إحصائية كافية

على سبيل المثال، يكفي متوسط ​​العينة لحساب المتوسط ​​(المجهول) μ لتوزيع طبيعي ذي تباين معلوم. بمجرد معرفة متوسط ​​العينة، لا يمكن الحصول على أي معلومات إضافية حول μ من العينة نفسها. من ناحية أخرى، بالنسبة لأي توزيع، لا يكفي الوسيط لحساب المتوسط : فحتى لو كان وسيط العينة معروفًا، فإن معرفة العينة نفسها ستوفر معلومات إضافية حول متوسط ​​المجتمع. على سبيل المثال، إذا كانت القيم الأقل من الوسيط أقل بقليل فقط، بينما القيم الأعلى منه تتجاوزه بمقدار كبير، فإن هذا سيؤثر على استنتاجنا حول متوسط ​​المجتمع.

من نتائج هذه النظرية أنه عند استخدام الاستدلال القائم على الاحتمالية، فإن مجموعتين من البيانات تُعطيان القيمة نفسها للإحصائية الكافية T ( X ) ستؤديان دائمًا إلى الاستدلالات نفسها حول θ . وفقًا لمعيار التحليل، فإن اعتماد الاحتمالية على θ يقتصر فقط على T ( X ). ولأن هذا الاعتماد متطابق في الحالتين، فإن الاعتماد على θ سيكون متطابقًا أيضًا، مما يؤدي إلى استدلالات متطابقة.

بسبب هوغ وكريغ. ^{[ 9 ]} دع${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$لنرمز بـ إلى عينة عشوائية من توزيع له دالة كثافة احتمالية f ( x , θ ) حيث ι < θ < δ . ولتكن Y₁ = _u₁ ( X₁ _, X₂ _, ..., Xₙ ) _{إحصائية} دالة كثافة احتماليتها g₁ ( _y₁ ; θ ₎ . ما نريد إثباته هو أن Y₁ = _u₁ ( X₁ _, X₂ , _... , Xₙ ₎ إحصائية كافية لـ θ إذا وفقط إذا ، _{بالنسبة لدالة} H ما ،               

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

أولاً، لنفترض أن

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\theta \right]H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

سنقوم بإجراء التحويل yᵢ ₌ uᵢ ( x₁ _, x₂ , ... , xₙ ₎ ، حيث i = 1, ... ,  n ، والذي له دوال عكسية xᵢ = wᵢ ( y₁ , y₂ _{, ... , yₙ} ) ، حيث _i = ₁ , ... , n ، ومصفوفة جاكوبية _.                 ${\displaystyle J=\left[w_{i}/y_{j}\right]}$. هكذا،

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f\left[w_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n});\theta \right]=|J|g_{1}(y_{1};\theta )H\left[w_{1}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\right].}$

الطرف الأيسر هو دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة g ( y ₁ , y ₂ , ..., yn _; θ) لـ Y ₁ = u ₁ ( X ₁ , ..., X _n ), ..., Y _n = u _n ( X ₁ , ..., X _n ). أما في الطرف الأيمن،${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$ملف PDF الخاص بـ${\displaystyle Y_{1}}$، لهذا السبب${\displaystyle H[w_{1},\dots ,w_{n}]|J|}$هو ناتج قسمة${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )}$و${\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}$أي أنها دالة كثافة الاحتمال الشرطية${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$ل${\displaystyle Y_{2},\dots ,Y_{n}}$منح${\displaystyle Y_{1}=y_{1}}$.

لكن${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$وبالتالي${\displaystyle H\left[w_{1}(y_{1},\dots ,y_{n}),\dots ,w_{n}(y_{1},\dots ,y_{n}))\right]}$، لم يُعطَ ليعتمد عليه${\displaystyle \theta }$. منذ${\displaystyle \theta }$لم يتم إدخالها في التحويل، وبالتالي لم يتم إدخالها في جاكوبيان${\displaystyle J}$وبناءً على ذلك${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}$لا يعتمد على${\displaystyle \theta }$وذلك${\displaystyle Y_{1}}$تُعد هذه الإحصائية كافية لـ${\displaystyle \theta }$.

