطيئة⁡4ϕ{\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\phi }شكل رباعي الفصوص مائل
Z4-2{\displaystyle Z_{4}^{-2}}111312134-210(4ρ4-3ρ2)الخطيئة⁡2ϕ{\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\phi }الاستجماتيزم الثانوي المائل
Z40{\displaystyle Z_{4}^{0}}1211 8 94 05(6ρ4-6ρ2+1){\displaystyle {\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)}كروي أولي
Z42{\displaystyle Z_{4}^{2}}131211124+210(4ρ4-3ρ2)كوس⁡2ϕ{\displaystyle {\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\phi }الاستجماتيزم الثانوي العمودي
Z44{\displaystyle Z_{4}^{4}}141416174+410ρ4كوس⁡4ϕ{\displaystyle {\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\phi }شكل رباعي الفصوص عمودي

التطبيقات

نتيجة أول 21 متعددة حدود زيرنيك (كما سبق) التي تم إدخالها كانحرافات على شعاع ذي قمة مسطحة. يتم تصوير الشعاع بواسطة عدسة، مما يؤدي إلى تحويل فورييه، ويتم تمثيل شدته في هذه الصورة.

تُشكّل هذه الدوال أساسًا مُعرّفًا على منطقة الدعم الدائرية، والتي عادةً ما تكون مستويات البؤبؤ في التصوير البصري الكلاسيكي عند أطوال موجية مرئية وتحت حمراء من خلال أنظمة العدسات والمرايا ذات القطر المحدود. وتكمن مزاياها في الخصائص التحليلية البسيطة الموروثة من بساطة الدوال القطرية وإمكانية تحليلها إلى دوال قطرية ودائرية؛ مما يؤدي، على سبيل المثال، إلى صيغ مغلقة لتحويل فورييه ثنائي الأبعاد بدلالة دوال بيسل. [ 20 ] [ 21 ] أما عيبها، خاصةً عند قيم n العالية ، فهو التوزيع غير المتساوي لخطوط العقد على القرص الواحدي، مما يُسبب تأثيرات رنين بالقرب من المحيط.ρ≈1{\displaystyle \rho \approx 1}مما يؤدي غالباً إلى محاولات لتعريف دوال متعامدة أخرى على القرص الدائري. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

في مجال تصنيع البصريات الدقيقة، تُستخدم متعددات حدود زيرنيكه لوصف الأخطاء ذات الرتب العليا التي تُلاحظ في تحليلات التداخل. في مستشعرات ميل جبهة الموجة، مثل مستشعر شاك-هارتمان ، يُمكن الحصول على معاملات زيرنيكه لجبهة الموجة من خلال مطابقة الميل المقاس مع مشتقات متعددات حدود زيرنيكه، بعد حساب متوسطها على الفتحات الفرعية لأخذ العينات. [ 25 ] في مجال البصريات وطب العيون ، تُستخدم متعددات حدود زيرنيكه لوصف انحرافات جبهة الموجة للقرنية أو العدسة عن الشكل الكروي المثالي، والتي تُؤدي إلى أخطاء الانكسار . كما تُستخدم هذه المتعددات بشكل شائع في البصريات التكيفية ، حيث يُمكن استخدامها لوصف التشوه الجوي . ومن التطبيقات الواضحة لذلك علم الفلك بالأشعة تحت الحمراء أو المرئية، وصور الأقمار الصناعية .

يوجد تطبيق آخر لكثيرات حدود زيرنيك في نظرية نيجبوير-زيرنيك الموسعة للانعراج والانحرافات.

تُستخدم كثيرات حدود زيرنيك على نطاق واسع كدوال أساسية لعزوم الصور . ولأن كثيرات حدود زيرنيك متعامدة فيما بينها، فإن عزوم زيرنيك قادرة على تمثيل خصائص الصورة دون تكرار أو تداخل في المعلومات بينها. ورغم أن عزوم زيرنيك تعتمد بشكل كبير على مقياس وانتقال الكائن في منطقة الاهتمام ، إلا أن قيمها لا تتأثر بزاوية دوران الكائن. [ 26 ] وبالتالي، يمكن استخدامها لاستخراج خصائص من الصور تصف خصائص شكل الكائن. على سبيل المثال، تُستخدم عزوم زيرنيك كمُحددات شكل لتصنيف كتل الثدي الحميدة والخبيثة [ 27 ] أو سطح الأقراص المهتزة. [ 28 ] كما استُخدمت عزوم زيرنيك لتحديد شكل خطوط خلايا سرطان العظام على مستوى الخلية الواحدة. [ 29 ] علاوة على ذلك، استُخدمت لحظات زيرنيك للكشف المبكر عن مرض الزهايمر من خلال استخلاص معلومات تمييزية من صور الرنين المغناطيسي لمرض الزهايمر، والضعف الإدراكي المعتدل ، والمجموعات الصحية. [ 30 ]

