ديناميكيات النجوم

لنفترض جهدًا كرويًا أملسًا تحليليًا $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle V_{e}(r)}$يأخذ معنى السرعة على أنه "الهروب إلى الحافة"${\displaystyle r_{0}}$، و${\displaystyle {\sqrt {2}}V_{0}}$هي السرعة اللازمة "للهروب من الحافة إلى اللانهاية". تشبه الجاذبية قوة الاستعادة للمذبذب التوافقي داخل الكرة، وقوة كبلر خارجها كما هو موضح بدوال هيفسايد.

يمكننا إصلاح عملية التطبيع${\displaystyle V_{0}}$عن طريق حساب الكثافة المقابلة باستخدام معادلة بواسون الكروية $${\displaystyle G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),}$$ حيث الكتلة المحصورة $${\displaystyle M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.}$$

وبالتالي فإن النموذج المحتمل يتوافق مع كرة منتظمة نصف قطرها${\displaystyle r_{0}}$الكتلة الكلية${\displaystyle M_{0}}$مع $${\displaystyle {V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.}$$

على الرغم من أن معادلات الحركة ومعادلة بواسون قد تتخذ أشكالًا غير كروية، اعتمادًا على نظام الإحداثيات وتناظر النظام الفيزيائي ، إلا أن جوهرها واحد: فحركة النجوم في مجرة ​​أو عنقود كروي تتحدد أساسًا بالتوزيع المتوسط ​​للنجوم الأخرى البعيدة. وتشمل التفاعلات النجمية النادرة عمليات مثل الاسترخاء، وفصل الكتلة ، وقوى المد والجزر ، والاحتكاك الديناميكي، التي تؤثر على مسارات أعضاء النظام. ^{[ 4 ]}

أولاً، تتجاهل المعادلات المذكورة أعلاه التصحيحات النسبية، والتي هي من رتبة $${\displaystyle (v/c)^{2}\ll 10^{-4}}$$كسرعة نجمية نموذجية ثلاثية الأبعاد،${\displaystyle v\sim 3-3000}$كم/ث، وهي أقل بكثير من سرعة الضوء .

ثانيًا، عادةً ما تكون القوى غير الجاذبية ضئيلة في الأنظمة النجمية. على سبيل المثال، في جوار نجم نموذجي، تكون نسبة قوة الإشعاع إلى قوة الجاذبية المؤثرة على ذرة أو أيون الهيدروجين، $${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},}$$ وبالتالي فإن قوة الإشعاع ضئيلة بشكل عام، باستثناء ربما ما يدور حول نجم لامع من النوع O ذي كتلة${\displaystyle 30M_{\odot }}$أو حول ثقب أسود يتراكم عليه الغاز عند حد إيدنجتون بحيث تكون نسبة لمعانه إلى كتلته${\displaystyle L_{\bullet }/M_{\bullet }}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}=1}$.

ثالثًا، يمكن ابتلاع نجم إذا اقترب من الثقب الأسود لمسافة بضعة أنصاف أقطار شوارزشيلد . ويُعطى نصف قطر الفقد هذا بالمعادلة التالية:$${\displaystyle s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$$

يمكن تصور مخروط الفقد من خلال النظر إلى الجسيمات المتساقطة التي تتجه نحو الثقب الأسود ضمن زاوية مجسمة صغيرة (مخروط سرعة). هذه الجسيمات ذات زاوية صغيرة${\displaystyle \theta \ll 1}$لها زخم زاوي صغير لكل وحدة كتلة$${\displaystyle J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$$إن زخمها الزاوي الصغير (بسبب ) لا يشكل حاجزًا عاليًا بما فيه الكفاية بالقرب من${\displaystyle s_{\text{Loss}}}$لإجبار الجسيم على الدوران.

