مراقب الدولة

يُفترض أن حالة نظام خطي ثابت مع الزمن منفصل الزمن تحقق

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

حيث، في ذلك الوقت${\displaystyle k}$،${\displaystyle x(k)}$هي حالة النبات؛${\displaystyle u(k)}$وهي مدخلاتها؛ و${\displaystyle y(k)}$هي مخرجاتها. تُشير هذه المعادلات ببساطة إلى أن مخرجات المصنع الحالية وحالته المستقبلية تُحددان فقط من خلال حالاته الحالية ومدخلاته الحالية. (على الرغم من أن هذه المعادلات مُعبر عنها بدلالة خطوات زمنية منفصلة ، ​​إلا أن معادلات مشابهة جدًا تنطبق على الأنظمة المستمرة ). إذا كان هذا النظام قابلاً للملاحظة، فإن مخرجات المصنع،${\displaystyle y(k)}$، ويمكن استخدامها لتوجيه حالة مراقب الحالة.

يُشتق نموذج المراقب للنظام الفيزيائي عادةً من المعادلات المذكورة أعلاه. ويمكن إضافة حدود أخرى لضمان تقارب حالة النموذج مع حالة النظام عند تلقي قيم مُقاسة متتالية لمدخلات ومخرجات النظام. وعلى وجه الخصوص، يمكن طرح مخرج المراقب من مخرج النظام ثم ضرب الناتج في مصفوفة.${\displaystyle L}$ثم يُضاف هذا إلى معادلات حالة المراقب لإنتاج ما يُسمى بمراقب لوينبرغر ، المُعرَّف بالمعادلات أدناه. لاحظ أن متغيرات مراقب الحالة يُرمز لها عادةً بعلامة "قبعة".${\displaystyle {\hat {x}}(k)}$و${\displaystyle {\hat {y}}(k)}$لتمييزها عن متغيرات المعادلات التي يحققها النظام الفيزيائي.

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}$

يُطلق على المراقب اسم المراقب المستقر تقاربياً إذا كان خطأ المراقب${\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}$يتقارب إلى الصفر عندما${\displaystyle k\to \infty }$بالنسبة لمراقب لوينبرغر، فإن خطأ المراقب يحقق ما يلي:${\displaystyle e(k+1)=(A-LC)e(k)}$وبالتالي، يكون مراقب لوينبرغر لهذا النظام المتقطع زمنيًا مستقرًا تقاربيًا عندما تكون المصفوفة${\displaystyle A-LC}$جميع القيم الذاتية تقع داخل دائرة الوحدة .

لأغراض التحكم، يتم تغذية خرج نظام المراقبة مرة أخرى إلى مدخل كل من نظام المراقبة والنظام من خلال مصفوفة المكاسب.${\displaystyle K}$.

${\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}$

تصبح معادلات المراقب عندئذٍ كما يلي:

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]-BK{\hat {x}}(k)}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}$

أو ببساطة،

${\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]}$

${\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}$

بفضل مبدأ الفصل، نعلم أنه بإمكاننا الاختيار${\displaystyle K}$و${\displaystyle L}$بشكل مستقل دون الإضرار بالاستقرار العام للأنظمة. وكقاعدة عامة ، فإن أقطاب المراقب${\displaystyle A-LC}$يتم اختيارها عادةً بحيث تتقارب أسرع بعشر مرات من أقطاب النظام${\displaystyle A-BK}$.

كان المثال السابق خاصًا بمراقب مُنفَّذ في نظام خطي ثابت الزمن منفصل. ومع ذلك، فإن العملية مماثلة في حالة الزمن المستمر؛ إذ يكتسب المراقب${\displaystyle L}$يتم اختيارها لجعل ديناميكيات الخطأ في الزمن المستمر تتقارب إلى الصفر بشكل مقارب (أي عندما${\displaystyle A-LC}$(هي مصفوفة هورويتز ).

بالنسبة لنظام خطي مستمر الزمن

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx+Du,}$

أين${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}$، يبدو المراقب مشابهاً لحالة الزمن المنفصل الموصوفة أعلاه:

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}$.

