حساب التفاضل والتكامل لماليافين

في نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة، يُعدّ حساب ماليافين مجموعة من التقنيات والأفكار الرياضية التي تُوسّع مجال حساب التفاضل والتكامل من الدوال الحتمية إلى العمليات العشوائية . ويُتيح هذا الحساب، على وجه الخصوص، حساب مشتقات المتغيرات العشوائية . ويُعرف حساب ماليافين أيضًا باسم حساب التفاضل والتكامل العشوائي . وقد بدأ بي. ماليافين بوضع أسس هذا الحساب في فضاء لا نهائي الأبعاد. ثمّ ساهم علماء بارزون، مثل س. كوسوكا، ود. ستروك، وج. م. بيسموت ، وشينزو واتانابي ، وإ. شيجيكاوا، وغيرهم، في وضع الأسس اللازمة لهذا المجال.

سُمّي حساب ماليافين نسبةً إلى بول ماليافين الذي أدت أفكاره إلى إثبات أن شرط هورماندر يستلزم وجود دالة كثافة سلسة لحل معادلة تفاضلية عشوائية ؛ وقد استند برهان هورماندر الأصلي إلى نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية . كما طُبّق هذا الحساب على المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية أيضًا.

يُتيح حساب التفاضل والتكامل إجراء التكامل بالتجزئة باستخدام المتغيرات العشوائية؛ وتُستخدم هذه العملية في التمويل الرياضي لحساب حساسية المشتقات المالية . ولحساب التفاضل والتكامل تطبيقات في مجالات مثل الترشيح العشوائي .

قدّم ماليافين حساب ماليافين لتقديم برهان احتمالي على أن شرط هورماندر يستلزم وجود دالة كثافة لحل معادلة تفاضلية احتمالية ؛ وكان برهان هورماندر الأصلي قائمًا على نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية . وقد مكّن حسابه ماليافين من إثبات حدود انتظام دالة كثافة الحل. وطُبّق هذا الحساب على المعادلات التفاضلية الجزئية الاحتمالية .

لنفترض دالة وينر${\displaystyle F}$(دالة من فضاء وينر الكلاسيكي ) ولننظر في مهمة إيجاد مشتقة لها. الفكرة الطبيعية هي استخدام مشتقة جاتو.

${\displaystyle D_{g}F[f]:=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F[f+\tau g]-F[f]}{\tau }}}$،

لكن هذا لا ينطبق دائمًا. لذا، من المنطقي إيجاد حساب تفاضلي جديد لمثل هذه الفضاءات عن طريق تقييد الاتجاهات.

النموذج المبسط لحساب ماليافين هو فضاء احتمالي غاوسي غير قابل للاختزال${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$هذا فضاء احتمالي (كامل)${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$بالإضافة إلى فضاء فرعي مغلق${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$بحيث يكون كل${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$هي متغيرات غاوسية ذات متوسط ​​صفري و${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (H:H\in {\mathcal {H}})}$إذا اختار المرء أساسًا لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ثم يتصل المرء${\displaystyle X}$نموذج عددي . من ناحية أخرى، لأي فضاء هيلبرت قابل للفصل${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يوجد فضاء احتمالي غاوسي غير قابل للاختزال معياري${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$أطلق على هذا الطراز اسم سيغال (نسبة إلى إيرفينغ سيغال )${\displaystyle {\mathcal {G}}}$باعتبارها فضاءً فرعياً غاوسياً. في هذه الحالة بالنسبة لـ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$يُشار إلى المتغير العشوائي المرتبط في${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$مثل${\displaystyle W(g)}$.

تُسمى خصائص فضاء الاحتمال الغاوسي التي لا تعتمد على اختيار الأساس المحدد بالخصائص الجوهرية، بينما تُسمى الخصائص التي تعتمد على الاختيار بالخصائص الخارجية . ^{[ 1 ]} نرمز إلى حاصل الضرب اللانهائي القابل للعد للفضاءات الحقيقية بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$.