أبعاد أعلى

ينتقل المفهوم إلى أبعاد أعلى D إذا كانت الحدود المتعددةx1أناx2ج⋯xدك{\displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}}يتم تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى إحداثيات كروية فائقة ،ρs،s≤د{\displaystyle \rho ^{s},s\leq D}، مضروبًا في حاصل ضرب كثيرات حدود جاكوبي للمتغيرات الزاوية.د=3{\displaystyle D=3}في الأبعاد، تكون المتغيرات الزاوية عبارة عن توافقيات كروية ، على سبيل المثال. تركيبات خطية للقوىρs{\displaystyle \rho ^{s}}تحديد أساس متعامدRن(ل)(ρ){\displaystyle R_{n}^{(l)}(\rho )}مُرضٍ

∫01ρد-1Rن(ل)(ρ)Rن′(ل)(ρ)دρ=دلتان،ن′{\displaystyle \int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}}.

(لاحظ أن العامل2ن+د{\displaystyle {\sqrt {2n+D}}}يتم استيعابها في تعريف R هنا، بينما فيد=2{\displaystyle D=2}يتم اختيار التطبيع بشكل مختلف قليلاً. وهذا يعتمد إلى حد كبير على التفضيل الشخصي، سواءً أكان المرء يرغب في الحفاظ على مجموعة صحيحة من المعاملات أو يفضل صيغًا أكثر دقة في حال استخدام التعامد . التمثيل الصريح هو [ 4 ] [ 31 ] .

Rن(ل)(ρ)=2ن+د∑s=0ن-ل2(-1)s(ن-ل2s)(ن-s-1+د2ن-ل2)ρن-2s=(-1)ن-ل22ن+د∑s=0ن-ل2(-1)s(ن-ل2s)(s-1+ن+ل+د2ن-ل2)ρ2s+ل=(-1)ن-ل22ن+د(ن+ل+د2-1ن-ل2)ρل 2F1(-ن-ل2،ن+ل+د2؛ل+د2؛ρ2){\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}}

حتىن-ل≥0{\displaystyle n-l\geq 0}وإلا فهي تساوي الصفر، مع حالة خاصة Rن(ن)(ρ)=2ن+دρن.{\displaystyle R_{n}^{(n)}(\rho )={\sqrt {2n+D}}\rho ^{n}.}

معادلتها التفاضلية لدالة غاوس فوق الهندسية مكافئة لـ

ρ2(ρ2-1)د2دρ2Rن(ل)(ρ)=[نρ2(ن+د)-ل(د-2+ل)]Rن(ل)(ρ)+ρ[د-1-(د+1)ρ2]ددρRن(ل)(ρ).{\displaystyle \rho ^{2}(\rho ^{2}-1){\frac {d^{2}}{d\rho ^{2}}}R_{n}^{(l)}(\rho )=\left[n\rho ^{2}(n+D)-l(D-2+l)\right]R_{n}^{(l)}(\rho )+\rho \left[D-1-(D+1)\rho ^{2}\right]{\frac {d}{d\rho }}R_{n}^{(l)}(\rho ).}

تكرار كينتنر للقيم الثابتةل{\displaystyle l}ومتغيرن±2{\displaystyle n\pm 2} تم تحديد السعر لـد=2{\displaystyle D=2}ما سبق هو في الشكل العام [ 32 ]

