الرباعي كلاين

في الهندسة الزائدية ، يُعرف سطح كلاين الرباعي ، نسبةً إلى فيليكس كلاين ، بأنه سطح ريمان مضغوط من الرتبة 3 ، يتميز بأعلى رتبة ممكنة لمجموعة التشاكلات الذاتية لهذا الرتبة، وهي رتبة 168 للتشاكلات الذاتية الحافظة للاتجاه، و 168 × 2 = 336 تشاكلاً ذاتياً إذا أمكن عكس الاتجاه. وبذلك، يُعد سطح كلاين الرباعي سطح هورويتز ذو أدنى رتبة ممكنة؛ انظر نظرية هورويتز للتشاكلات الذاتية . مجموعة التشاكلات الذاتية (الحافظة للاتجاه) الخاصة به متماثلة مع PSL(2, 7) ، وهي ثاني أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية بعد المجموعة المتناوبة A5 . وُصف السطح الرباعي لأول مرة في ( كلاين 1878 _ب ) .

يظهر الرباعي كلاين في العديد من فروع الرياضيات، في سياقات تشمل نظرية التمثيل ، ونظرية التماثل ، ونظرية فيرما الأخيرة ، ونظرية ستارك-هيجنر حول حقول الأعداد التربيعية التخيلية من الفئة رقم واحد؛ انظر ( ليفي 1999 ) للاطلاع على مسح للخصائص.

^{في الأصل، كان} مصطلح "رباعي كلاين" يشير تحديدًا إلى مجموعة جزئية من المستوى الإسقاطي المركب P² ( C ) المُعرَّف بمعادلة جبرية . يمتلك هذا المستوى مقياسًا ريمانيًا خاصًا (يجعله سطحًا أدنى في P² ( C ) )، حيث لا يكون انحناؤه الغاوسي ثابتًا. ولكن بشكل أكثر شيوعًا (كما هو الحال في هذه المقالة) ^، يُنظر إليه الآن على أنه أي سطح ريماني مكافئ توافقيًا لهذا المنحنى الجبري، وخاصةً السطح الذي هو خارج قسمة المستوى الزائدي H² على زمرة متراصة معينة ^G تؤثر بحرية على H² عن طريق التماثلات. وهذا ما يمنح رباعي كلاين مقياسًا ريمانيًا ذا انحناء ثابت -1 يرثه ^{من H²} . تُطابق هذه المجموعة من الأسطح الريمانية المتكافئة توافقياً تماماً جميع الأسطح الريمانية المدمجة من النوع 3 التي تكون زمرة التشاكل التوافقي الخاصة بها متماثلة مع الزمرة البسيطة الوحيدة من الرتبة 168. تُعرف هذه الزمرة أيضاً باسم PSL(2, 7) ، وكذلك باسم الزمرة المتماثلة PSL(3, 2) . وباستخدام نظرية الفضاءات المغطاة ، فإن الزمرة G المذكورة أعلاه متماثلة مع الزمرة الأساسية للسطح المدمج من النوع 3 .

من المهم التمييز بين شكلين مختلفين للفضاء الرباعي. الفضاء الرباعي المغلق هو المقصود عمومًا في الهندسة؛ من الناحية الطوبولوجية، له جنس 3 وهو فضاء متراص . أما الفضاء الرباعي المفتوح أو "المثقوب" فهو ذو أهمية في نظرية الأعداد؛ من الناحية الطوبولوجية، هو سطح من جنس 3 به 24 ثقبًا، وهذه الثقوب هندسيًا عبارة عن رؤوس مدببة . يمكن الحصول على الفضاء الرباعي المفتوح (طوبولوجيًا) من الفضاء الرباعي المغلق عن طريق ثقب مراكز التبليط الـ 24 بمضلعات سباعية منتظمة، كما سيتم توضيحه لاحقًا. يمتلك الفضاءان الرباعيان المفتوح والمغلق مقاييس مختلفة، على الرغم من أنهما زائديان وكاملان ^{[ 1 ]} - هندسيًا، الرؤوس المدببة هي "نقاط في اللانهاية"، وليست ثقوبًا، وبالتالي يظل الفضاء الرباعي المفتوح كاملًا.