الإمكانات الفعالة $${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),}$$تكون قيمة دائمًا موجبة ما لا نهاية في الجاذبية النيوتونية. ومع ذلك، في النسبية العامة، تنخفض هذه القيمة بشكل حاد إلى سالب ما لا نهاية بالقرب من${\displaystyle {\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$لو${\displaystyle J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$

باستثناء العلاج المكثف لمستقبلات هرمون النمو، يمكن للمرء التحقق من ذلك.${\displaystyle s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}}$عن طريق حساب آخر مدار دائري مستقر، حيث يكون الجهد الفعال عند نقطة انعطاف${\displaystyle \Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0}$باستخدام جهد كلاسيكي تقريبي لثقب أسود شوارزشيلد $${\displaystyle \Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].}$$

لنفترض وجود ثقب أسود بسرعة ماخ 1، والذي يتحرك في البداية بسرعة الصوت.${\displaystyle {\text{ς}}=V_{0}}$ومن هنا نصف قطر بوندي${\displaystyle s_{\bullet }}$يرضي $${\displaystyle {GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},}$$ حيث تكون سرعة الصوت${\displaystyle {\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}}$ مع العامل المسبق${\displaystyle {4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4}$ثابت بسبب حقيقة أنه بالنسبة لمجموعة كروية منتظمة ذات كثافة كتلة${\displaystyle \rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}}$نصف دورة دائرية هو الوقت اللازم للصوت لعبور مسار أحادي الاتجاه في أطول أبعاده، أي $${\displaystyle 2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.}$$ من المعتاد تسمية وقت عبور "نصف القطر"${\displaystyle t_{\text{cross}}}$المقياس الزمني الديناميكي.

افترض أن الثقب الأسود يتوقف بعد قطع مسافة معينة ${\displaystyle l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}}$بزخمها${\displaystyle M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}}$تم إيداعها في${\displaystyle {M_{\bullet } \over M_{\odot }}}$النجوم في مسارها${\displaystyle l_{\text{fric}}/(2R)}$عدد مرات العبور، ثم عدد النجوم التي انحرفت بفعل المقطع العرضي لبوندي للثقب الأسود لكل "قطر" من وقت العبور هو $${\displaystyle N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .}$$

وبشكل أعم، فإن معادلة حركة الثقب الأسود عند سرعة عامة${\displaystyle \mathbf {V} _{\bullet }}$في الإمكانات${\displaystyle \Phi }$يمكن كتابة "بحر من النجوم" على النحو التالي: $${\displaystyle -{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },}$$${\displaystyle {\pi ^{2} \over 8}\approx 1}$وعامل تعديل لوغاريتم كولوم${\displaystyle {\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1}$يُقلل من تأثير الاحتكاك على ثقب أسود يتحرك بسرعة تفوق سرعة الصوت وله كتلة${\displaystyle M_{\bullet }\geq M_{\odot }}$كقاعدة عامة، يستغرق الأمر حوالي عبور الصوت${\displaystyle t_{\text{ς'}}}$يستغرق الأمر وقتًا أطول لـ"غرق" الثقوب السوداء دون سرعة الصوت، من الحافة إلى المركز دون تجاوزها، إذا كان وزنها يزيد عن ثُمن كتلة العنقود الكلي. أما الثقوب الأخف والأسرع، فيمكنها البقاء طافية لفترة أطول بكثير.

إن صيغة تشاندراسيكار الكاملة للاحتكاك الديناميكي لتغير سرعة الجسم تتضمن التكامل على كثافة فضاء الطور لحقل المادة وهي بعيدة كل البعد عن الشفافية.

يُقرأ كالتالي $${\displaystyle {M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},}$$ أين $${\displaystyle ~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}}$$ يمثل عدد الجسيمات في حجم أسطواني متناهي الصغر طوله${\displaystyle |V_{\bullet }dt|}$ومقطع عرضي${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$ضمن نطاق تأثير الثقب الأسود.