-(1+ن-ل2)(1-ن-د2)ن+ل+د2Rن+2(ل)(ρ)2(ن+2)+د=ن-ل2(1+ن+د2)(1-ن+ل+د2)Rن-2(ل)(ρ)2(ن-2)+د+(ن+د2)[(1+ن+د2)(1-ن-د2)(1-ρ2)+12(ن-ل)(د+ن+ل)+ل+د2-1]Rن(ل)(ρ)2ن+د.{\displaystyle {\begin{aligned}&-(1+{\frac {n-l}{2}})(1-n-{\frac {D}{2}}){\frac {n+l+D}{2}}{\frac {R_{n+2}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2(n+2)+D}}}\\=&{\frac {n-l}{2}}(1+n+{\frac {D}{2}})(1-{\frac {n+l+D}{2}}){\frac {R_{n-2}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2(n-2)+D}}}\\&+(n+{\frac {D}{2}})\left[(1+n+{\frac {D}{2}})(1-n-{\frac {D}{2}})(1-\rho ^{2})+{\frac {1}{2}}(n-l)(D+n+l)+l+{\frac {D}{2}}-1\right]{\frac {R_{n}^{(l)}(\rho )}{\sqrt {2n+D}}}.\end{aligned}}}

لد=3{\displaystyle D=3}وقد اقترح ذلك دينغ وغوو. [ 33 ]

للثابتن{\displaystyle n}ومتغيرل±2{\displaystyle l\pm 2}التكرار هو [ 34 ]

(ل+د2-1)[(ل+د2)(ل-2+د2)-12(ل2+لد+دن+د2/2+ن2-2ل-د)ر2]Rن(ل)(ر)=-(ل+د2)(ن+ل+د2-1)(1+ن-ل2)ر2Rن(ل-2)(ر)-(ن-ل2)(ن+ل+د2)(ل-2+د2)ر2Rن(ل+2)(ر).{\displaystyle {\begin{aligned}&(l+{\frac {D}{2}}-1)\left[(l+{\frac {D}{2}})(l-2+{\frac {D}{2}})-{\frac {1}{2}}(l^{2}+lD+Dn+D^{2}/2+n^{2}-2l-D)r^{2}\right]R_{n}^{(l)}(r)\\&=-(l+{\frac {D}{2}})({\frac {n+l+D}{2}}-1)(1+{\frac {n-l}{2}})r^{2}R_{n}^{(l-2)}(r)-({\frac {n-l}{2}})({\frac {n+l+D}{2}})(l-2+{\frac {D}{2}})r^{2}R_{n}^{(l+2)}(r).\end{aligned}}}