ويمكن إثبات العكس بأخذ:

${\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )=g_{1}(y_{1};\theta )h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1}),}$

أين${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$لا يعتمد على${\displaystyle \theta }$لأن${\displaystyle Y_{2}...Y_{n}}$الاعتماد فقط على${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$والتي هي مستقلة عن${\displaystyle \Theta }$عندما يكون مشروطًا بـ${\displaystyle Y_{1}}$، وهي إحصائية كافية حسب الفرضية. الآن، قسّم كلا الطرفين على القيمة المطلقة لمصفوفة جاكوبي غير الصفرية.${\displaystyle J}$واستبدل${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$بواسطة الوظائف${\displaystyle u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$في${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$وهذا ينتج عنه

${\displaystyle {\frac {g\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]}{|J^{*}|}}=g_{1}\left[u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n});\theta \right]{\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

أين${\displaystyle J^{*}}$هو المصفوفة اليعقوبية مع${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$يتم استبدالها بقيمتها من حيث${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$العضو الأيسر هو بالضرورة ملف PDF المشترك${\displaystyle f(x_{1};\theta )\cdots f(x_{n};\theta )}$ل${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$. منذ${\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}$وبالتالي${\displaystyle h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}$، لا يعتمد على${\displaystyle \theta }$، ثم

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}$

هي دالة لا تعتمد على${\displaystyle \theta }$.

والبرهان الأبسط والأكثر توضيحًا هو كما يلي، على الرغم من أنه ينطبق فقط في الحالة المنفصلة.

نستخدم الترميز المختصر للدلالة على دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة لـ${\displaystyle (X,T(X))}$بواسطة${\displaystyle f_{\theta }(x,t)}$. منذ${\displaystyle T}$هي دالة حتمية لـ${\displaystyle X}$لدينا${\displaystyle f_{\theta }(x,t)=f_{\theta }(x)}$طالما${\displaystyle t=T(x)}$وصفر فيما عدا ذلك. لذلك:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x)&=f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=f_{\theta }(x\mid t)f_{\theta }(t)\\[5pt]&=f(x\mid t)f_{\theta }(t)\end{aligned}}}$

وتكون المساواة الأخيرة صحيحة بحسب تعريف الإحصاءات الكافية.${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$مع${\displaystyle a(x)=f_{X\mid t}(x)}$و${\displaystyle b_{\theta }(t)=f_{\theta }(t)}$.

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(t)&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x,t)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x)\\[5pt]&=\sum _{x:T(x)=t}a(x)b_{\theta }(t)\\[5pt]&=\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t).\end{aligned}}}$

مع المساواة الأولى بحسب تعريف دالة كثافة الاحتمال لمتغيرات متعددة ، والثانية بحسب الملاحظة أعلاه، والثالثة بحسب الفرضية، والرابعة لأن المجموع لم ينتهِ${\displaystyle t}$.

يترك${\displaystyle f_{X\mid t}(x)}$يرمز إلى كثافة الاحتمال الشرطي لـ${\displaystyle X}$منح${\displaystyle T(X)}$ثم يمكننا اشتقاق تعبير صريح لهذا:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X\mid t}(x)&={\frac {f_{\theta }(x,t)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)b_{\theta }(t)}{\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t)}}\\[5pt]&={\frac {a(x)}{\sum _{x:T(x)=t}a(x)}}.\end{aligned}}}$

مع المساواة الأولى بحسب تعريف كثافة الاحتمال الشرطي، والثانية بحسب الملاحظة أعلاه، والثالثة بحسب المساواة التي تم إثباتها أعلاه، والرابعة بالتبسيط. هذا التعبير لا يعتمد على${\displaystyle \theta }$وبالتالي${\displaystyle T}$إحصائية كافية. ^{[ 10 ]}

If X₁, ...., X_n are independent Bernoulli-distributed random variables with expected value p, then the sum T(X) = X₁ + ... + X_n is a sufficient statistic for p (here 'success' corresponds to X_i = 1 and 'failure' to X_i = 0; so T is the total number of successes)

This is seen by considering the joint probability distribution:

${\displaystyle \Pr\{X=x\}=\Pr\{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\}.}$

Because the observations are independent, this can be written as

${\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}}$

and, collecting powers of p and 1 − p, gives

${\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}}$

which satisfies the factorization criterion, with h(x) = 1 being just a constant.

Note the crucial feature: the unknown parameter p interacts with the data x only via the statistic T(x) = Σ x_i.

As a concrete application, this gives a procedure for distinguishing a fair coin from a biased coin.

If X₁, ...., X_n are independent and uniformly distributed on the interval [0,θ], then T(X) = max(X₁, ..., X_n) is sufficient for θ — the sample maximum is a sufficient statistic for the population maximum.