${\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}$

خطأ المراقب${\displaystyle e=x-{\hat {x}}}$يحقق المعادلة

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle A-LC}$يمكن اختيارها بشكل تعسفي عن طريق الاختيار المناسب لكسب المراقب${\displaystyle L}$عندما الزوجان${\displaystyle [A,C]}$قابل للملاحظة، أي أن شرط قابلية الملاحظة متحقق. على وجه الخصوص، يمكن جعله هورويتز، وبالتالي يكون خطأ المراقب${\displaystyle e(t)\to 0}$متى${\displaystyle t\to \infty }$.

عندما يكتسب المراقب${\displaystyle L}$عندما تكون قيمة معامل التضخيم عالية، يتقارب مُراقب لوينبرغر الخطي بسرعة كبيرة مع حالات النظام. مع ذلك، يؤدي تضخيم المُراقب العالي إلى ظاهرة الذروة، حيث قد يكون خطأ المُقدِّر الأولي كبيرًا جدًا (أي غير عملي أو غير آمن للاستخدام). ^{[ 1 ]} ونتيجةً لذلك، تتوفر طرق مُراقب غير خطية ذات تضخيم عالٍ تتقارب بسرعة دون ظاهرة الذروة. على سبيل المثال، يمكن استخدام التحكم بالنمط الانزلاقي لتصميم مُراقب يُعيد خطأ إحدى الحالات المُقدَّرة إلى الصفر في وقت محدود حتى في وجود خطأ في القياس؛ أما الحالات الأخرى، فيكون خطأها مشابهًا لخطأ مُراقب لوينبرغر بعد انحسار الذروة. كما يتمتع مُراقبو النمط الانزلاقي بخصائص مقاومة ضوضاء جذابة تُشبه مرشح كالمان . ^{[ 2 ] [ 3 ]} يتمثل نهج آخر في تطبيق مُراقب متعدد، مما يُحسِّن بشكل كبير من الاستجابة العابرة ويُقلِّل من تجاوز المُراقب. يمكن تكييف المُراقب المتعدد مع أي نظام يُمكن فيه تطبيق مُراقب ذي تضخيم عالٍ. ^{[ 4 ]}

يمكن تطبيق أحد الاقتراحات التي قدمها كل من Krener و Isidori ^{[ 5 ]} و Krener و Respondek ^{[ 6 ]} في حالة وجود تحويل خطي (أي، تحويل تبايني ، مثل ذلك المستخدم في التخطيط الخطي بالتغذية الراجعة ).${\displaystyle z=\Phi (x)}$بحيث تصبح معادلات النظام في المتغيرات الجديدة كما يلي

${\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}$

${\displaystyle y=Cz.}$

ثم يتم تصميم مراقب لوينبرغر على النحو التالي:

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}$.

خطأ المراقب للمتغير المحوّل${\displaystyle e={\hat {z}}-z}$يحقق نفس المعادلة كما في الحالة الخطية الكلاسيكية.

${\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}$.

كما أوضح غوتييه وحموري وعثمان ^{[ 7 ]} وحموري وكينارت ^{[ 8 ]} ، إذا وُجد تحويل${\displaystyle z=\Phi (x)}$بحيث يمكن تحويل النظام إلى الشكل

${\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}$

${\displaystyle y=Cz,}$

ثم يتم تصميم المراقب على النحو التالي

${\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}$،

أين${\displaystyle L(t)}$هو كسب مراقب متغير مع الزمن.

حصل كل من سيكاريلا، دالا مورا، وجيرماني ^{[ 9 ]} على نتائج أكثر تقدمًا وعمومية، مما أدى إلى إزالة الحاجة إلى تحويل غير خطي وإثبات التقارب التقاربي العالمي للحالة المقدرة إلى الحالة الحقيقية باستخدام افتراضات بسيطة فقط حول الانتظام.