القضية المتعلقة بـد=2{\displaystyle D=2}نُشر بواسطة تشونغ وآخرون [ 12 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ زيرنيك، ف. (1934). "نموذج Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten، der Phasenkontrastmethode". فيزيا . 1 (8): 689– 704. بيب كود : 1934Phy .....1..689Z . دوى : 10.1016/S0031-8914(34)80259-5 .
  2. ↑ بورن، ماكس وولف ، إميل (1999). مبادئ البصريات: النظرية الكهرومغناطيسية لانتشار الضوء وتداخله وانعراجه ( الطبعة السابعة). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 986. ISBN   978-0-521-64222-4.(انظر أيضًا في كتب جوجل )
  3. ^ فايسستاين، اريك وولفجانج. "زيرنيك متعدد الحدود" . MathWorld--مورد Wolfram . تم الاسترجاع في 13 مارس 2026 .{{cite web}}: CS1 maint: url-status ( link )
  4. 1 2 ماثار، آر جيه (2009). "أساس زيرنيكه للتحويلات الديكارتية". المجلة الفلكية الصربية . 179 (179): 107-120 . arXiv : 0809.2368 . Bibcode : 2009SerAJ.179..107M . doi : 10.2298/SAJ0979107M . S2CID 115159231 . 
  5. 1 2 لاكشمينارايانان، ف.؛ فليك، أندريه (2011). "متعددات حدود زيرنيك: دليل". مجلة البصريات الحديثة 58 ( 7): 545-561 . Bibcode : 2011JMOp...58..545L . doi : 10.1080/09500340.2011.554896 . S2CID 120905947 . 
  6. ↑ بوغوسيان، جورج س.؛ سالتو-أليغري، كريستينا؛ وولف، كورت برناردو؛ ياخنو، ألكسندر (2017). "نظام زيرنيكه الكمومي فائق التكامل". مجلة الفيزياء الرياضية 58 (7) 072101. arXiv : 1702.08570 . Bibcode : 2017JMP....58g2101P . doi : 10.1063/1.4990794 .
  7. ↑ "دالة توزيع الانعكاس ثنائية الاتجاه الموحدة للأسطح ذات الانحرافات الغاوسية" . GitHub .
  8. ↑ هونارفار شاكيبائي، بارماك (2013). "صيغة تكرارية لحساب كثيرات حدود زيرنيك الشعاعية". رسائل البصريات 38 ( 14): 2487-2489 . Bibcode : 2013OptL...38.2487H . doi : 10.1364/OL.38.002487 . PMID 23939089 . 
  9. 1 2 كينتنر، إي سي (1976). "حول الخصائص الرياضية لكثيرات حدود زيرنيكه". مجلة البصريات . 23 (8): 679-680 . رمز Bibcode : 1976AcOpt..23..679K . doi : 10.1080/713819334 .
  10. ↑ براتا الابن، أ.؛ روش، دبليو في تي (1989). "خوارزمية لحساب معاملات توسيع كثيرات حدود زيرنيكه". البصريات التطبيقية 28 (4): 749-54 . Bibcode : 1989ApOpt..28..749P . doi : 10.1364/AO.28.000749 . PMID 20548554 . 
  11. ↑ هوداير، جيروم؛ كوهل، باتريس (2022). "التقييم المستقر لعزوم زيرنيك ثلاثية الأبعاد لشبكات الأسطح" . الخوارزميات . 25 (11): 406. doi : 10.3390/a15110406 .
  12. 1 2 تشونغ، تشي واي؛ رافيندران، ب.؛ موكوندان، ر. (2003). "تحليل مقارن للخوارزميات المستخدمة في الحساب السريع لعزوم زيرنيك". التعرف على الأنماط . 35 (3): 731-742 . Bibcode : 2003PatRe..36..731C . doi : 10.1016/S0031-3203(02)00091-2 .
  13. ↑ نول، آر جيه (1976). "متعددات حدود زيرنيك والاضطراب الجوي" (ملف PDF) . مجلة الجمعية البصرية الأمريكية . 66 (3): 207. رمز Bibcode : 1976JOSA...66..207N . doi : 10.1364/JOSA.66.000207 .
  14. ↑ ثيبوس، إل إن؛ أبليجيت، آر إيه؛ شويجيرلينج، جيه تي؛ ويب، آر. (2002). "معايير الإبلاغ عن الانحرافات البصرية للعين". مجلة جراحة الانكسار . 18 (5): S652-60. doi : 10.3928/1081-597X-20020901-30 . PMID 12361175 . 
  15. ↑ لوميس، ج.، "برنامج حاسوبي لتحليل بيانات التداخل"، التداخلات البصرية، الاختزال والتفسير، ASTM STP 666، AH Guenther و DH Liebenberg، المحررون، الجمعية الأمريكية للاختبار والمواد، 1978، ص 71-86.
  16. ↑ جينبيرج، في إل؛ ميشيلز، جي جي؛ دويل، كي بي (2002). "تعامد كثيرات حدود زيرنيك". التصميم والهندسة البصرية الميكانيكية 2002. وقائع SPIE. المجلد 4771. الصفحات 276-286 . doi : 10.1117/12.482169 .  
  17. ↑ إريك ب. غودوين؛ جيمس س. واينت (2006). الدليل الميداني للاختبار البصري التداخلي . ص 25. ISBN  0-8194-6510-0.