To see this, consider the joint probability density function of X  (X₁,...,X_n). Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x_{1},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{1}\leq \theta \}}\cdots {\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{n}\leq \theta \}}\\[5pt]&={\frac {1}{\theta ^{n}}}\mathbf {1} _{\{0\leq \min\{x_{i}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{x_{i}\}\leq \theta \}}\end{aligned}}}$

حيث 1 _{{ ... }} هي دالة المؤشر . وبالتالي، تأخذ الكثافة الشكل المطلوب بموجب نظرية تحليل فيشر-نيمان، حيث h ( x )  = 1 _{{min{ x i }≥0}} ، وبقية التعبير هي دالة لـ θ فقط و T ( x ) = max{ x _i }.   

في الواقع، فإنّ مُقدِّر التباين الأدنى غير المتحيز (MVUE) لـ θ هو

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}T(X).}$

هذه هي القيمة القصوى للعينة، مُقاسة لتصحيح الانحياز ، وهي تقدير الاحتمال الأقصى غير المتحيز وفقًا لنظرية ليمان-شيفيه . القيمة القصوى للعينة غير المُقاسة T ( X ) هي مُقدِّر الاحتمال الأقصى لـ θ .

لو${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$مستقلة وموزعة بانتظام على الفترة${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$(أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$إذا كانت المعلمات غير معروفة، فـ${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$هي إحصائية كافية ثنائية الأبعاد لـ${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$.

ولتوضيح ذلك، انظر إلى دالة كثافة الاحتمال المشتركة لـ${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$بما أن المشاهدات مستقلة، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال كحاصل ضرب الكثافات الفردية، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \beta -\alpha }\right)\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta \}}=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta ,\,\forall \,i=1,\ldots ,n\}}\\&=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

تأخذ الكثافة المشتركة للعينة الشكل المطلوب بموجب نظرية تحليل فيشر-نيمان، وذلك بوضع

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\quad g_{(\alpha ,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$لا يعتمد على المعلمة${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$و${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$يعتمد فقط على${\displaystyle x_{1}^{n}}$من خلال الوظيفة${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right),}$

تنص نظرية فيشر-نيمان للتحليل إلى عوامل على${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}$إحصائية كافية لـ${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$.

إذا كانت X ₁ ،  .... ، X _n مستقلة ولها توزيع بواسون مع المعلمة λ ، فإن المجموع T ( X ) = X ₁ + ... + X _n هو إحصائية كافية لـ λ .       

ولتوضيح ذلك، انظر إلى توزيع الاحتمال المشترك:

${\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).}$

بما أن الملاحظات مستقلة، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي

${\displaystyle {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{1}} \over x_{1}!}\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{2}} \over x_{2}!}\cdots {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{n}} \over x_{n}!}}$

والتي يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle e^{-n\lambda }\lambda ^{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}}$

وهذا يدل على أن معيار التحليل إلى عوامل مُحقق، حيث h ( x ) هو مقلوب حاصل ضرب المضروبات. لاحظ أن المعامل λ يتفاعل مع البيانات فقط من خلال مجموعه T ( X ).

لو${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$مستقلة وموزعة توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة${\displaystyle \theta }$(معامل) وتباين محدود معروف${\displaystyle \sigma ^{2},}$ثم

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

إحصائية كافية لـ${\displaystyle \theta .}$

ولتوضيح ذلك، انظر إلى دالة كثافة الاحتمال المشتركة لـ${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$بما أن المشاهدات مستقلة، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال كحاصل ضرب الكثافات الفردية، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)-\left(\theta -{\overline {x}}\right)\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(\theta -{\overline {x}})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})\right)\right)\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+n(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\right)&&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})=0\\[6pt]&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

تأخذ الكثافة المشتركة للعينة الشكل المطلوب بموجب نظرية تحليل فيشر-نيمان، وذلك بوضع

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\\[6pt]g_{\theta }(x_{1}^{n})&=\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$لا يعتمد على المعلمة${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$يعتمد فقط على${\displaystyle x_{1}^{n}}$من خلال الوظيفة

${\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$

تنص نظرية فيشر-نيمان للتحليل إلى عوامل على${\displaystyle T(X_{1}^{n})}$إحصائية كافية لـ${\displaystyle \theta }$.