مثل "لوغاريتم كولوم"${\displaystyle \ln \Lambda }$العوامل المؤثرة في مساهمة الجسيمات الخلفية البعيدة، وهنا العامل${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{lag}})}$يأخذ هذا في الاعتبار أيضًا احتمالية وجود جسيم خلفي أبطأ من الثقب الأسود ليساهم في السحب. كلما زاد عدد الجسيمات التي يتجاوزها الثقب الأسود، زاد عدد الجسيمات التي تسحب الثقب الأسود، وبالتالي تزداد قوة السحب.${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{beaten}})}$وكلما كبر النظام، زادت قيمته.${\displaystyle \ln \Lambda }$.

يمكن أن تؤدي خلفية من الجسيمات الأولية (الغازية أو المظلمة) أيضًا إلى إحداث احتكاك ديناميكي، يتناسب مع كثافة كتلة الوسط المحيط.${\displaystyle m~n}$يتم تعويض انخفاض كتلة الجسيمات m بارتفاع كثافة العدد n. كلما زادت كتلة الجسم، زادت كمية المادة التي ستُسحب إلى منطقة التخلف.

وبجمع قوة السحب الجاذبية لكل من الغاز المتصادم والنجوم غير المتصادمة، لدينا $${\displaystyle M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~}$$ هنا، تُعطى نسبة "التأخر" للغاز ^{[ 6 ]} وللنجوم بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$ حيث افترضنا كذلك أن الثقب الأسود يبدأ في التحرك من وقت${\displaystyle t=0}$الغاز متساوي الحرارة وسرعة الصوت${\displaystyle {\text{ς}}}$تتميز النجوم الخلفية بكثافة (كتلة)${\displaystyle mn(\mathbf {x} )}$في توزيع ماكسويل للزخم${\displaystyle p=mv}$مع انتشار سرعة توزيع غاوسي${\displaystyle \sigma }$(يُطلق عليه تشتت السرعة، عادةً)${\displaystyle \sigma \leq {\text{ς}}}$).

ومن المثير للاهتمام أن ${\displaystyle G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))}$يشير الاعتماد إلى أن الاحتكاك الديناميكي ناتج عن قوة الجذب الجاذبي للأثر الخلفي، والذي ينتج عن التركيز الجاذبي للجسم الضخم في مواجهاته الثنائية مع الأجسام الخلفية.

نلاحظ أن القوة تتناسب عكسيًا مع مربع السرعة عند السرعات العالية، وبالتالي ينخفض ​​معدل فقد الطاقة بسرعة عند هذه السرعات. لذا، فإن الاحتكاك الديناميكي غير مهم للأجسام التي تتحرك بسرعات نسبية، مثل الفوتونات. ويمكن تفسير ذلك بأن سرعة الجسم في الوسط تقل مع مرور الوقت اللازم لتكوين أثر خلفه. ويكون الاحتكاك في أعلى مستوياته عند حاجز الصوت، حيث${\displaystyle \ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}}$.

متوسط ​​المسار الحر للاصطدامات القوية في نموذج نموذجي${\displaystyle (N-1)=4.19nR^{3}\gg 100}$النظام النجمي هو $${\displaystyle l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,}$$ أي أن الأمر يستغرق حوالي${\displaystyle 0.123N}$نصف قطر عبور النجم النموذجي ليدخل ضمن مقطع عرضي${\displaystyle \pi s_{*}^{2}}$ليتم انحرافها عن مسارها تمامًا. وبالتالي فإن متوسط ​​الوقت الحر لمواجهة قوية يكون أطول بكثير من وقت العبور${\displaystyle R/V}$.

للتفاعلات الضعيفة تأثيرٌ أعمق على تطور النظام النجمي على مدار دوراتٍ عديدة. ويمكن دراسة آثار التفاعلات الجاذبية باستخدام مفهوم زمن الاسترخاء . ومن الأمثلة البسيطة التي توضح الاسترخاء، استرخاء الجسمين، حيث يتغير مدار نجمٍ ما نتيجةً للتفاعل الجاذبي مع نجمٍ آخر.