تذكر النسخة الحديثة من نظرية كاميرون-مارتن

لنفترض فضاء متجه محدب محليًا${\displaystyle E}$بمقياس غاوسي أسطواني${\displaystyle \gamma }$عليه. لعنصر في الثنائية الطوبولوجية${\displaystyle f\in E'}$حدد المسافة إلى المتوسط

${\displaystyle t_{\gamma }(f):=f-\int _{E}f(x)\gamma (\mathrm {d} x),}$

وهي خريطة${\displaystyle t_{\gamma }\colon E'\to L^{2}(E,\gamma )}$، و تشير إلى الإغلاق في${\displaystyle L^{2}(E,\gamma )}$مثل

${\displaystyle E_{\gamma }':=\operatorname {clos} \left\{t_{\gamma }(f)\colon \ f\in E'\right\}}$

يترك${\displaystyle \gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)}$يشير إلى الترجمة بواسطة${\displaystyle m\in E}$. ثم${\displaystyle E_{\gamma }'}$على التوالي عامل التغاير${\displaystyle R_{\gamma }:E_{\gamma }'\to (E_{\gamma }')^{*}}$يؤدي ذلك إلى إنشاء فضاء هيلبرت ذي نواة قابلة للتكرار${\displaystyle R}$يُطلق عليه فضاء كاميرون-مارتن بحيث يكون لأي${\displaystyle m\in R}$يوجد تكافؤ${\displaystyle \gamma _{m}\sim \gamma }$[ ^{2 ]​}

في الواقع، يمكن للمرء هنا استخدام نظرية فيلدمان-هاجيك لإيجاد أنه بالنسبة لأي قيمة أخرى${\displaystyle h\not \in R}$سيكون هذا الإجراء فريدًا من نوعه.

يترك${\displaystyle \gamma }$ليكن المقياس الغاوسي المتعارف عليه، وذلك بنقل نظرية كاميرون-مارتن من${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} }=\otimes _{n\in \mathbb {N} }\gamma )}$في نموذج عددي${\displaystyle X}$، المجموعة المضافة من${\displaystyle {\mathcal {H}}}$سوف نحدد مجموعة شبه التشاكل الذاتي على${\displaystyle \Omega }$يمكن إجراء عملية البناء على النحو التالي: اختيار أساس متعامد في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، يترك${\displaystyle \tau _{\alpha }(x)=x+\alpha }$يشير إلى الترجمة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$بواسطة${\displaystyle \alpha }$، نرمز إلى الخريطة في فضاء كاميرون-مارتن بـ${\displaystyle j:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}}$، يدل

${\displaystyle L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=\bigcap \limits _{p<\infty }L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\quad }$و${\displaystyle \quad q:L^{\infty -0}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} })\to L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P),}$

نحصل على تمثيل قانوني للمجموعة الجمعية${\displaystyle \rho$ :{\mathcal {H}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))} يعمل على التشكلات الداخلية من خلال تعريف

${\displaystyle \rho (h)=q\circ \tau _{j(h)}\circ q^{-1}.}$

يمكن للمرء أن يثبت أن فعل${\displaystyle \rho }$هو خارجي بمعنى أنه لا يعتمد على اختيار الأساس لـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، إضافي${\displaystyle \rho (h+h')=\rho (h)\rho (h')}$ ل${\displaystyle h,h'\in {\mathcal {H}}}$وبالنسبة للمولد المتناهي الصغر لـ${\displaystyle (\rho (h))_{h}}$الذي - التي

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\rho (\varepsilon h)-I}{\varepsilon }}=M_{h}}$

أين${\displaystyle I}$هو عامل الهوية و${\displaystyle M_{h}}$يرمز إلى عامل الضرب بالمتغير العشوائي ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$(بالتأثير على التشاكلات الداخلية). في حالة فضاء هيلبرت عشوائي${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ونموذج سيغال${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$يمتلك المرء${\displaystyle j:{\mathcal {G}}\to \ell ^{2}}$(وبالتالي${\displaystyle \rho$ :{\mathcal {G}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))} . عندئذٍ، تصبح النهاية أعلاه عامل الضرب بالمتغير العشوائي${\displaystyle W(g)}$مرتبط بـ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$[ ^{3 ]​}

ل${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$و${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$والآن يتم تعريف المشتق الاتجاهي

${\displaystyle \langle DF,h\rangle =D_{h}F=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\left(\rho (\varepsilon h)-I\right)F}{\varepsilon }}.}$

بالنظر إلى فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$ونموذج سيغال${\displaystyle \operatorname {Seg} (H)}$بفضائها الغاوسي${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{W(h):h\in H\}}$يمكن للمرء الآن أن يستنتج ذلك لـ${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$صيغة التكامل بالتجزئة

${\displaystyle \mathbb {E} [D_{h}F]=\mathbb {E} [M_{W(h)}F]=\mathbb {E} [W(h)F]}$[ ^{4 ]​}

ينص مبدأ الثبات المعتاد لتكامل ليبيغ على كامل خط الأعداد الحقيقية على أنه، لأي عدد حقيقي ε ودالة قابلة للتكامل f ، يتحقق ما يلي

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)}$وبالتالي${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}$

يمكن استخدام هذا لاستنتاج صيغة التكامل بالتجزئة ، لأنه بوضع f = gh ، فإنه يستلزم

${\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}$

يمكن تطبيق فكرة مماثلة في التحليل العشوائي للتفاضل على طول اتجاه كاميرون-مارتن-جيرسانوف. في الواقع، لنفترض${\displaystyle h_{s}}$ليكن عملية قابلة للتكامل التربيعي ويمكن التنبؤ بها ومجموعة

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

لو${\displaystyle W}$إذا كانت عملية وينر ، فإن نظرية جيرسانوف تعطي النظير التالي لمبدأ الثبات:

${\displaystyle E(F(W+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(W)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dw_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}$

بإجراء الاشتقاق بالنسبة إلى ε على كلا الجانبين والتقييم عند ε=0، نحصل على صيغة التكامل بالتجزئة التالية:

${\displaystyle E(\langle DF(W),\varphi \rangle )=E{\Big [}F(W)\int _{0}^{1}h_{s}\,dw_{s}{\Big ]}.}$

هنا، يمثل الجانب الأيسر مشتق ماليافين للمتغير العشوائي${\displaystyle F}$في الاتجاه${\displaystyle \varphi }$ويجب تفسير التكامل الظاهر على الجانب الأيمن على أنه تكامل إيتو .

من أهم نتائج حساب ماليافين نظرية كلارك-أوكون ، التي تسمح بتحديد العملية في نظرية تمثيل المارتينجال بشكل صريح. وفيما يلي نسخة مبسطة من هذه النظرية:

لنفترض مقياس وينر القياسي على الفضاء الكنسي${\displaystyle C[0,1]}$، مزودة بنظام الترشيح المتعارف عليه. لـ${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$مُرضٍ${\displaystyle E(F(X)^{2})<\infty }$وهي دالة ليبشيتز، بحيث يكون لـ F نواة مشتقة قوية، بمعنى أنه بالنسبة لـ${\displaystyle \varphi }$في C [0,1]

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}$

ثم

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$

حيث H هو الإسقاط المتوقع لـ F ' ( x , ( t ,1]) والذي يمكن اعتباره مشتق الدالة F بالنسبة إلى إزاحة متوازية مناسبة للعملية X على الجزء ( t ,1] من مجالها.

يمكن التعبير عن ذلك بشكل أكثر إيجازًا من خلال

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F\mid {\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}$

يتضمن جزء كبير من العمل في التطوير الرسمي لحساب ماليافين توسيع هذه النتيجة لتشمل أكبر فئة ممكنة من الدوال F عن طريق استبدال نواة المشتقة المستخدمة أعلاه بـ " مشتقة ماليافين " المشار إليها بـ${\displaystyle D_{t}}$في البيان أعلاه للنتيجة.