كما ذُكر في الحالة الخطية أعلاه، فإن ظاهرة الذروة الموجودة في مُراقبي لونبرغر تُبرر استخدام المُراقبين المُبدَّلين. يتضمن المُراقب المُبدَّل مُرحِّلًا أو مفتاحًا ثنائيًا يعمل عند رصد التغيرات الطفيفة في الخرج المقاس. من بين الأنواع الشائعة للمُراقبين المُبدَّلين: مُراقب نمط الانزلاق، ومُراقب الحالة المُمتدة غير الخطي، ^{[ 10 ]} ومُراقب الزمن الثابت، ^{[ 11 ]} ومُراقب الكسب العالي المُبدَّل ، ^{[ 12 ]} ومُراقب التوحيد. ^{[ 13 ]} يستخدم مُراقب نمط الانزلاق تغذية راجعة غير خطية عالية الكسب لدفع الحالات المُقدَّرة إلى سطح فائق حيث لا يوجد فرق بين الخرج المُقدَّر والخرج المقاس. عادةً ما يتم تنفيذ الكسب غير الخطي المُستخدم في المُراقب باستخدام دالة تبديل مُقاسة، مثل إشارة (أي sgn) خطأ الخرج المُقدَّر - الخرج المقاس. وبالتالي، وبسبب هذه التغذية الراجعة عالية الكسب، يحتوي حقل متجه المُراقب على انحناء بحيث تنزلق مسارات المُراقب على طول منحنى حيث يتطابق الخرج المُقدَّر مع الخرج المقاس تمامًا. لذا، إذا كان النظام قابلاً للملاحظة من خلال مخرجاته، فإن جميع حالات المراقب ستتجه نحو حالات النظام الفعلية. بالإضافة إلى ذلك، باستخدام إشارة الخطأ لتوجيه مراقب نمط الانزلاق، تصبح مسارات المراقب غير حساسة للعديد من أنواع الضوضاء. وبالتالي، تتمتع بعض مراقبي نمط الانزلاق بخصائص جذابة مشابهة لمرشح كالمان، ولكن بتنفيذ أبسط. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

كما اقترح دراكونوف ^{[ 14 ]} ، يمكن أيضًا تصميم مُراقب نمط الانزلاق لفئة من الأنظمة غير الخطية. ويمكن كتابة هذا المُراقب بدلالة تقدير المتغير الأصلي.${\displaystyle {\hat {x}}}$وله الشكل

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))}$

أين:

• ال${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$يُوسّع المتجه دالة الإشارة العددية إلى${\displaystyle n}$الأبعاد. أي،

  ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}}$

  بالنسبة للمتجه${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$.

• المتجه${\displaystyle H(x)}$يحتوي على مكونات تمثل دالة الإخراج${\displaystyle h(x)}$ومشتقاتها المتكررة من معادلات لي. على وجه الخصوص،

  ${\displaystyle H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

  أين${\displaystyle L_{f}^{i}h}$هي المشتقة الخطية ^رقم i لدالة الخرج${\displaystyle h}$على طول حقل المتجهات${\displaystyle f}$(أي على طول)${\displaystyle x}$مسارات النظام غير الخطي). في الحالة الخاصة التي لا يحتوي فيها النظام على مدخلات أو تكون درجته النسبية n ،${\displaystyle H(x(t))}$هي مجموعة من المخرجات${\displaystyle y(t)=h(x(t))}$و${\displaystyle n-1}$المشتقات. لأن معكوس خطية جاكوبيان لـ${\displaystyle H(x)}$يجب أن يكون هذا المراقب موجودًا لكي يكون تعريفه جيدًا، التحويل${\displaystyle H(x)}$يضمن أن يكون تحويلاً تفاضلياً محلياً .

• المصفوفة القطرية${\displaystyle M({\hat {x}})}$إن المكاسب من شأنها أن

  ${\displaystyle M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}}$

  حيث، لكل${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$، عنصر${\displaystyle m_{i}({\hat {x}})>0}$وكبيرة الحجم بشكل مناسب لضمان سهولة الوصول إلى وضع الانزلاق.