في البداية، يتحرك النجم المستهدف على طول مدار بسرعة ابتدائية،${\displaystyle \mathbf {v} }$، أي عمودي على معامل التأثير ، مسافة أقرب اقتراب، من نجم المجال الذي سيؤثر مجاله الجاذبي على المدار الأصلي. باستخدام قوانين نيوتن، فإن التغير في سرعة النجم المستهدف،${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$، يساوي تقريبًا التسارع عند معلمة الاصطدام، مضروبًا في المدة الزمنية للتسارع.

يمكن اعتبار وقت الاسترخاء هو الوقت الذي يستغرقه${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$يساوي${\displaystyle \mathbf {v} }$أو الوقت الذي تستغرقه الانحرافات الطفيفة في السرعة لتساوي السرعة الابتدائية للنجم. عدد مرات عبور "نصف القطر" اللازمة لنجم متوسط ​​ليسترخي في نظام نجمي من${\displaystyle N}$عدد الأشياء تقريبًا $${\displaystyle {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1}$$ من خلال حساب أكثر دقة من تقديرات متوسط ​​الوقت الحر المذكورة أعلاه للانحراف القوي.

الإجابة منطقية لأنه لا يوجد استرخاء لنظام جسم واحد أو نظام جسمين. ويُعدّ التقريب الأفضل لنسبة المقاييس الزمنية هو${\displaystyle \left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}}$وبالتالي، فإن زمن الاسترخاء لأنظمة مكونة من 3 أجسام، و4 أجسام، و5 أجسام، و7 أجسام، و10 أجسام، ...، و42 جسمًا، و72 جسمًا، و140 جسمًا، و210 أجسام، و550 جسمًا، هو حوالي 16، 8، 6، 4، 3، ...، 3، 4، 6، 8، 16 عبورًا. لا يوجد استرخاء لنظام ثنائي معزول، ويكون الاسترخاء أسرع ما يمكن لنظام مكون من 16 جسمًا؛ إذ يستغرق الأمر حوالي 2.5 عبورًا لتشتت المدارات. نظام مع${\displaystyle N\sim 10^{2}-10^{10}}$تتمتع بإمكانيات أكثر سلاسة، وعادة ما تستغرق${\displaystyle \sim \ln N'\approx (2-20)}$التفاعلات الضعيفة لبناء انحراف قوي لتغيير طاقة المدار بشكل كبير.

من الواضح أن الاحتكاك الديناميكي للثقب الأسود أسرع بكثير من زمن الاسترخاء بمعامل يقارب${\displaystyle M_{\odot }/M_{\bullet }}$لكن هذين النوعين متشابهان للغاية بالنسبة لمجموعة من الثقوب السوداء، $${\displaystyle N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.}$$

بالنسبة لمجموعة نجمية أو مجموعة مجرية تحتوي على، على سبيل المثال، ${\displaystyle N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s} }$لدينا${\displaystyle t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr} }$وبالتالي فإن لقاءات الأعضاء في هذه التجمعات النجمية أو المجرية مهمة خلال العمر النموذجي البالغ 10 مليارات سنة.

من ناحية أخرى، مجرة ​​نموذجية تحتوي على، على سبيل المثال،${\displaystyle N=10^{6}-10^{11}}$سيكون للنجوم وقت عبور${\displaystyle t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr} }$وفترة استرخائها أطول بكثير من عمر الكون. وهذا يبرر نمذجة طاقات المجرات باستخدام دوال سلسة رياضيًا، مع إهمال التفاعلات الثنائية طوال عمر المجرات النموذجية. وداخل هذه المجرة النموذجية، لا يُغير الاحتكاك الديناميكي والتراكم على الثقوب السوداء النجمية خلال فترة زمنية تعادل 10 مليارات سنة (عمر الكون) سرعة الثقب الأسود وكتلته إلا بنسبة ضئيلة جدًا. $${\displaystyle \Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}}$$

إذا كانت كتلة الثقب الأسود أقل من 0.1% من إجمالي كتلة المجرة${\displaystyle NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }}$وخاصة عندما${\displaystyle M_{\bullet }\sim M_{\odot }}$، نرى أن النجم النموذجي لا يمر أبدًا بتجربة مواجهة، وبالتالي يبقى في مداره في مجال جاذبية مجرة ​​سلس.

