منتج ثانوي

في نظرية الفئات ، يُعدّ الضرب المشترك ، أو المجموع الفئوي ، بناءً يشمل، على سبيل المثال، الاتحاد المنفصل للمجموعات والفضاءات الطوبولوجية ، والضرب الحر للمجموعات ، والمجموع المباشر للوحدات والفضاءات المتجهة . ويُعرّف الضرب المشترك لمجموعة من الكائنات بأنه الكائن "الأقل تحديدًا" الذي يقبل كل كائن في المجموعة تشاكلًا معه . وهو المفهوم الثنائي في نظرية الفئات للضرب الفئوي ، أي أن تعريفه هو نفسه تعريف الضرب ولكن مع عكس جميع الأسهم . وعلى الرغم من هذا التغيير الذي يبدو غير ضار في الاسم والرمز، فإن الضرب المشترك قد يختلف، بل ويختلف عادةً، اختلافًا جذريًا عن الضرب داخل فئة معينة.

يترك${\displaystyle C}$كن فئة ودع${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$أن تكون موضوعات${\displaystyle C.}$يُطلق على هذا الكائن اسم الناتج المشترك لـ${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2},}$مكتوب${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$أو${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$أو أحيانًا ببساطة${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$إذا وُجدت تشاكلات${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$و${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$الذي يحقق الخاصية العامة التالية : لأي كائن${\displaystyle Y}$وأي تحويلات${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$و${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$بحيث${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$و${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$أي أن المخطط التالي يتبادل :

السهم الفريد${\displaystyle f}$يمكن الإشارة إلى جعل هذا الرسم التخطيطي قابلاً للتنقل.${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$أو${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$التشكلات${\displaystyle i_{1}}$و${\displaystyle i_{2}}$تُسمى هذه الحقن بالحقن المتعارف عليها ، على الرغم من أنها لا يشترط أن تكون حقنًا أو حتى أحادية . وتُعرف أيضًا بالإسقاطات المشتركة .

يمكن توسيع تعريف المنتج المشترك ليشمل أي عائلة من الكائنات المفهرسة بواسطة مجموعة${\displaystyle J.}$نتاج الأسرة${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$هو كائن${\displaystyle X}$بالإضافة إلى مجموعة من التشكلات${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$بحيث يكون ذلك لأي جسم${\displaystyle Y}$وأي مجموعة من التشكلات${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle f:X\to Y}$بحيث${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$أي أن المخطط التالي يتبادل لكل${\displaystyle j\in J}$:

المنتج الثانوي${\displaystyle X}$من العائلة${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$أو${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

أحيانًا يكون التشكل${\displaystyle f:X\to Y}$قد يُشار إليه بـ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$للدلالة على اعتمادها على الفرد${\displaystyle f_{j}}$س.

الضرب المشترك في فئة المجموعات هو ببساطة الاتحاد المنفصل ، حيث تمثل التطبيقات i و _j تطبيقات التضمين . على عكس الضرب المباشر ، لا تستند جميع الضربات المشتركة في الفئات الأخرى بشكل واضح إلى مفهوم الضرب المشترك في فئة المجموعات، لأن الاتحادات لا تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بعمليات الحفاظ على العناصر (على سبيل المثال، اتحاد مجموعتين لا يشترط أن يكون مجموعة)، وبالتالي قد تختلف الضربات المشتركة في الفئات المختلفة اختلافًا كبيرًا. على سبيل المثال، الضرب المشترك في فئة المجموعات ، والذي يُسمى الضرب الحر ، معقد للغاية. من ناحية أخرى، في فئة المجموعات الأبيلية (وكذلك في الفضاءات المتجهة )، يتكون الضرب المشترك، والذي يُسمى المجموع المباشر ، من عناصر الضرب المباشر التي تحتوي على عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية. (لذلك، يتطابق تمامًا مع الضرب المباشر في حالة وجود عدد محدود من العوامل).

بالنظر إلى حلقة تبديلية R ، فإن الضرب المشترك في فئة جبر R التبديلية هو الضرب الموتري . أما في فئة جبر R (غير التبديلية) ، فإن الضرب المشترك هو خارج قسمة الجبر الموتري (انظر الضرب الحر للجبر الترابطي ).

في حالة الفضاءات الطوبولوجية ، تُعدّ الضربات المشتركة اتحادات منفصلة مع طوبولوجيات الاتحاد المنفصلة الخاصة بها . أي أنها اتحاد منفصل للمجموعات الأساسية، والمجموعات المفتوحة هي مجموعات مفتوحة في كل فضاء ، بمعنى واضح. في فئة الفضاءات المدببة ، وهي فئة أساسية في نظرية التماثل ، يكون الضرب المشترك هو مجموع إسفيني (وهو ما يُعادل ضم مجموعة من الفضاءات ذات نقاط أساسية عند نقطة أساسية مشتركة).

يكمن مفهوم الاتحاد المنفصل ضمنيًا في الأمثلة السابقة: فالمجموع المباشر للمجموعات الأبيلية هو المجموعة المولدة من الاتحاد المنفصل "شبه المنفصل" (الاتحاد المنفصل لجميع العناصر غير الصفرية، بالإضافة إلى صفر مشترك)، وينطبق الأمر نفسه على الفضاءات المتجهة: الفضاء المولد من الاتحاد المنفصل "شبه المنفصل"؛ أما الضرب الحر للمجموعات فيتولد من مجموعة جميع الحروف من اتحاد "شبه منفصل" مماثل حيث لا يُسمح لعنصرين من مجموعتين مختلفتين بالتبديل. وينطبق هذا النمط على أي تنوع في الجبر الشامل .

الناتج المشترك في فئة فضاءات باناخ ذات التطبيقات القصيرة هو مجموع l ¹ ، والذي لا يمكن تصوره بسهولة على أنه مجموع "شبه منفصل"، ولكنه يمتلك كرة وحدة مولدة بشكل شبه منفصل بواسطة كرة الوحدة، وهي العوامل المرافقة. ^{[ 1 ]}

الناتج المشترك لفئة المجموعة الجزئية المرتبة هو عملية الربط .

إن بناء المنتج المشترك المذكور أعلاه هو في الواقع حالة خاصة من النهاية المشتركة في نظرية الفئات. المنتج المشترك في فئة${\displaystyle C}$يمكن تعريفها بأنها النهاية المشتركة لأي دالة من فئة منفصلة${\displaystyle J}$داخل${\displaystyle C}$ليس كل عائلة${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$سيكون له منتج ثانوي بشكل عام، ولكن إذا كان له منتج ثانوي، فسيكون هذا المنتج الثانوي فريدًا بمعنى قوي: إذا${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$و${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$هما نتاجان ثانويان للعائلة${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$إذن (بحسب تعريف المنتجات المشتركة) يوجد تماثل وحيد${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$بحيث${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$لكل${\displaystyle j\in J}$.

كما هو الحال مع أي خاصية شاملة ، يمكن فهم الضرب المشترك على أنه تشاكل شامل. ليكن${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ليكن المؤثر القطري الذي يُسند إلى كل كائن${\displaystyle X}$الزوج المطلوب${\displaystyle \left(X,X\right)}$ولكل شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$الزوجان${\displaystyle \left(f,f\right)}$ثم المنتج الثانوي${\displaystyle X+Y}$في${\displaystyle C}$يُعطى بواسطة تشاكل شامل للدالة${\displaystyle \Delta }$من الكائن${\displaystyle \left(X,Y\right)}$في${\displaystyle C\times C}$.

إنّ الضرب المشترك المفهرس بالمجموعة الفارغة (أي الضرب المشترك الفارغ ) هو نفسه الكائن الأولي في${\displaystyle C}$.

لو${\displaystyle J}$هي مجموعة بحيث تكون جميع المنتجات المشتركة للعائلات المفهرسة بـ${\displaystyle J}$إذا وُجدت هذه المنتجات، فمن الممكن اختيارها بطريقة متوافقة بحيث يتحول الناتج المشترك إلى دالة.${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$نتاج الأسرة${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ثم يُشار إليه غالبًا بـ

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

والخرائط${\displaystyle i_{j}}$تُعرف باسم الحقن الطبيعية .

تأجير${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$يرمز إلى مجموعة جميع التشكلات من${\displaystyle U}$ل${\displaystyle V}$في${\displaystyle C}$(أي مجموعة منازل في${\displaystyle C}$لدينا تماثل طبيعي

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

يُعطى بواسطة التقابل الذي يُسقط كل مجموعة من التشكلات

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(منتج في المجموعة ، وهي فئة المجموعات ، وهو المنتج الديكارتي ، لذا فهو عبارة عن مجموعة من التشكلات) إلى التشكل

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

إن كون هذه الخريطة شاملة ينبع من خاصية التبادلية في المخطط: أي تشاكل${\displaystyle f}$هو الناتج الثانوي للزوج

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

إن كونها دالة حقنية ينبع من البنية الشاملة التي تنص على تفرد هذه التطبيقات. كما أن طبيعية التشاكل هي نتيجة للمخطط. وهكذا، فإن الدالة المتجانسة المتغايرة تحول الضرب المشترك إلى ضرب. بعبارة أخرى، الدالة المتجانسة، عند النظر إليها كدالة من الفئة المقابلة${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$دالة المجموعة متصلة؛ فهي تحافظ على النهايات (وهو ناتج ثانوي في${\displaystyle C}$هو منتج في${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$).

لو${\displaystyle J}$هي مجموعة منتهية ، على سبيل المثال${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ثم الناتج المشترك للأشياء${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$لنفترض أن جميع الضربات المشتركة المنتهية موجودة في C ، وأن دوال الضرب المشترك قد تم اختيارها كما سبق، وأن 0 يرمز إلى الكائن الأولي لـ C المقابل للضرب المشترك الفارغ. عندئذٍ لدينا تماثلات طبيعية

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

هذه الخصائص متشابهة شكليًا مع خصائص الزمرة التبادلية ؛ والفئة ذات المنتجات المشتركة المحدودة هي مثال على فئة الزمرة المتناظرة .

إذا كانت الفئة تحتوي على عنصر صفري${\displaystyle Z}$إذن لدينا تشاكل فريد${\displaystyle X\rightarrow Z}$(منذ${\displaystyle Z}$( طرفي ) وبالتالي فهو تشاكل${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$. منذ${\displaystyle Z}$إذا كان أوليًا أيضًا، فلدينا تماثل قانوني${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$كما في الفقرة السابقة. وبالتالي لدينا مورفيزمات${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$و${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$، ومن خلال ذلك نستنتج وجود تشاكل قانوني${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$يمكن توسيع هذا المفهوم بالاستقراء إلى تشاكل قانوني من أي جداء مشترك منتهