المجموعة الفائقة (الفيزياء)

يُعد مفهوم الزمرة الفائقة تعميمًا لمفهوم الزمرة . بعبارة أخرى، تحمل كل زمرة فائقة بنية زمر طبيعية، ولكن قد توجد أكثر من طريقة لهيكلة زمرة معينة كزمرة فائقة. تشبه الزمرة الفائقة زمرة لي في وجود مفهوم محدد جيدًا للدالة الملساء المعرفة عليها. مع ذلك، قد تحتوي هذه الدوال على أجزاء زوجية وفردية. علاوة على ذلك، تمتلك الزمرة الفائقة جبر لي فائقًا يؤدي دورًا مشابهًا لدور جبر لي في زمر لي، حيث يُحدد معظم نظرية التمثيل، ويُعد نقطة انطلاق للتصنيف.

بصورة أكثر رسمية، فإن الزمرة الفائقة لي هي فضاء فائق G بالإضافة إلى تشاكل الضرب${\displaystyle \mu :G\times G\rightarrow G}$، تشاكل انعكاسي${\displaystyle i:G\rightarrow G}$ووحدة تشاكل${\displaystyle e:1\rightarrow G}$مما يجعل G كائنًا زمريًا في فئة الفضاءات الفائقة. وهذا يعني أنه عند صياغتها كمخططات تبديلية، تظل بديهيات التجميع والانعكاس المعتادة للزمرة سارية. وبما أن كل فضاء متعدد الشعب هو فضاء فائق، فإن زمرة لي الفائقة تعمم مفهوم زمرة لي .

توجد العديد من الزمر الفائقة الممكنة. وأكثرها أهمية في الفيزياء النظرية هي تلك التي تُوسّع زمرة بوانكاريه أو الزمرة المطابقة . ومن بينها الزمر المتعامدة المتماثلة Osp( M | N ) ^{[ 1 ]} والزمر فوق الوحدوية SU( M | N ).

يبدأ منهج جبري مكافئ من ملاحظة أن الفضاء الفائق يُحدد بحلقة الدوال الملساء فائقة التبادلية ، وأن تشاكل الفضاءات الفائقة يقابل تشاكلًا جبريًا بين دوالها في الاتجاه المعاكس، أي أن فئة الفضاءات الفائقة معاكسة لفئة جبر الدوال الملساء المتدرجة التبادلية. وبعكس جميع الأسهم في المخططات التبادلية التي تُعرّف زمرة لي الفائقة، يتضح أن الدوال فوق هذه الزمرة الفائقة لها بنية جبر هوبف متدرج من Z² . وبالمثل _، فإن تمثيلات جبر هوبف هذا هي وحدات مشتركة متدرجة من Z² _. ويُعطي جبر هوبف هذا الخصائص العامة للزمرة الفائقة.

يوجد جبر هوبف آخر ذو صلة، وهو جبر هوبف المزدوج للجبر السابق. يمكن تعريفه بجبر هوبف للمؤثرات التفاضلية المتدرجة عند نقطة الأصل. وهو لا يُعطي سوى الخصائص المحلية للتناظرات، أي أنه يُعطي معلومات فقط عن تحويلات التناظر الفائق المتناهية الصغر. تمثيلات جبر هوبف هذا هي وحدات نمطية . وكما هو الحال في الحالة غير المتدرجة، يمكن وصف جبر هوبف هذا جبريًا بحتًا بأنه الجبر الشامل المُغلف لجبر لي الفائق .

وبالمثل، يمكن تعريف الزمرة الجبرية الفائقة الأفينية ككائن زمرة في فئة الأصناف الأفينية الجبرية الفائقة . وترتبط الزمرة الجبرية الفائقة الأفينية بعلاقة تناظرية مع جبر هوبف الخاص بها من كثيرات الحدود الفائقة. وباستخدام لغة المخططات ، التي تجمع بين المنظورين الهندسي والجبري، يمكن تعريف مخططات الزمر الجبرية الفائقة، بما في ذلك الأصناف الأبيلية الفائقة .

مجموعة سوبر-بوانكاريه هي مجموعة التماثلات في الفضاء الفائق (وتحديدًا، فضاء مينكوفسكي الفائق مع${\displaystyle {\mathcal {N}}}$الشحن الفائق ، حيث غالباً ما${\displaystyle {\mathcal {N}}}$(يعتبر 1). يتم التعامل معه في أغلب الأحيان على مستوى الجبر، ويتم توليده بواسطة جبر سوبر بوانكاريه .

المجموعة الفائقة المطابقة هي مجموعة التناظرات المطابقة للفضاء الفائق، والتي يتم توليدها بواسطة الجبر الفائق المطابق.

• مجموعة فائقة في مختبر nLab