يمكن اعتبار منحنى كلاين الرباعي بمثابة ^منحنى جبري إسقاطي على الأعداد المركبة C ، والذي يُعرَّف بالمعادلة الرباعية التالية في الإحداثيات المتجانسة [ x : y : z ] على P2 ( C ) :

${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0.}$

موضع هذه المعادلة في P ² ( C ) هو سطح ريمان الأصلي الذي وصفه كلاين.

يمكن بناء فضاء كلاين الرباعي المضغوط كحاصل قسمة المستوى الزائدي بفعل مجموعة فوكسية مناسبة Γ( I ) وهي مجموعة التطابق الرئيسية المرتبطة بالمثالي${\displaystyle I=\langle \eta -2\rangle }$في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية Z ( η ) للحقل Q ( η ) حيث η = 2 cos( 2π /7) . لاحظ المتطابقة

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2},}$

إظهار 2 – η كعامل أولي للعدد 7 في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية.

المجموعة Γ( I ) هي مجموعة جزئية من مجموعة المثلث الزائدي (2، 3، 7) . وبالتحديد، فإن Γ( I ) هي مجموعة جزئية من مجموعة العناصر ذات المعيار الواحد في جبر الكواترنيون المتولد كجبر ترابطي بواسطة المولدات i و j والعلاقات.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=\eta ,\qquad ij=-ji.}$

يختار المرء رتبة رباعية هورويتز مناسبة${\displaystyle {\mathcal {Q}} _ {\mathrm {Hur} }}$في جبر الكواتيرنيون، فإن Γ( I ) هي مجموعة العناصر ذات المعيار 1 في${\displaystyle 1+I{\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$أصغر قيمة مطلقة لأثر عنصر زائد في Γ( I ) هي${\displaystyle \eta ^{2}+3\eta +2}$، وهو ما يتوافق مع القيمة 3.936 لانقباض القلب في الرباعية كلاين، وهي واحدة من أعلى القيم في هذا الجنس.

يقبل سطح كلاين الرباعي تبليطات مرتبطة بمجموعة التناظر (وهي " خريطة منتظمة " ^{[ 2 ]} )، وتُستخدم هذه التبليطات في فهم مجموعة التناظر، ويعود تاريخها إلى ورقة كلاين الأصلية. بفرض وجود مجال أساسي لتأثير المجموعة (بالنسبة لمجموعة التناظر الكاملة العاكسة للاتجاه، مثلث (2، 3، 7))، فإن مجالات الانعكاس (صور هذا المجال تحت تأثير المجموعة) تُعطي تبليطًا للسطح الرباعي بحيث تكون مجموعة التشاكل الذاتي للتبليط مساوية لمجموعة التشاكل الذاتي للسطح - أي أن الانعكاسات في خطوط التبليط تُقابل الانعكاسات في المجموعة (الانعكاسات في خطوط مثلث أساسي مُعطى تُعطي مجموعة من 3 انعكاسات مولدة). هذا التبليط هو خارج قسمة التبليط السباعي المنصف من الرتبة 3 للمستوى الزائدي ( الغطاء الشامل للسطح الرباعي)، ويتم تبليط جميع أسطح هورويتز بنفس الطريقة، كخارج قسمة.

هذا التبليط منتظم ولكنه غير منتظم (فهو مُقسّم إلى مثلثات مختلفة الأضلاع )، وغالبًا ما تُستخدم التبليطات المنتظمة بدلاً منه. يمكن استخدام ناتج قسمة أي تبليط من عائلة (2، 3، 7) (وسيكون له نفس زمرة التشاكل الذاتي)؛ ومن بين هذه التبليطات المنتظمة، التبليط المُقسّم إلى 24 سباعيًا زائديًا منتظمًا ، كل منها من الدرجة 3 (يلتقي عند 56 رأسًا)، والتبليط الثنائي المُقسّم إلى 56 مثلثًا متساوي الأضلاع ، كل منها من الدرجة 7 (يلتقي عند 24 رأسًا). ترتبط رتبة زمرة التشاكل الذاتي، حيث إنها حاصل ضرب عدد المضلعات في عدد حواف المضلع في كلتا الحالتين.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

إن التبليطات المغطاة على المستوى الزائدي هي التبليط السباعي من الرتبة 3 والتبليط المثلثي من الرتبة 7 .