• متجه المراقب${\displaystyle V(t)}$بحيث

  ${\displaystyle V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}}$

  أين${\displaystyle \operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})}$هذه هي دالة الإشارة الطبيعية المعرفة للكميات العددية، و${\displaystyle \{\ldots \}_{\text{eq}}}$يشير إلى "معامل القيمة المكافئة" لدالة غير متصلة في وضع الانزلاق.

يمكن شرح الفكرة بإيجاز كما يلي. وفقًا لنظرية أنماط الانزلاق، لوصف سلوك النظام، بمجرد بدء نمط الانزلاق، فإن الدالة${\displaystyle \operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))}$يجب استبدالها بقيم مكافئة (انظر التحكم المكافئ في نظرية أنماط الانزلاق ). عمليًا، يحدث تبديل (تذبذب) بتردد عالٍ، حيث يكون المكون البطيء مساويًا للقيمة المكافئة. بتطبيق مرشح تمرير منخفض مناسب للتخلص من مكون التردد العالي، يمكن الحصول على قيمة التحكم المكافئ، التي تحتوي على معلومات أكثر حول حالة النظام المُقدَّر. يستخدم المراقب الموصوف أعلاه هذه الطريقة عدة مرات للحصول على حالة النظام غير الخطي، نظريًا، في زمن محدود.

يمكن كتابة خطأ الملاحظة المعدل في الحالات المحولة${\displaystyle e=H(x)-H({\hat {x}})}$. بخاصة،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}}$

وهكذا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

لذا:

1. طالما${\displaystyle m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|}$، الصف الأول من ديناميكيات الخطأ،${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})}$، سيستوفي الشروط الكافية للدخول${\displaystyle e_{1}=0}$الوضع الانزلاقي في زمن محدود.
2. على طول${\displaystyle e_{1}=0}$السطح المقابل${\displaystyle v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}}$ستكون السيطرة المكافئة مساوية لـ${\displaystyle h_{2}(x)}$وهكذا${\displaystyle v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}}$وبالتالي، طالما${\displaystyle m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|}$، الصف الثاني من ديناميكيات الخطأ،${\displaystyle {\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})}$، سيدخل${\displaystyle e_{2}=0}$الوضع الانزلاقي في زمن محدود.
3. على طول${\displaystyle e_{i}=0}$السطح المقابل${\displaystyle v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}}$ستكون السيطرة المكافئة مساوية لـ${\displaystyle h_{i+1}(x)}$وبالتالي، طالما${\displaystyle m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|}$، ال${\displaystyle (i+1)}$^{الصف th} من ديناميكيات الخطأ،${\displaystyle {\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})}$، سيدخل${\displaystyle e_{i+1}=0}$الوضع الانزلاقي في زمن محدود.

لذا، بالنسبة للكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle m_{i}}$مع زيادة المكاسب، تصل جميع الحالات المقدرة من قبل المراقب إلى الحالات الفعلية في وقت محدود. في الواقع، مع زيادة${\displaystyle m_{i}}$يسمح بالتقارب في أي وقت محدد مرغوب فيه طالما أن كل${\displaystyle |h_{i}(x(0))|}$يمكن تحديد حدود الدالة بشكل مؤكد. ومن ثم، فإن الشرط هو أن تكون الخريطة${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$يؤكد هذا الشرط ، الذي يُعدّ تماثلاً تفاضلياً (أي أن خطية جاكوبي الخاصة به قابلة للعكس)، أن تقارب المخرجات المُقدَّرة يستلزم تقارب الحالة المُقدَّرة. أي أن هذا الشرط هو شرط قابلية الملاحظة.

في حالة مراقب الوضع الانزلاقي للنظام ذي المدخلات، يلزم وجود شروط إضافية لكي يكون خطأ الملاحظة مستقلاً عن المدخلات. على سبيل المثال، أن

${\displaystyle {\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)}$

لا يعتمد على الزمن. المراقب هو إذن

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.}$