ريتشارد شون

في عام ١٩٧٦، استخدم شون وشينغ-تونغ ياو نظريات ليوفيل السابقة لياو لتوسيع نطاق ظاهرة الصلابة التي اكتشفها جيمس إيلز وجوزيف سامبسون سابقًا لتشمل المجالات غير المتراصة. ^{[ ٢٧ ] [ ٢٨ ]} ومن خلال تحديد تفاعل معين بين متطابقة بوخنر للخرائط التوافقية والصيغة الثانية لمساحة الأسطح الفائقة الدنيا، حددا أيضًا بعض الشروط الجديدة على المجال، مما أدى إلى النتيجة نفسها. وتُستكمل نظريات الصلابة هذه بنظرية وجودها للخرائط التوافقية على المجالات غير المتراصة، كنتيجة طبيعية لحل ريتشارد هاميلتون لمسألة ديريشليه ذات القيم الحدية. ^{[ ٢٩ ]} ونتيجة لذلك، توصلا إلى بعض النتائج الهندسية اللافتة، مثل أن بعض المشعبات غير المتراصة لا تقبل أي مقاييس كاملة لانحناء ريتشي غير السالب .

في ورقتين بحثيتين نُشرتا في ثمانينيات القرن الماضي، قدّم شون وكارين أولينبيك إسهامًا أساسيًا في نظرية انتظام الخرائط التوافقية المُقلِّلة للطاقة . وقد كان للتقنيات التي طوّراها، والتي اعتمدت بشكل كبير على صيغ الرتابة، تأثير بالغ في مجال التحليل الهندسي، وتمّ تكييفها مع عدد من المسائل الأخرى. ومن بين استنتاجاتهما الأساسية نظريات التراص لمجموعات الخرائط التوافقية، والتحكم في حجم المجموعات الشاذة المقابلة. وقد طبّق ليون سيمون هذه النتائج للحصول على صورة واضحة للهندسة على نطاق صغير للخرائط التوافقية المُقلِّلة للطاقة. ^{[ 30 ]}

لاحقًا، أدرك ميخائيل غروموف أن توسيع نظرية الخرائط التوافقية، للسماح بقيم في الفضاءات المترية بدلًا من مشعبات ريمانية ، سيكون له تطبيقات هامة عديدة، حيث تُقدّم نظائر نظرية إيلز-سامبسون الكلاسيكية للصلابة نظريات صلابة جديدة للشبكات . وقد وضع شون التفاصيل التحليلية الدقيقة لهذه النظرية. كما وضع شون ونيكولاس كوريفار أسسًا إضافية لهذا السياق الجديد للخرائط التوافقية.

في عام ١٩٧٩، قدّم شون ومشرفه السابق على أطروحة الدكتوراه، شينغ-تونغ ياو ، إسهاماتٍ بالغة الأهمية في دراسة الانحناء القياسي الموجب . فمن خلال دمجٍ بسيطٍ ولكنه مبتكر لمعادلة غاوس ، وصيغة التغير الثاني للمساحة، ونظرية غاوس-بونيه ، تمكّن شون وياو من استبعاد وجود أنواعٍ عديدة من الأسطح الدنيا المستقرة في مشعبات ثلاثية الأبعاد ذات انحناء قياسي موجب. وبمقارنة هذه النتيجة بنظريةٍ تحليليةٍ معمقةٍ لهما تُثبت وجود هذه الأسطح، استطاعا وضع قيودٍ على المشعبات التي يمكن أن تقبل مقياسًا ذا انحناء قياسي موجب. وفي وقتٍ لاحق، أجرى شون ودوريس فيشر-كولبري دراسةً أوسع نطاقًا للأسطح الدنيا المستقرة في مشعبات ثلاثية الأبعاد، مستخدمين بدلًا من ذلك تحليل عامل الاستقرار وخصائصه الطيفية.

سمحت لهم حجة استقرائية مبنية على وجود أسطح فائقة دنيا مستقرة بتوسيع نتائجهم إلى أبعاد أعلى. كما سهّلت تقنيات تحليلية إضافية تطبيق عمليات جراحية طوبولوجية على مشعبات تقبل مقاييس ذات انحناء قياسي موجب، مما يُظهر أن فئة هذه المشعبات غنية طوبولوجيًا. وقد حصل ميخائيل غروموف وهـ . بلين لوسون على نتائج مماثلة بطرق أخرى، كما أجريا تحليلًا أعمق للنتائج الطوبولوجية. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

من خلال توسيع نطاق تقنياتهم لتشمل المشعبات غير المتراصة، تمكن شون وياو من حسم الحالة الريمانية المهمة لنظرية الكتلة الموجبة في النسبية العامة ، والتي يمكن اعتبارها بيانًا حول السلوك الهندسي بالقرب من اللانهاية للمشعبات غير المتراصة ذات الانحناء القياسي الموجب. وكما هو الحال في نتائجهم الأصلية، تستند الحجة إلى التناقض. وقد توصل إدوارد ويتن لاحقًا إلى حجة أكثر بناءً، باستخدام نظرية السبينورات التوافقية بدلًا من الأسطح الفائقة الدنيا . ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

