رسم خرائط سوبوليف

في الرياضيات ، يُعرف تطبيق سوبوليف بأنه تطبيق بين متعددات الشعب يتميز بالسلاسة بمعنى ما. وتظهر تطبيقات سوبوليف بشكل طبيعي في المسائل المقيدة بمتعددات الشعب في حساب التفاضل والتكامل والتغيرات والمعادلات التفاضلية الجزئية ، بما في ذلك نظرية التطبيقات التوافقية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

بالنظر إلى مشعبات ريمان${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$، والذي يفترض، وفقًا لنظرية التضمين السلس لناش، دون فقدان للعمومية، أنه مُضمّن بشكل متساوي القياس في${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$كما ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N):=\{u\in W^{s,p}(M,\mathbb {R} ^{\nu })\,\vert \,u(x)\in N{\text{ لكل }}x\in M تقريبًا\}.}$$ الدرجة الأولى (${\displaystyle s=1}$يمكن أيضًا تعريف تطبيقات سوبوليف في سياق الفضاءات المترية . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

تتمثل مشكلة التقريب القوي في تحديد ما إذا كانت التطبيقات السلسة من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$كثيفة في${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$فيما يتعلق بطوبولوجيا المعيار. عندما${\displaystyle sp>\dim M}$تشير متباينة موري إلى أن دوال سوبوليف متصلة، وبالتالي يمكن تقريبها بشكل كبير بواسطة دوال سلسة. عندما${\displaystyle sp=\dim M}$تتميز دوال سوبوليف بتذبذب متوسط ​​معدوم ^{[ 8 ]} ، وبالتالي يمكن تقريبها بواسطة دوال سلسة. ^{[ 9 ]}

متى${\displaystyle sp<\dim M}$، مسألة الكثافة مرتبطة بنظرية العوائق : ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$كثيف في${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$إذا وفقط إذا كان كل تطبيق مستمر على a من a${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$التثليث متعدد الأبعاد لـ${\displaystyle M}$داخل${\displaystyle N}$هو تقييد الخريطة المتصلة من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$[ ^{10 ] [ 5 ]​}

مشكلة إيجاد متتالية من التقريبات الضعيفة للخرائط في${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$يكافئ التقريب القوي عندما${\displaystyle p}$ليس عددًا صحيحًا . ^{[ 10 ]} عندما${\displaystyle p}$إذا كان عددًا صحيحًا، فإن الشرط الضروري هو أن يكون التقييد على${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$التثليث ذو الأبعاد لكل عملية ربط مستمرة من${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$التثليث متعدد الأبعاد لـ${\displaystyle M}$داخل${\displaystyle N}$يتزامن ذلك مع القيد المتمثل في خريطة متصلة من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$[ ^{5 ]} عندما^​${\displaystyle p=2}$هذا الشرط كافٍ. ^{[ 11 ]} لـ${\displaystyle W^{1,3}(M,\mathbb {S} ^{2})}$مع${\displaystyle \dim M\geq 4}$هذا الشرط غير كافٍ. ^{[ 12 ]}

تتمثل مشكلة التماثل في وصف وتصنيف المكونات المتصلة بالمسارات في الفضاء${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$مزودة بطوبولوجيا المعيار. عندما${\displaystyle 0<s\leq 1}$و${\displaystyle \dim M\leq sp}$ثم المكونات المتصلة بالمسار لـ${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$وهي في الأساس مماثلة للمكونات المتصلة بالمسار لـ${\displaystyle C(M,N)}$خريطتان في${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$يتم ربطها بمسار في${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$إذا وفقط إذا كانت متصلة بمسار في${\displaystyle C(M,N)}$، أي مكون متصل بمسار من${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$وأي مكون متصل بمسار من${\displaystyle C(M,N)}$يتقاطع${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$بشكل غير تافه. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} عندما${\displaystyle \dim M>p}$خريطتان في${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$يتم ربطها بمسار متصل في${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$إذا وفقط إذا كانت قيودهم على عامة${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$التثليث ذو الأبعاد n متماثل. ^{[ 5 ] : الفرضية 1.1}

تنص نظرية الأثر الكلاسيكية على أن أي خريطة سوبوليف${\displaystyle u\in W^{1,p}(M,N)}$يوجد أثر${\displaystyle Tu\in W^{1-1/p,p}(\partial M,N)}$وذلك عندما${\displaystyle N=\mathbb {R} }$، يكون عامل الأثر شاملاً. وبما أن برهان الشمولية يعتمد على حجة المتوسط، فإن النتيجة لا يمكن تعميمها بسهولة على دوال سوبوليف. ومن المعروف أن عامل الأثر شامل عندما${\displaystyle \pi _{1}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$^{[ 16 ]} أو عندما${\displaystyle p\geq 3}$،${\displaystyle \pi _{1}(N)}$محدود و${\displaystyle \pi _{2}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$[ ^{17 ]} تفشل خاصية الشمولية لمؤثر الأثر ^إذا${\displaystyle \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\not \simeq \{0\}}$^{[ 16 ] [ 18 ]} أو إذا${\displaystyle \pi _{\ell }(N)}$لا نهائي بالنسبة لبعض${\displaystyle \ell \in \{1,\dotsc ,\lfloor p-1\rfloor \}}$[ ^{17 ] [ 19 ]​}

بافتراض وجود خريطة تغطية${\displaystyle \pi$ :{\tilde {N}}\to N} ، تسأل مسألة الرفع عما إذا كان أي تطبيق${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,{\tilde {N}})}$كما هو الحال بالنسبة للمستمر أو السلس${\displaystyle u}$و${\displaystyle {\tilde {u}}}$متى${\displaystyle M}$تكون بسيطة الاتصال في نظرية الرفع الكلاسيكية . إذا كان المجال${\displaystyle M}$ببساطة، أي خريطة متصلة${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,N)}$ متى${\displaystyle sp\geq \dim M}$[ ^{20 ] [ 21 ]} عندما^​${\displaystyle s\geq 1}$و${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$^{[ 22 ] [ 21 ]} وعندما${\displaystyle N}$صغير الحجم،${\displaystyle 0<s<1}$و${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$[ ^{23 ]} يوجد عائق طوبولوجي أمام الرفع ^عندما${\displaystyle sp<2}$وعائق تحليلي عندما${\displaystyle 1\leq sp<\dim M}$[ ^{20 ] [ 21 ]​}

• https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds