كائن المجموعة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ كائنات الزمر تعميمات معينة للزمر مبنية على هياكل أكثر تعقيدًا من المجموعات . ومن الأمثلة النموذجية على كائنات الزمر الزمرة الطوبولوجية ، وهي زمرة تكون مجموعتها الأساسية فضاءً طوبولوجيًا بحيث تكون عمليات الزمرة متصلة .

بصورة رسمية، نبدأ بفئة C ذات جداءات منتهية (أي أن C لها عنصر نهائي 1، وأي عنصرين من C لهما جداء ). عنصر المجموعة في C هو عنصر G من C بالإضافة إلى التشكلات.

• m  : G × G → G (يُعتبر بمثابة "ضرب المجموعة")
• e  : 1 → G (يُعتبر بمثابة "إدراج عنصر الهوية")
• inv  : G → G (يُعتبر "عملية الانعكاس")

بحيث تتحقق الخصائص التالية (المُصممة على غرار بديهيات المجموعة - وبشكل أدق، على تعريف المجموعة المستخدم في الجبر الشامل ).

• m ترابطية، أي m ( m × id _G ) = m (id _G × m ) كتشاكلات G × G × G → G ، وحيث على سبيل المثال m × id _G  : G × G × G → G × G ؛ هنا نحدد G × ( G × G ) بطريقة قانونية مع ( G × G ) × G .
• e هي وحدة ثنائية الجانب من m ، أي m (id _G × e ) = p ₁ ، حيث p ₁  : G × 1 → G هو الإسقاط المتعارف عليه، و m ( e × id _G ) = p ₂ ، حيث p ₂  : 1 × G → G هو الإسقاط المتعارف عليه.
• inv هو معكوس ثنائي الجانب لـ m ، أي إذا كان d  : G → G × G هو الخريطة القطرية ، و e _G  : G → G هو تركيب التشكل الفريد G → 1 (يسمى أيضًا الوحدة المشتركة) مع e ، فإن m (id _G × inv ) d = e _G و m ( inv × id _G ) d = e _G .

لاحظ أن هذا مذكور من حيث الخرائط - يجب أن يكون المنتج والمعكوس خرائط في الفئة - وبدون أي إشارة إلى "العناصر" الأساسية لكائن المجموعة - الفئات بشكل عام ليس لها عناصر من كائناتها.

هناك طريقة أخرى لصياغة ما سبق وهي القول بأن G هو كائن مجموعة في فئة C إذا كان لكل كائن X في C ، يوجد هيكل مجموعة على التشكلات Hom( X , G ) من X إلى G بحيث يكون ارتباط X بـ Hom( X , G ) دالة (متغيرة عكسيًا) من C إلى فئة المجموعات .

وهناك طريقة أخرى لذكر ما سبق وهي تعريف كائن المجموعة على أنه كائن أحادي في الفئة الأحادية الديكارتية (أي الفئة الأحادية حيث يكون الناتج × والوحدة هي الكائن النهائي 1)، بالإضافة إلى تشاكل عكسي يحقق الشروط المذكورة أعلاه.

• يمكن اعتبار كل مجموعة G التي يمكن تعريف بنية زمرة لها ( G , m , u , ^{-1 ) كائن زمرة في فئة} المجموعات . الدالة m هي عملية الزمرة، والدالة e (التي مجالها مجموعة أحادية ) تُحدد العنصر المحايد u في G ، والدالة inv تُسند إلى كل عنصر من عناصر الزمرة معكوسه. الدالة _eG  : G → G هي الدالة التي تُحول كل عنصر من G إلى العنصر المحايد.
• المجموعة الطوبولوجية هي كائن مجموعة في فئة الفضاءات الطوبولوجية ذات الدوال المتصلة .
• مجموعة لي هي كائن مجموعة في فئة المشعبات الملساء ذات الخرائط الملساء .
• الزمرة الفائقة لي هي كائن زمرة في فئة المتشعبات الفائقة .
• الزمرة الجبرية هي كائن زمر في فئة المتنوعات الجبرية . في الهندسة الجبرية الحديثة ، يُنظر إلى مخططات الزمر الأكثر عمومية ، وهي كائنات زمر في فئة المخططات .
• المجموعة المحلية هي كائن مجموعة في فئة المواقع المحلية .
• الكائنات الزمرية في فئة الزمر (أو المونويدات ) هي الزمر الأبيلية . والسبب في ذلك هو أنه إذا افترضنا أن inv تشاكل، فإن G يجب أن تكون أبيلية. بتعبير أدق: إذا كانت A زمرة أبيلية، ورمزنا بـ m إلى ضرب الزمرة A ، و e إلى تضمين العنصر المحايد، و inv إلى عملية الانعكاس على A ، فإن ( A , m , e , inv ) كائن زمرة في فئة الزمر (أو المونويدات). وعلى العكس، إذا كان ( A , m , e , inv ) كائن زمرة في إحدى هذه الفئات، فإن m بالضرورة تتطابق مع العملية المعطاة على A ، و e هي تضمين العنصر المحايد المعطى على A ، و inv هي عملية الانعكاس، و A مع العملية المعطاة هي زمرة أبيلية. انظر أيضًا حجة إيكمان-هيلتون .
• المجموعة الثنائية الصارمة هي كائن المجموعة في فئة الفئات الصغيرة .
• بالنظر إلى فئة C ذات نواتج مشتركة منتهية ، فإن كائن الزمرة المشتركة هو كائن G من C بالإضافة إلى "عملية ضرب مشتركة" m : G → G${\displaystyle \oplus }$G، و"عنصر تطابق" e : G → 0، و"عنصر انعكاس" inv : G → G يحققان النسختين الثنائيتين من بديهيات كائنات الزمر. هنا، 0 هو الكائن الأولي لـ C. تظهر كائنات الزمر المطابقة بشكل طبيعي في الطوبولوجيا الجبرية .

• يمكن اعتبار جبر هوبف بمثابة تعميم لأشياء المجموعة إلى الفئات المونيدية .
• كائن المجموعة
• الفئة الداخلية

• أوودي، ستيف (2010)، نظرية الفئات ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 9780199587360
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001