يُعرَّف عامل التكامل Skorokhod ، الذي يُرمز إليه اصطلاحًا بالرمز δ، بأنه المرافق لمشتقة Malliavin في حالة الضوضاء البيضاء عندما يكون فضاء Hilbert${\displaystyle L^{2}}$الفضاء؛ وبالتالي بالنسبة لـ u في مجال المؤثر الذي هو مجموعة جزئية من${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$بالنسبة لـ F في نطاق مشتق ماليافين، نحتاج إلى

${\displaystyle E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),}$

حيث يكون الناتج الداخلي هو ذلك الموجود${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$، أي

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.}$

إن وجود هذا المرافق يتبع من نظرية تمثيل ريز للمؤثرات الخطية على فضاءات هيلبرت .

يمكن إثبات أنه إذا تم تعديل u فإن

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

حيث يُفهم التكامل بمفهوم إيتو. وبالتالي، يوفر هذا طريقة لتوسيع نطاق تكامل إيتو ليشمل الدوال غير المتوافقة.

يُتيح حساب التفاضل والتكامل التكامل بالتجزئة مع المتغيرات العشوائية ؛ وتُستخدم هذه العملية في التمويل الرياضي لحساب حساسية المشتقات المالية . ولحساب التفاضل والتكامل تطبيقات، على سبيل المثال، في الترشيح العشوائي .

• كوسوكا، إس. وستروك، د. (1981) "تطبيقات حساب ماليافين 1"، التحليل العشوائي، وقائع ندوة تانيغوتشي الدولية كاتاتا وكيوتو 1982، ص 271-306
• كوسوكا، س. وستروك، د. (1985) "تطبيقات حساب التفاضل والتكامل لماليافين II"، مجلة كلية العلوم، جامعة طوكيو، القسم 1A، الرياضيات ، 32 صفحة، 1-76
• كوسوكا، س. وستروك، د. (1987) "تطبيقات حساب التفاضل والتكامل لماليافين III"، مجلة كلية العلوم، جامعة طوكيو، القسم 1A الرياضيات ، 34 صفحة، 391-442
• ماليافين، بول وثالماير، أنطون. حساب التفاضل والتكامل العشوائي للتغيرات في التمويل الرياضي ، سبرينغر 2005، ISBN 3-540-43431-3
• نوالارت، ديفيد (2006). حساب ماليافين والمواضيع ذات الصلة (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-28328-7.
• بيل، دينيس. (2007) حساب ماليافين ، دوفر. ISBN 0-486-44994-7كتاب إلكتروني
• سانز-سوليه، مارتا (2005) حساب التفاضل والتكامل ماليافين، مع تطبيقات على المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية . مطبعة EPFL، توزيع CRC Press، مجموعة تايلور وفرانسيس.
• شيلر، أليكس (2009) حساب ماليافين لمحاكاة مونت كارلو مع تطبيقات مالية . أطروحة، قسم الرياضيات، جامعة برينستون
• أوكسندال، بيرنت ك. (1997) مقدمة في حساب التفاضل والتكامل لماليافين مع تطبيقات في الاقتصاد . ملاحظات المحاضرات، قسم الرياضيات، جامعة أوسلو (ملف مضغوط يحتوي على الرسالة وملحقها)
• دي نونو، جوليا ، أوكسندال، بيرنت، بروسك، فرانك (2009) "حساب ماليافين لعمليات ليفي مع تطبيقات في التمويل"، Universitext، سبرينغر. ISBN 978-3-540-78571-2

• اقتباسات متعلقة بحساب ماليافين على موقع ويكي الاقتباسات
• فريز، بيتر ك. (10 أبريل 2005). "مقدمة في حساب ماليافين" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 17 أبريل 2007. تاريخ الاطلاع: 23 يوليو 2007 .ملاحظات المحاضرة، 43 صفحة

• تشانغ، هـ. (11-11-2004). "حساب ماليافين" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-11-2004 .رسالة ماجستير، ١٠٠ صفحة