لو${\displaystyle \sigma ^{2}}$غير معروف، وبما أن${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}$يمكن إعادة كتابة الاحتمالية المذكورة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})=(2\pi \sigma ^{2})^{-n/2}\exp \left(-{\frac {n-1}{2\sigma ^{2}}}s^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right).\end{aligned}}}$

لا تزال نظرية فيشر-نيمان للتحليل إلى عوامل قائمة، وهذا يعني أن${\displaystyle ({\overline {x}},s^{2})}$هي إحصائية كافية مشتركة لـ${\displaystyle (\theta ,\sigma ^{2})}$.

لو${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$إذا كانت المتغيرات مستقلة وموزعة أُسّيًا بقيمة متوقعة θ (معامل حقيقي موجب غير معروف)، فإن${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$تُعد إحصائية كافية لـ θ.

ولتوضيح ذلك، انظر إلى دالة كثافة الاحتمال المشتركة لـ${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$بما أن المشاهدات مستقلة، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال كحاصل ضرب الكثافات الفردية، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{1 \over \theta }\,e^{{-1 \over \theta }x_{i}}={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

تأخذ الكثافة المشتركة للعينة الشكل المطلوب بموجب نظرية تحليل فيشر-نيمان، وذلك بوضع

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{\theta }(x_{1}^{n})={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$لا يعتمد على المعلمة${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}$يعتمد فقط على${\displaystyle x_{1}^{n}}$من خلال الوظيفة${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

تنص نظرية فيشر-نيمان للتحليل إلى عوامل على${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$إحصائية كافية لـ${\displaystyle \theta }$.

لو${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$مستقلة وموزعة كـ${\displaystyle \Gamma (\alpha \,,\,\beta )}$، أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$إذا كانت معلمات غير معروفة لتوزيع جاما ، فإن${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$هي إحصائية كافية ثنائية الأبعاد لـ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

ولتوضيح ذلك، انظر إلى دالة كثافة الاحتمال المشتركة لـ${\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$بما أن المشاهدات مستقلة، يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال كحاصل ضرب الكثافات الفردية، أي

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)x_{i}^{\alpha -1}e^{(-1/\beta )x_{i}}\\[5pt]&=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

تأخذ الكثافة المشتركة للعينة الشكل المطلوب بموجب نظرية تحليل فيشر-نيمان، وذلك بوضع

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle h(x_{1}^{n})}$لا يعتمد على المعلمة${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}$و${\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}$يعتمد فقط على${\displaystyle x_{1}^{n}}$من خلال الوظيفة${\displaystyle T(x_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i},\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

تنص نظرية فيشر-نيمان للتحليل إلى عوامل على${\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$إحصائية كافية لـ${\displaystyle (\alpha \,,\,\beta ).}$

تتضمن صياغة بديلة لشرط كفاية الإحصائية، في سياق بايزي، التوزيعات الاحتمالية اللاحقة التي تم الحصول عليها باستخدام مجموعة البيانات الكاملة وباستخدام إحصائية واحدة فقط. وبالتالي، فإن الشرط هو أنه بالنسبة لكل قيمة x تقريبًا ،

${\displaystyle \Pr(\theta \mid X=x)=\Pr(\theta \mid T(X)=t(x)).}$

وبشكل أعم، ودون افتراض نموذج بارامتري، يمكننا القول إن الإحصائية T كافية للتنبؤ إذا

${\displaystyle \Pr(X'=x'\mid X=x)=\Pr(X'=x'\mid T(X)=t(x)).}$

اتضح أن "الكفاية البايزية" هذه هي نتيجة للصياغة المذكورة أعلاه، ^{[ 16 ]} إلا أنهما ليستا متكافئتين تمامًا في حالة الأبعاد اللانهائية. ^{[ 17 ]} وتتوفر مجموعة من النتائج النظرية المتعلقة بالكفاية في سياق بايزي. ^{[ 18 ]}

يمكن صياغة مفهوم يُسمى "الكفاية الخطية" في سياق بايزي، ^{[ 19 ]} وبشكل أعم. ^{[ 20 ]} أولًا، نُعرّف أفضل مُتنبئ خطي للمتجه Y بناءً على X على النحو التالي:${\displaystyle {\hat {E}}[Y\mid X]}$إذن، تكون الإحصائية الخطية T ( x ) كافية خطيًا ^{[ 21 ]} إذا

${\displaystyle {\hat {E}}[\theta \mid X]={\hat {E}}[\theta \mid T(X)].}$