يُحدد زمن الاحتكاك الديناميكي أو زمن الاسترخاء ما إذا كانت أنظمة الجسيمات عديمة التصادم أم متصادمة. تكون الديناميكيات على نطاقات زمنية أقل بكثير من زمن الاسترخاء عديمة التصادم فعليًا، لأن النجم النموذجي سينحرف عن حجم مداره الأولي بجزء ضئيل جدًا.${\displaystyle t/t_{\text{relax}}\ll 1}$تُعرف هذه الأنظمة أيضًا بأنها تلك التي تتفاعل فيها النجوم بجاذبية سلسة، على عكس مجموع جاذبيات نقطية. ويمكن أن تؤدي التأثيرات المتراكمة للاسترخاء الثنائي في المجرة إلى ما يُعرف بانفصال الكتلة ، حيث تتجمع النجوم الأكثر ضخامة بالقرب من مركز العناقيد، بينما تُدفع النجوم الأقل ضخامة نحو الأجزاء الخارجية من العنقود.

بعد الخوض في تفاصيل التفاعلات المعقدة للجسيمات في نظام الجاذبية، من المفيد دائمًا توسيع نطاق الرؤية واستخلاص بعض الأفكار العامة، بثمن معقول من الدقة، لذا استمر بعبء أخف.

أول مفهوم مهم هو "حركة التوازن الجاذبي" بالقرب من الجسم المؤثر وللخلفية ككل. $${\displaystyle {\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},}$$من خلال حذف جميع عوامل الوحدة باستمرار${\displaystyle 4\pi }$،${\displaystyle \pi }$،${\displaystyle \ln {\text{Λ}}}$إلخ للتوضيح، تقريب الكتلة المجمعة${\displaystyle M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }}$وكون هندسة النظام غامضة فيما إذا كانت قرصًا غازيًا/نجميًا رقيقًا/سميكًا أو كرة نجمية/مظلمة (غير) منتظمة مع أو بدون حدود، وحول الفروق الدقيقة بين الطاقات الحركية من سرعة الدوران الدائري المحلية${\displaystyle V_{\text{cir}}}$سرعة السقوط الشعاعي${\displaystyle \langle V\rangle }$حركة عشوائية متجانسة أو غير متجانسة على مستوى العالم${\displaystyle \sigma }$في اتجاه واحد أو ثلاثة اتجاهات، أو سرعة الصوت المتساوية الخواص (غير) المنتظمة${\displaystyle c_{\text{ς}}}$للتأكيد على المنطق الكامن وراء رتبة حجم مقياس زمن الاحتكاك.

ثانيًا، يمكننا تلخيص العمليات المختلفة التي تم تناولها حتى الآن للغاز/النجم أو المادة المظلمة التصادمية وغير التصادمية من خلال معادلة الاستمرارية على غرار معادلة البقرة الكروية على أي كمية عامة Q للنظام: $${\displaystyle {dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,}$$ حيث${\displaystyle \pm }$تكون الإشارة سالبة بشكل عام باستثناء الكتلة (المتراكمة) M، ومتوسط ​​المسار الحر${\displaystyle l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}}$أو زمن الاحتكاك${\displaystyle t_{\text{fric}}}$قد يكون ذلك بسبب اللزوجة الجزيئية المباشرة الناتجة عن مقطع تصادم فيزيائي ، أو بسبب التشتت الجاذبي (الانحناء/التركيز/ القذف ) للجسيمات؛ وعمومًا تكون المنطقة المتأثرة هي الأكبر من بين العمليات المتنافسة لتراكم بوندي ، والتمزق المدّي ، والتقاط مخروط الفقد . $${\displaystyle s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.}$$

على سبيل المثال، في حالة كون Q هي كتلة الجسم المؤثر${\displaystyle Q=M_{\bullet }}$ثم يمكننا تقدير زمن الاحتكاك الديناميكي من خلال معدل التراكم (الغاز/النجم) $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}}$$ حيث قمنا بتطبيق العلاقات بين الحركة والتوازن والجاذبية.