^{يمكن زيادة مجموعة التماثل الذاتي (} بواسطة تناظر لا يتحقق بواسطة تناظر التبليط) لإنتاج مجموعة ماثيو M _24. ^{[ 3} ]

لكل تبليط من النوع الرباعي (تقسيم النوع الرباعي إلى مجموعات فرعية) متعدد سطوح مجرد ، يخلو من الهندسة ويعكس فقط التوافقية الخاصة بالتبليط (وهذه طريقة عامة للحصول على متعدد سطوح مجرد من التبليط) - رؤوس وحواف ووجوه متعدد السطوح متساوية كمجموعات مع رؤوس وحواف ووجوه التبليط، مع نفس علاقات التداخل، ومجموعة التشاكل الذاتي (التوافقية) لمتعدد السطوح المجرد تساوي مجموعة التشاكل الذاتي (الهندسية) للنوع الرباعي. وبهذه الطريقة، تختزل الهندسة إلى التوافقية.

يمكن الحصول على فضاء كلاين الرباعي كحاصل قسمة المستوى الزائدي بفعل زمرة فوكسية. المجال الأساسي هو مضلع منتظم ذو 14 ضلعًا، مساحته${\displaystyle 8\pi }$بحسب نظرية غاوس-بونيه . ويمكن رؤية ذلك في الشكل المجاور، والذي يتضمن أيضًا المثلثات الـ 336 (2،3،7) التي تقسم السطح وتولد مجموعة التناظرات الخاصة به.

يحتوي التبليط المكون من (2، 3، 7) مثلثات على تبليط مكون من 24 سباعي الأضلاع منتظم. يمرّ منحنى الانقباض للسطح بمنتصفات 8 أضلاع سباعية الأضلاع؛ ولهذا السبب يُشار إليه في المراجع باسم "الجيوديسية ذات الثماني خطوات"، وهو سبب عنوان الكتاب في القسم أدناه. جميع المنحنيات الملونة في الشكل الذي يوضح تجزئة البنطال هي منحنيات انقباض، ومع ذلك، فهذه مجرد مجموعة فرعية؛ يوجد 21 منحنى انقباض إجمالاً. طول منحنى الانقباض هو

${\displaystyle 16\sinh ^{-1}\left(\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\csc ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)-4}}\right)\sin \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right)\approx 3.93594624883.}$

الصيغة المغلقة المكافئة هي

${\displaystyle 8\cosh ^{-1}\left({\tfrac {3}{2}}-2\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right).}$

بينما يُعظّم سطح كلاين الرباعي مجموعة التناظر للأسطح من النوع 3، فإنه لا يُعظّم طول الانقباض. السطح المُفترض أنه يُعظّم هو السطح المُشار إليه بـ "M3" ( شمتز 1993 ) . يتكون M3 من تبليط مثلثات (2، 3، 12)، وله انقباض بتعدد 24 وطول

${\displaystyle 2\cosh ^{-1}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\approx 3.9833047820988736.}$

يمكن تقسيم رباعية كلاين إلى أربعة أزواج من السراويل عن طريق القطع على طول ستة من انقباضاتها. يعطي هذا التقسيم مجموعة متناظرة من إحداثيات فينكل-نيلسن ، حيث تكون جميع معلمات الطول مساوية لطول الانقباض، وجميع معلمات الالتواء مساوية لـ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$من طول الانقباض. على وجه الخصوص، أخذ${\displaystyle l(S)}$لكي تكون الإحداثيات هي طول الانقباض، فهي

${\displaystyle \left\{l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}}\right\}.}$

الرسم البياني المكعب المقابل لهذا التفكيك البنطالي هو الرسم البياني رباعي الأوجه، أي الرسم البياني المكون من 4 عقد، كل منها متصل بالعقد الثلاث الأخرى. الرسم البياني رباعي الأوجه مشابه للرسم البياني لمستوى فانو الإسقاطي ؛ في الواقع، مجموعة التشاكل الذاتي لرباعي كلاين متماثلة مع مجموعة التشاكل الذاتي لمستوى فانو.

