نظرية ستارك-هيجنر

الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد ، تُثبت نظرية هيجنر أو نظرية ستارك-هيجنر [ 1 ] القائمة الكاملة لحقول الأعداد التخيلية التربيعية التي تُمثل حلقات الأعداد الصحيحة فيها مجالات مثالية رئيسية. وهي تحل حالة خاصة من مسألة عدد فئات جاوس، والمتمثلة في تحديد عدد الحقول التربيعية التخيلية التي لها عدد فئة ثابت مُعطى .

لنرمز بـ Q إلى مجموعة الأعداد النسبية ، ولنرمز بـ d إلى عدد صحيح خالٍ من المربعات . الحقلسؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}هو امتداد تربيعي لـ Q. رقم الفئة لـسؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}يكون واحدًا إذا وفقط إذا كانت حلقة الأعداد الصحيحةسؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}هو مجال مثالي رئيسي . ويمكن صياغة نظرية بيكر-هيغنر-ستارك على النحو التالي:

إذا كانت قيمة d أقل من الصفر ، فإن رقم الفصل هوسؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}يكون واحدًا إذا وفقط إذاد∈{-1،-2،-3،-7،-11،-19،-43،-67،-163}.{\displaystyle d\in \{\,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,\}.}

تُعرف هذه الأرقام باسم أرقام هيجنر .

باستبدال d بالمميز D لـ​سؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}غالباً ما تُكتب هذه القائمة على النحو التالي: [ 2 ]

د∈{-3،-4،-7،-8،-11،-19،-43،-67،-163}.{\displaystyle D\in \{-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\}.}

تاريخ

افترض غاوس هذه النتيجة لأول مرة في القسم 303 من كتابه "Disquisitiones Arithmeticae " (1798). وقد أثبتها كورت هيغنر بشكل أساسي عام 1952، [ 3 ] إلا أن برهان هيغنر لم يُقبل حتى نشر عالم الرياضيات الأكاديمي هارولد ستارك برهانًا [ 4 ] عام 1967، والذي تشابه كثيرًا مع عمل هيغنر، مع أن ستارك يعتبر البراهين مختلفين. [ 5 ] توفي هيغنر "قبل أن يفهم أحد حقًا ما أنجزه". [ 6 ] في ( ستارك 1969 أ) ، يشرح ستارك برهان هيغنر لتسليط الضوء على الثغرة فيه؛ وقد قدمت أبحاث معاصرة أخرى براهين مماثلة باستخدام الدوال النمطية. [ 7 ] (تناول بحث هيغنر بشكل أساسي مسألة الأعداد المتطابقة ، مستخدمًا أيضًا الدوال النمطية. [ 8 ] )

استخدم آلان بيكر في برهانه الذي قدمه عام 1966 مبادئ مختلفة تمامًا، مما اختزل النتيجة إلى قدر محدود من العمليات الحسابية، مع العلم أن أطروحة ستارك لعامي 1963/1964 كانت تتضمن هذه العمليات الحسابية بالفعل؛ وقد فاز بيكر بميدالية فيلدز لأساليبه. وأشار ستارك لاحقًا إلى أن برهان بيكر، الذي يتضمن صيغًا خطية في 3 لوغاريتمات، يمكن اختزاله إلى عبارة تتعلق بلوغاريتين فقط، وهي معلومة معروفة بالفعل منذ عام 1949 من قِبل جيلفوند ولينيك. [ 9 ]

أشارت ورقة ستارك البحثية لعام 1969 ( ستارك 1969أ ) أيضًا إلى نص ويبر الصادر عام 1895 ، ولاحظت أنه لو كان ويبر قد "أشار فقط إلى أن قابلية اختزال [معادلة معينة] ستؤدي إلى معادلة ديوفانتية ، لكانت مشكلة الفئة الأولى قد حُلت قبل 60 عامًا". ويشير برايان بيرش إلى أن كتاب ويبر، ومجال الدوال النمطية برمته تقريبًا، قد فقد الاهتمام به لمدة نصف قرن: "للأسف، لم يكن هناك في عام 1952 من يمتلك الخبرة الكافية في جبر ويبر لتقدير إنجاز هيجنر". [ 10 ] ويمكن اعتبار ورقة ستارك البحثية لعام 1969 حجةً قويةً لتسمية النتيجة بنظرية هيجنر .

في السنوات التي تلت ستارك مباشرةً، [ 11 ] وديورينج، [ 12 ] وسيجل، [ 13 ] وتشولا، [ 14 ] قدموا جميعًا براهين مختلفة قليلاً باستخدام الدوال النمطية . كما ظهرت نسخ أخرى من هذا النوع على مر السنين. على سبيل المثال، في عام 1985، قدم منصور كينكو برهانًا باستخدام رباعية كلاين (مع استخدام الدوال النمطية أيضًا). [ 15 ] ومرة ​​أخرى، في عام 1999، قدم إيمين تشين برهانًا مختلفًا آخر باستخدام الدوال النمطية (باتباع مخطط سيجل). [ 16 ]

كما أن عمل غروس وزاغير (1986) ( غروس وزاغير 1986 ) بالإضافة إلى عمل غولدفليد (1976) يقدم برهاناً بديلاً. [ 17 ]

حالة حقيقية

من ناحية أخرى، من غير المعروف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من قيم d > 0 التي تحققسؤال(د){\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}يحمل هذا الحقل رقم الفئة 1. وتشير نتائج الحسابات إلى وجود العديد من هذه الحقول. يوفر قسم "الحقول الرقمية" الذي يحمل رقم الفئة 1 قائمة ببعض هذه الحقول.

ملحوظات

  1. ↑ يُطلق إلكيز (1999) على هذا اسم نظرية هيجنر (المُشتقة من نقاط هيجنر كما في الصفحة 13 من دارمون (2004) )، لكن إغفال اسم بيكرأمر غير مألوف. وقد أضاف تشاولا (1970) اسمي ديورينغ وسيجل إلى عنوان بحثه دون داعٍ.
  2. ↑ Elkies (1999) ، ص 93.
  3. ↑ هيجنر (1952)
  4. ↑ ستارك (1967)
  5. ↑ ستارك (2011) صفحة 42
  6. ↑ غولدفليد (1985) .
  7. ↑ ستارك (1969أ)
  8. ↑ بيرش (2004)
  9. ↑ ستارك (1969ب)
  10. ↑ بيرش (2004)
  11. ↑ ستارك (1967)
  12. ↑ ديورينغ (1968)
  13. ↑ سيجل (1968)
  14. ↑ تشاولا (1970)
  15. ^ كينكو (1985) .
  16. ↑ تشين (1999)
  17. ↑ غولدفليد (1985)

مراجع