في الحد الأقصى، يكون العامل المؤثر مجرد واحد من بين جسيمات الخلفية البالغ عددها N.${\displaystyle M_{\bullet }\rightarrow m}$يُعرَّف زمن الاحتكاك هذا بأنه زمن الاسترخاء (الجاذبي) . ومرة ​​أخرى، يتم حذف جميع اللوغاريتمات الكولومبية وما شابهها دون تغيير التقديرات المستخلصة من هذه المعادلات النوعية.

فيما يتعلق ببقية ديناميكيات النجوم، سنعمل باستمرار على حسابات دقيقة من خلال أمثلة محلولة بشكل أساسي ، مع إهمال الاحتكاك الجاذبي واسترخاء الجسم المؤثر، والعمل في الحد${\displaystyle N\rightarrow \infty }$كما هو صحيح تقريبًا في معظم المجرات على مقياس هابل الزمني البالغ 14 مليار سنة، على الرغم من أن هذا يُنتهك أحيانًا بالنسبة لبعض تجمعات النجوم أو تجمعات المجرات. ^{[ 7 ]}

يتم عرض ملخص موجز من صفحة واحدة لبعض المعادلات الرئيسية في ديناميكيات النجوم وفيزياء قرص التراكم هنا، حيث يحاول المرء أن يكون أكثر دقة في المعادلات النوعية المذكورة أعلاه.

في معظم أدبيات ديناميكيات النجوم، من الملائم اعتماد الاصطلاح القائل بأن كتلة الجسيم تساوي واحدًا في وحدة الكتلة الشمسية.${\displaystyle M_{\odot }}$وبالتالي فإن زخم الجسيم وسرعته متطابقان، أي $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},}$$

$${\displaystyle {dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}}$$

على سبيل المثال، توزيع السرعة الحرارية لجزيئات الهواء (التي تبلغ كتلتها عادةً 15 ضعف كتلة البروتون لكل جزيء) في غرفة ذات درجة حرارة ثابتة${\displaystyle T_{0}\sim \mathrm {300K} }$سيكون له توزيع ماكسويل$${\displaystyle f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}}$$$${\displaystyle f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},}$$

حيث الطاقة لكل وحدة كتلة$${\displaystyle E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,}$$أين${\displaystyle \Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0}$

و${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$يمثل عرض توزيع ماكسويل للسرعة، وهو متطابق في كل اتجاه وفي كل مكان في الغرفة، وثابت التطبيع.${\displaystyle e^{\mu \over kT_{0}}}$(افترض الجهد الكيميائي)${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$بحيث يختزل توزيع فيرمي-ديراك إلى توزيع سرعة ماكسويل، يتم تحديده بواسطة كثافة عدد الغاز الثابتة.${\displaystyle n_{0}=n(x,y,0)}$على مستوى الأرض، حيث $${\displaystyle n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})}$$$${\displaystyle n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.}$$

في فيزياء البلازما، يُشار إلى معادلة بولتزمان عديمة التصادم باسم معادلة فلاسوف ، والتي تستخدم لدراسة التطور الزمني لدالة توزيع البلازما.

غالباً ما تُكتب معادلة بولتزمان بشكل أكثر عمومية باستخدام مؤثر ليوفيل.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$مثل $${\displaystyle {\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$ أين${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi }$هي قوة الجاذبية و${\displaystyle f_{\text{fit}}^{\text{Max}}}$هو توزيع ماكسويل (توزيع متساوي التوزيع) (ليتناسب مع نفس الكثافة، ونفس المتوسط، ونفس متوسط ​​السرعة التربيعية الجذرية)${\displaystyle f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$تعني هذه المعادلة أن اللاغوسية ستتلاشى على نطاق زمني (للاسترخاء) يبلغ${\displaystyle t_{\text{relax}}}$وسيعود النظام في النهاية إلى توزيع ماكسويل (التوزيع المتساوي).

