استبدال نصف الزاوية المماسية

باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة${\displaystyle \sin x=2\sin {\tfrac {x}{2}}\cos {\tfrac {x}{2}}}$و${\displaystyle \cos x=\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}$وبإدخال مقامات تساوي واحدًا باستخدام متطابقة فيثاغورس${\displaystyle 1=\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}$النتائج في

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

وأخيراً، بما أن${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$، تشير قواعد التمايز إلى

$${\displaystyle dt={\tfrac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {1+t^{2}}{2}}\,dx,}$$ وبالتالي $${\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\tfrac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}$$

يمكننا تأكيد النتيجة المذكورة أعلاه باستخدام طريقة قياسية لحساب تكامل قاطع التمام عن طريق ضرب البسط والمقام في${\textstyle \csc x-\cot x}$وإجراء الاستبدال${\textstyle u=\csc x-\cot x,}$${\textstyle du=\left(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x\right)\,dx}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {\left(\csc ^{2}x-\csc x\cot x\right)\,dx}{\csc x-\cot x}}\qquad u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}\\[6pt]&=\ln |u|+C\\[6pt]&=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C.\end{aligned}}}$$

هاتان الإجابتان متطابقتان لأن${\textstyle \csc x-\cot x=\tan {\tfrac {x}{2}}\colon }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x-\cot x&={\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\\[6pt]&={\frac {1+t^{2}}{2t}}-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac {1+t^{2}}{2t}}\qquad \qquad t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&={\frac {2t^{2}}{2t}}=t\\[6pt]&=\tan {\tfrac {x}{2}}\end{aligned}}}$$

يمكن حساب التكامل القاطع بطريقة مماثلة.

نريد حساب التكامل:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}}$

تعتمد الطريقة البسيطة على تقسيم الفترة وتطبيق الاستبدال${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}$ومع ذلك، فإن هذا الاستبدال له نقطة تفرد عند${\displaystyle x=\pi }$وهذا يتوافق مع خط تقارب رأسي. لذلك، يجب تقسيم التكامل عند تلك النقطة والتعامل معه بحذر:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\qquad {\text{where }}t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}\qquad {\text{where }}t=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}$ ملاحظة: الاستبدال${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}$خرائط${\displaystyle x\in (0,\pi )}$ل${\displaystyle t\in (0,\infty )}$و${\displaystyle x\in (\pi ,2\pi )}$ل${\displaystyle t\in (-\infty ,0)}$النقطة${\displaystyle x=\pi }$يتوافق مع خط تقارب رأسي في${\displaystyle t}$لذلك يتم تقييم التكامل كقيمة حدية حول هذه النقطة.

أو بدلاً من ذلك، يمكننا حساب التكامل غير المحدد أولاً:

${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}}$

يُحسب هذا التكامل بقيمة arctan(u) بعد حل المعادلة لإيجاد قيمة u باستخدام u=tan(z) كتعويض، ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة t، مما يعطينا

${\displaystyle \int {\frac {dx}{2+\cos x}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\frac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)+C}$

استخدام التناظر:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=2\lim _{b\to \pi ^{-}}\left[{\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\frac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)\right]_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}$ وبالتالي، فإن قيمة التكامل المحدد هي:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2\,dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan \left({\frac {(c-a)\tan {\tfrac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\right)+C\end{aligned}}}$$ لو${\textstyle c^{2}-(a^{2}+b^{2})>0.}$