  18. ↑ نيو، كو؛ تيان، تشاو (2022). "متعددات حدود زيرنيك وتطبيقاتها" . مجلة البصريات 24 (12). Bibcode : 2022JOpt...24l3001N . doi : 10.1088/2040-8986/ac9e08 .
  19. ↑ ماكاليندن، كولم؛ مكارتني، مارك؛ مور، جوناثان (2011). " رياضيات كثيرات حدود زيرنيك: مراجعة". طب العيون السريري والتجريبي . 39 (8): 725-846 . doi : 10.1111/j.1442-9071.2011.02562.x
  20. ↑ تاتولي، إي. (2013). "تحويل معاملات زيرنيك: طريقة قائمة على تحويل فورييه لفتحات جبهة الموجة المُقاسة والمُزاحة والمُدارة". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية أ . 30 (4): 726-732 . arXiv : 1302.7106 . Bibcode : 2013JOSAA..30..726T . doi : 10.1364/JOSAA.30.000726 . PMID : 23595334. S2CID : 23491106 .  
  21. ↑ جانسن، AJEM (2011). "نتائج تحليلية جديدة لكثيرات حدود دائرة زيرنيكه من نتيجة أساسية في نظرية حيود نيجبوير-زيرنيكه" . مجلة الجمعية البصرية الأوروبية: منشورات سريعة . 6 11028. Bibcode : 2011JEOS....6E1028J . doi : 10.2971/jeos.2011.11028 .
  22. ↑ بركات، ريتشارد (1980). "الانحرافات المثلى المتوازنة لجبهة الموجة لتوزيعات السعة المتناظرة شعاعيًا: تعميمات لكثيرات حدود زيرنيكه". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية . 70 (6): 739-742 . Bibcode : 1980JOSA...70..739B . doi : 10.1364/JOSA.70.000739 .
  23. ↑ جانسن، AJEM (2011). "تعميم لكثيرات حدود دائرة زيرنيكه للمسائل المباشرة والمعكوسة في نظرية الحيود". arXiv : 1110.2369 [ math-ph ].
  24. ↑ ماثار، آر جيه (2018). "دالة الأساس المتعامدة على دائرة الوحدة مع خاصية المينيماكس". arXiv : 1802.09518 [ math.NA ].
  25. ↑ أكندي، فياس؛ دوبرا، ألفريدو (22 يونيو 2020). "متوسط ​​تدرج كثيرات حدود زيرنيك على المضلعات" . مجلة أوبتكس إكسبرس . 28 (13 ) : 18876-18886 . Bibcode : 2020OExpr..2818876A . doi : 10.1364/OE.393223 . ISSN 1094-4087 . PMC 7340383. PMID 32672177 .   
  26. ↑ طهماسبى، أ. (2010). نظام فعال لتشخيص كتل الثدي باستخدام عزمات زيرنيك . المؤتمر الإيراني السابع عشر للهندسة الطبية الحيوية (ICBME'2010). أصفهان ، إيران : IEEE . ص 1-4 . doi : 10.1109/ICBME.2010.5704941 . 
  27. ↑ طهماسبى، أ.؛ ساكي، ف.؛ شوكوهي، س.ب. (2011). "تصنيف الكتل الحميدة والخبيثة بناءً على عزمات زيرنيك". الحوسبة في علم الأحياء والطب . 41 (8): 726-735 . doi : 10.1016/j.compbiomed.2011.06.009 . PMID 21722886 . 
  28. ↑ رادزانيك، دبليو بي (2018). "إعادة النظر في إشعاع الصوت من صفيحة دائرية مرنة مدعومة ومدمجة في شاشة مسطحة باستخدام كثيرات حدود دائرة زيرنيكه". مجلة الصوت والاهتزاز . 434 : 91-125 . Bibcode : 2018JSV...434...92R . doi : 10.1016/j.jsv.2018.07.035 . S2CID 125512636 . 
  29. ↑ علي زاده، إلاهه؛ ليونز، سامانثا م؛ كاسل، جوردان م؛ براساد، أشوك (2016). "قياس التغيرات المنهجية في شكل خلايا السرطان الغازية باستخدام عزم زيرنيك". علم الأحياء التكاملي . 8 (11): 1183-1193 . doi : 10.1039/C6IB00100A . PMID 27735002 . 
  30. ↑ جورجي، إتش تي، وج. حدادنيا. "طريقة جديدة للتشخيص المبكر لمرض الزهايمر بناءً على عزم زيرنيك الزائف من التصوير بالرنين المغناطيسي الهيكلي." علم الأعصاب 305 (2015): 361-371.
  31. ^ جارد ، هنريك. هيرفينسالو، ماركوس. هيفونين، نوتي (2026). “استقرار ليبشيتز لانهائي الأبعاد في مشكلة كالديرون وأساس زيرنيك العام”. احسب. متنوع. جزء. فرق. معادل . 65 . أرخايف : 2502.16264 . دوى : 10.1007/s00526-026-03261-0 .
  32. ↑ ماثار، ريتشارد ج. (2025). "طريقة نيوتن من الدرجة الثالثة لأصفار كثيرات حدود زيرنيكه". arXiv : 0705.1329 [ math.NA ].
  33. ↑ دينغ، آن-وين؛ غوو، تشيه-ينغ (2020). خوارزمية مستقرة لحساب عزمات زيرنيك ثلاثية الأبعاد عالية الرتبة وإعادة بناء الأشكال . المؤتمر الدولي لمعالجة الإشارات الرقمية 2020. الصفحات 38-42 . doi : 10.1145/3408127.3408130 . 
  34. ↑ ماثار، ريتشارد ج. (2025). "محاكاة شاشات طور كارونين-لوف المعتمدة على الزمن: نهج إرجودي". arXiv : 2510.12861 [ astro-ph.IM ].