بينما طبّق جينز معادلة بولتزمان عديمة التصادم، إلى جانب معادلة بواسون، على نظام من النجوم المتفاعلة عبر قوة الجاذبية بعيدة المدى، طبّق أناتولي فلاسوف معادلة بولتزمان مع معادلات ماكسويل على نظام من الجسيمات المتفاعلة عبر قوة كولوم . ^{[ 8 ]} يتميز كلا النهجين عن النظرية الحركية للغازات بإدخال قوى بعيدة المدى لدراسة التطور طويل الأمد لنظام متعدد الجسيمات. بالإضافة إلى معادلة فلاسوف، طُبّق مفهوم تخميد لاندو في البلازما على الأنظمة الجاذبية بواسطة دونالد ليندن-بيل لوصف تأثيرات التخميد في الأنظمة النجمية الكروية. ^{[ 9 ]}

من الخصائص المميزة للدالة f(t,x,v) إمكانية تكوين العديد من الكميات الديناميكية الأخرى من خلال عزماتها ، مثل الكتلة الكلية، والكثافة المحلية، والضغط، ومتوسط ​​السرعة. وبتطبيق معادلة بولتزمان عديمة التصادم ، ترتبط هذه العزوم بأشكال مختلفة من معادلات الاستمرارية، أبرزها معادلات جينز ونظرية فيريال .

قام جينز بحساب السرعة المرجحة لمعادلة بولتزمان بعد التكامل على فضاء السرعة$${\displaystyle {1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,}$$واحصل على معادلات الزخم (جينز) لـ${\displaystyle ^{p}}$الاكتظاظ (مثل الغاز، النجوم، المادة المظلمة):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}}$$

إنّ الصيغة العامة لمعادلة جينز، التي تتضمن عزوم السرعة (3 × 3)، معقدة. ولا تصبح مفيدة أو قابلة للحل إلا إذا أمكننا حذف بعض هذه العزوم، وخاصة حذف الحدود المختلطة غير القطرية للأنظمة ذات التناظر العالي، وكذلك حذف الدوران الكلي أو سرعة التدفق الداخل الكلية في كل مكان.

يُطلق على الصيغة المتناحية أيضًا اسم معادلة التوازن الهيدروستاتيكي، حيث يتم فيها موازنة تدرج الضغط مع الجاذبية. وتعمل هذه الصيغة أيضًا مع الأقراص المتناظرة محوريًا، بعد استبدال المشتقة dr بالإحداثي الرأسي dz. وهذا يعني أنه يمكننا قياس جاذبية المادة المظلمة من خلال رصد تدرجات تشتت السرعة وكثافة عدد النجوم.

لنفترض وجود جهد مفلطح في إحداثيات أسطوانية $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle z_{0},R_{0}}$تمثل هذه المقاييس الطولية (الموجبة) الرأسية والشعاعية. وعلى الرغم من تعقيد النموذج، يمكننا بسهولة ملاحظة بعض خصائصه المحددة.

أولاً، يمكننا أن نرى أن الكتلة الإجمالية للنظام هي${\displaystyle M_{0}}$لأن $${\displaystyle \Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},}$$ عندما نأخذ حد نصف القطر الكبير ${\displaystyle R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},}$، لهذا السبب${\displaystyle Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.}$

يمكننا أيضًا أن نُبين أن بعض الحالات الخاصة لهذا الجهد الموحد تصبح جهد قرص كوزمين الرقيق للغاية، وجهد الكتلة النقطية.${\displaystyle M_{0}}$، وذلك لتوزيع كتلة الإبرة المنتظم: $${\displaystyle \Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,}$$$${\displaystyle \Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,}$$$${\displaystyle \Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].}$$