لم يُثبت الكثير حول النظرية الطيفية لسطح كلاين الرباعي. ولأن سطح كلاين الرباعي يمتلك أكبر مجموعة تناظر للأسطح في فئته الطوبولوجية، على غرار سطح بولزا من النوع 2، فقد تم التكهن بأنه يُعظّم القيمة الذاتية الموجبة الأولى لمؤثر لابلاس بين جميع أسطح ريمان المدمجة من النوع 3 ذات الانحناء السالب الثابت. كما أنه يُعظّم تعددية القيمة الذاتية الموجبة الأولى (8) بين جميع هذه الأسطح، وهي حقيقة تم إثباتها مؤخرًا. ^{[ 4 ]} وقد حُسبت القيم الذاتية لسطح كلاين الرباعي بدرجات متفاوتة من الدقة. ويُبين الجدول التالي أول 15 قيمة ذاتية موجبة مميزة، إلى جانب تعدديتها.

الحسابات العددية لأول 15 قيمة ذاتية موجبة لرباعي كلاين

القيمة الذاتية	القيمة العددية	التعددية
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}}$	2.67793	8
${\displaystyle \lambda _{2}}$	6.62251	7
${\displaystyle \lambda _{3}}$	10.8691	6
${\displaystyle \lambda _{4}}$	12.1844	8
${\displaystyle \lambda _{5}}$	17.2486	7
${\displaystyle \lambda _{6}}$	21.9705	7
${\displaystyle \lambda _{7}}$	24.0811	8
${\displaystyle \lambda _{8}}$	25.9276	6
${\displaystyle \lambda _{9}}$	30.8039	6
${\displaystyle \lambda _{10}}$	36.4555	8
${\displaystyle \lambda _{11}}$	37.4246	8
${\displaystyle \lambda _{12}}$	41.5131	6
${\displaystyle \lambda _{13}}$	44.8884	8
${\displaystyle \lambda _{14}}$	49.0429	6
${\displaystyle \lambda _{15}}$	50.6283	6

لا يمكن تحقيق الرباعي كلاين كشكل ثلاثي الأبعاد، بمعنى أنه لا يوجد شكل ثلاثي الأبعاد له تناظرات (دورانية) تساوي PSL(2,7) ، لأن PSL(2,7) لا يتم تضمينه كمجموعة فرعية من SO(3) (أو O(3) ) - ليس له تمثيل خطي ثلاثي الأبعاد (غير تافه) على الأعداد الحقيقية.

مع ذلك، قُدِّمت العديد من النماذج ثلاثية الأبعاد لرباعي كلاين، بدءًا من ورقة كلاين الأصلية، ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} والتي تسعى إلى إظهار خصائص الرباعي والحفاظ على التناظرات طوبولوجيًا، وإن لم يكن ذلك هندسيًا بالكامل. غالبًا ما تتمتع النماذج الناتجة بتناظرات رباعية الأوجه (من الرتبة 12) أو ثمانية الأوجه (من الرتبة 24)؛ أما التناظر المتبقي من الرتبة 7 فلا يمكن تصوره بسهولة، وهو في الواقع عنوان ورقة كلاين.