حدد كل من شون وياو وليون سيمون تركيبة بسيطة تجمع بين صيغة سيمونز وصيغة التغير الثاني للمساحة، مما يُنتج تقديرات مهمة لانحناء الأسطح الفائقة الدنيا المستقرة ذات الأبعاد المنخفضة. وفي عام ١٩٨٣، حصل شون على تقديرات مماثلة في حالة خاصة للأسطح ثنائية الأبعاد، مستفيدًا من وجود الإحداثيات متساوية الحرارة . وقد حصل شون وسيمون على تقديرات أضعف قليلًا، وإن كان ذلك دون أي قيود على الأبعاد. تشمل النتائج الأساسية لتقديرات شون-سيمون نظريات التراص للأسطح الفائقة الدنيا المستقرة، بالإضافة إلى التحكم في حجم "المجموعات الشاذة". وعلى وجه الخصوص، تُعد تقديرات شون-سيمون أداة مهمة في نظرية ألمغرين-بيتس للحد الأدنى والحد الأقصى ، والتي وجدت عددًا من التطبيقات.

إن إمكانية وجود مجموعات شاذة تحد من الأبعاد التي يمكن فيها تطبيق حجج شون وياو الاستقرائية بسهولة. في الوقت نفسه، فإن استخدام ويتن الأساسي للسبينورات يحصر نتائجه في حالات خاصة طوبولوجيًا. وهكذا، ظلت الحالة العامة لنظرية الكتلة الموجبة في الأبعاد العليا مشكلة مفتوحة رئيسية في عمل شون وياو عام 1979. في عام 1988، حسموا المشكلة في أي بُعد في الحالة الخاصة التي يكون فيها موتر فايل صفرًا؛ وكان لهذا أهمية بالغة في الهندسة المطابقة. في عام 2017، نشروا بحثًا أوليًا يدّعون فيه الحالة العامة، حيث تناولوا مباشرةً المجموعات الشاذة للأسطح الفائقة الدنيا.

في عام 1960، قدّم هيديهيكو يامابي "دالة يامابي" على فئة توافقية من المقاييس الريمانية، وبرهن على أن النقطة الحرجة لها انحناء قياسي ثابت . ^{[ 36 ]} وقد أحرز تقدمًا جزئيًا نحو إثبات ضرورة وجود النقاط الحرجة، وهو ما واصل نيل ترودينجر وتيري أوبين تطويره . ^{[ 37 ] [ 38 ]} وقد حسم عمل أوبين، على وجه الخصوص، حالات الأبعاد العالية أو عندما توجد نقطة يكون فيها موتر فايل غير صفري. في عام 1984، حسم شون الحالات التي تركها عمل أوبين مفتوحة، وكانت النقطة الحاسمة فيه هي إعادة قياس المقياس بواسطة دالة غرين لمؤثر لابلاس -بيلترامي . وقد سمح هذا بتطبيق نظرية الكتلة الموجبة لشون وياو على المقياس الناتج، مما أعطى معلومات تقاربية مهمة حول المقياس الأصلي. تشكل أعمال يامابي، ترودينجر، أوبين، وشون معًا حلًا لمسألة يامابي ، التي تؤكد وجود مقياس انحناء قياسي ثابت في كل فئة مطابقة.

في عام 1989، تمكن شون أيضًا من تكييف تحليل الفقاعات لكارين أولينبيك ، الذي طُوِّر لمسائل هندسية تحليلية أخرى، مع سياق الانحناء القياسي الثابت. ^{[ 39 ] [ 40 ]} إن تفرد النقاط الحرجة لدالة يامابي، وبشكل أعم، تماسك مجموعة جميع النقاط الحرجة، مسألة دقيقة بحثها شون لأول مرة في عام 1991. وقد حصل سيمون بريندل وماركوس خوري وفرناندو كودا ماركيز وشون على نتائج أكثر شمولًا في وقت لاحق.

في ثمانينيات القرن العشرين، قدّم ريتشارد هاميلتون تدفق ريتشي وأثبت عددًا من نتائج التقارب، لا سيما في الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد. ^{[ 41 ] [ 42 ]} ورغم أنه وآخرون توصلوا إلى نتائج جزئية في الأبعاد العالية، إلا أن التقدم تعثر بسبب صعوبة فهم موتر انحناء ريمان المعقد . ^{[ 43 ]} تمكن سيمون بريندل وشون من إثبات أن إيجابية "الانحناء المتساوي الخواص" لماريو ميكاليف وجون مور محفوظة بواسطة تدفق ريتشي في أي بُعد، وهي حقيقة أثبتها هوي نغوين بشكل مستقل. ^{[ 44 ] [ 45 ]} تمكن بريندل وشون أيضًا من ربط شرط الإيجابية بإيجابية انحناء المقطع ومؤثر الانحناء ، مما سمح لهما باستغلال الأفكار الجبرية الحديثة آنذاك لكريستوف بوم وبوركهارد ويلكينج، وبالتالي الحصول على نظرية تقارب جديدة لتدفق ريتشي. ^{[ 46 ]} حالة خاصة من نظرية التقارب الخاصة بهما لها نظرية الكرة القابلة للتفاضل كنتيجة بسيطة، والتي كانت تخمينًا معروفًا في دراسة انحناء المقطع الموجب على مدى الخمسين عامًا الماضية.