حاصل الضرب الموتري للجبر

في الرياضيات ، يُعدّ حاصل الضرب الموتري لجبريين على حلقة تبديلية R جبرًا على R أيضًا . وهذا يُعطي حاصل الضرب الموتري للجبريين . عندما تكون الحلقة حقلًا ، فإنّ التطبيق الأكثر شيوعًا لمثل هذه الضربات هو وصف حاصل ضرب تمثيلات الجبر .

ليكن R حلقة تبديلية، وليكن A و B جبرين على R. بما أن A و B يمكن اعتبارهما وحدات نمطية على R ، فإن حاصل ضربهما الموتري

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

وهو أيضًا وحدة نمطية R. يمكن إعطاء حاصل الضرب الموتري بنية حلقة بتعريف الضرب على عناصر من الشكل a ⊗ b بواسطة ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

ثم يتم التمديد بالخطية إلى جميع عناصر A ⊗ _R B. هذه الحلقة هي جبر R ، تجميعية ومحايدة، وعنصرها المحايد هو 1 _A ⊗ 1 _B ، ^{[ 3 ]} حيث 1 _A و1 _B هما العنصران المحايدان لـ A و B على التوالي . إذا كانت A و B تبديليتين ، فإن حاصل الضرب الموتري يكون تبديليًا أيضًا.

يحوّل حاصل الضرب الموتري فئة الجبر R إلى فئة أحادية متناظرة .

توجد تماثلات طبيعية من A و B إلى A ⊗ _R B معطاة بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

تجعل هذه التطبيقات الضرب الموتري هو الضرب المرافق في فئة الجبر التبادلي R. لا يُعد الضرب الموتري هو الضرب المرافق في فئة جميع الجبر R ؛ حيث يُعطى الضرب المرافق بضرب حر أكثر عمومية للجبر . مع ذلك، يمكن وصف الضرب الموتري للجبر غير التبادلي بخاصية عامة مشابهة لخاصية الضرب المرافق.

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

حيث يرمز [-,  -] إلى المُبدِّل . ويُعطى التشاكل الطبيعي بتحديد التشكل.${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$على الجانب الأيسر مع زوج من التشكلات${\displaystyle (f,g)}$على الجانب الأيمن حيث${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$وبالمثل${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$.

يُستخدم حاصل الضرب الموتري للجبر التبادلي بشكل متكرر في الهندسة الجبرية . بالنسبة للمخططات الأفينية X و Y و Z مع وجود تشاكلات من X و Z إلى Y ، بحيث X = Spec( A ) و Y = Spec( R ) و Z = Spec( B ) لبعض الحلقات التبادلية A و R و B ، فإن مخطط حاصل الضرب الليفي هو المخطط الأفيني المقابل لحاصل الضرب الموتري للجبر:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}$

وبشكل عام، يتم تعريف ناتج الألياف للمخططات عن طريق لصق نواتج الألياف الأفينية من هذا الشكل معًا.

• يمكن استخدام حاصل الضرب الموتري كوسيلة لحساب تقاطع مخططين فرعيين في مخطط ما : لنأخذ على سبيل المثال${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$الجبر${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$،${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$إذن، يكون حاصل ضربهما الموتري هو${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$، والتي تصف تقاطع المنحنيات الجبرية f = 0 و g = 0 في المستوى الأفيني فوق C.
• وبشكل أعم، إذا${\displaystyle A}$هي حلقة تبديلية و${\displaystyle I,J\subseteq A}$إذا كانت مُثُلاً عليا ،${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$، مع تماثل فريد يرسل${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ل${\displaystyle ab+I+J}$.
• يمكن استخدام حاصل الضرب الموتري كوسيلة لتغيير المعاملات . على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$و${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$.
• يمكن أيضًا استخدام الضرب الموتري لحساب نواتج المخططات الأفينية على حقل. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$متماثل مع الجبر${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$وهو ما يتوافق مع سطح أفيني في${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$إذا لم تكن قيمتا f و g صفراً.
• منح${\displaystyle R}$الجبر${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$والتي تكون حلقاتها الأساسية حلقات تبديلية متدرجة ، فإن حاصل الضرب الموتري${\displaystyle A\otimes _{R}B}$تتحول إلى حلقة تبديلية متدرجة بتعريف${\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}$للتجانس${\displaystyle a}$،${\displaystyle a'}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle b'}$.
• حاصل الضرب الموتري لجبرين مصفوفيين هو${\displaystyle M_{m}(A)\otimes _{A}M_{n}(A)\cong M_{mn}(A)}$، وهو التشاكل الذي يتم الحصول عليه من خلال توسيع حاصل ضرب كرونكر لمصفوفتين عبر الخاصية الشاملة.

• امتداد الكميات القياسية
• حاصل ضرب الموترات للوحدات
• حاصل الضرب الموتري للحقول
• منفصل خطيًا
• التعلم متعدد الخطوط للفضاء الفرعي

• كاسل، كريستيان (1995)، المجموعات الكمومية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  155، سبرينغر، ISBN 978-0-387-94370-1.
• لانغ، سيرج (2002) [نُشر لأول مرة عام 1993]. الجبر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  21. سبرينغر. ISBN 0-387-95385-X.