في أغلب الأحيان، يُنمذج الشكل الرباعي إما بسطح أملس من النوع 3 ذي تناظر رباعي الأوجه (ينتج هذا الشكل عن استبدال حواف رباعي الأوجه المنتظم بأنابيب/مقابض)، والذي يُطلق عليه اسم "الرباعيات" ^{[ 8 ]،} أو بتقريبات متعددة الأوجه، والتي تُطلق عليها اسم "الرباعيات" ^{[ 8 ]} ؛ وفي كلتا الحالتين، يُمثل هذا الشكل تضمينًا في ثلاثة أبعاد. يُعدّ تمثال "الطريق الثماني " لهيلامان فيرغسون، الموجود في معهد سيمونز لاوفر للعلوم الرياضية في بيركلي، كاليفورنيا، أبرز نموذج أملس (رباعي) ، وهو مصنوع من الرخام والسربنتين، وقد كُشف عنه في 14 نوفمبر 1993. يشير العنوان إلى حقيقة أنه بدءًا من أي رأس من رؤوس السطح المثلثي والتحرك على طول أي حافة، إذا انعطفت بالتناوب يمينًا ويسارًا عند الوصول إلى رأس ما، فإنك تعود دائمًا إلى النقطة الأصلية بعد ثماني حواف. أدى اقتناء التمثال في الوقت المناسب إلى نشر كتاب أوراق بحثية ( ليفي 1999 ) ، يفصّل خصائص الشكل الرباعي ويحتوي على أول ترجمة إنجليزية لورقة كلاين البحثية. غالبًا ما تحتوي النماذج متعددة السطوح ذات التناظر الرباعي على غلاف محدب لرباعي سطوح مقطوع - انظر ( شولت وويلز 1985 ) و ( شول، شورمان وويلز 2002 ) للاطلاع على أمثلة ورسوم توضيحية. تتكون بعض هذه النماذج من 20 مثلثًا أو 56 مثلثًا (بشكل مجرد، متعدد السطوح المائل المنتظم {3،7،4}، مع 56 وجهًا و84 ضلعًا و24 رأسًا)، والذي لا يمكن تحقيقه على أنه متساوي الأضلاع، مع التواءات في أذرع رباعي السطوح؛ بينما تحتوي نماذج أخرى على 24 شكلًا سباعيًا - يمكن اعتبار هذه الأشكال السباعية مستوية، على الرغم من أنها غير محدبة، ^{[ 9 ]} وتكون النماذج أكثر تعقيدًا من النماذج المثلثية لأن التعقيد ينعكس في أشكال الوجوه السباعية (غير المرنة)، بدلاً من الرؤوس (المرنة). ^{[ 2 ]}

بدلاً من ذلك، يمكن نمذجة الدرجة الرابعة باستخدام متعدد السطوح ذي تناظر ثماني الأوجه: فقد نمذج كلاين الدرجة الرابعة بشكل ذي تناظر ثماني الأوجه ونقاط عند اللانهاية (متعدد سطوح مفتوح)، ^{[ 6 ]} أي ثلاثة قطع زائدية تلتقي على محاور متعامدة، ^{[ 2 ]} بينما يمكن أيضاً نمذجتها كمتعدد سطوح مغلق يجب أن يكون مغموراً (له تقاطعات ذاتية)، وليس مضمناً. ^{[ 2 ]} قد تحتوي هذه المتعددات على أغلفة محدبة مختلفة، بما في ذلك المكعب المقطوع ، ^{[ 10 ]} والمكعب المقطوع ، ^{[ 9 ]} أو المعين المكعب الثماني الأوجه ، كما هو الحال في المكعب المكعب الثماني الأوجه الصغير على اليمين. ^{[ 3 ]} يُحصل على غمر المكعب المكعب الثماني الصغير بضم بعض المثلثات (مثلثان يشكلان مربعًا، وستة مثلثات تشكل مثمنًا)، ويمكن تصور ذلك بتلوين المثلثات. ₍ التغطية المقابلة هي طوبولوجيًا، ولكن ليس هندسيًا، تغطية 3 4 | 4 ). يمكن أيضًا استخدام هذا الغمر لإنشاء مجموعة ماثيو M24 هندسيًا بإضافة التبديل إلى PSL (2,7) الذي يبدل النقاط المتقابلة لخطوط تنصيف المربعات والمثمنات. ^{[ 3 ]}

الرسم التخطيطي على فضاء كلاين الرباعي المرتبط بخريطة القسمة بواسطة زمرة التشاكل الذاتي (مع كرة ريمان كخارج للقسمة) هو تحديدًا الهيكل العظمي الأحادي للتبليط السباعي من الرتبة 3. ^{[ 11 ]} أي أن خريطة القسمة متفرعة عند النقاط 0 و1728 و∞ ؛ والقسمة على 1728 تُعطي دالة بيلي (متفرعة عند 0 و1 و∞ ) ، حيث تقع الرؤوس الـ 56 (النقاط السوداء في الرسم التخطيطي) فوق 0، وتقع منتصفات الحواف الـ 84 (النقاط البيضاء في الرسم التخطيطي) فوق 1، وتقع مراكز الأضلاع السباعية الـ 24 فوق اللانهاية. الرسم التخطيطي الناتج هو رسم تخطيطي "أفلاطوني"، أي أنه متعدٍ على الحواف و"نظيف" (لكل نقطة بيضاء تكافؤ 2).

ترتبط سطوح كلاين الرباعية بالعديد من سطوح ريمان الأخرى.

هندسيًا، يُعدّ هذا السطح أصغر سطح هورويتز (أدنى جنس)؛ يليه سطح ماكبيث (الجنس 7)، ثم ثلاثية هورويتز الأولى (3 أسطح من الجنس 14). وبشكل أعم، هو السطح الأكثر تناظرًا من جنس معين (كونه سطح هورويتز)؛ في هذه الفئة، يُعدّ سطح بولزا السطح الأكثر تناظرًا من الجنس 2، بينما يُعدّ سطح برينغ سطحًا شديد التناظر من الجنس 4 - انظر إلى تماثلات أسطح ريمان لمزيد من التفاصيل.

جبريًا، فإن منحنى كلاين الرباعي (الخطي) هو المنحنى المعياري X(7) ومنحنى كلاين الرباعي الإسقاطي هو تكثيفه، تمامًا كما أن المجسم ذو الاثني عشر وجهًا (مع وجود قمة في مركز كل وجه) هو المنحنى المعياري X(5)؛ وهذا يفسر أهميته لنظرية الأعداد.

وبشكل أكثر دقة، فإن الرباعي كلاين (الإسقاطي) هو منحنى شيمورا (كما هو الحال مع أسطح هورويتز من النوع 7 و 14)، وعلى هذا النحو يقوم بمعاملة الأصناف الأبيلية المستقطبة بشكل أساسي ذات البعد 6. ^{[ 12 ]}

وبشكل استثنائي، يشكل الرباعي كلاين جزءًا من " ثالوث " بالمعنى الذي وضعه فلاديمير أرنولد ، والذي يمكن وصفه أيضًا بأنه تناظر مكاي . في هذه المجموعة، تتشابه المجموعات الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,5) وPSL(2,7) وPSL(2,11) (الرتب 60 و168 و660 على التوالي). لاحظ أن 4 × 5 × 6/2 = 60، و6 × 7 × 8/2 = 168، و10 × 11 × 12/2 = 660. تتوافق هذه مع التناظر العشري الوجوه (الجنس 0)، وتناظرات الرباعي كلاين (الجنس 3)، وسطح كرة بوكي (الجنس 70). ^{[ 13 ]} وترتبط هذه أيضًا بالعديد من الظواهر الاستثنائية الأخرى، والتي سيتم شرحها بالتفصيل في قسم " الثالوثات ".

• سطح بولزا
• منحنى برينغ
• أول توأم هورويتز
• تكوين غرونباوم-ريغبي
• سطح هورويتز
• سطح ماكبيث
• منحنى شيمورا

• منحنى كلاين الرباعي ، جون بايز، 28 يوليو 2006
• منحنى كلاين الرباعي ، من تأليف جريج إيجان – الرسوم التوضيحية
• معادلات كلاين الرباعية ، بقلم جريج إيجان – الرسوم التوضيحية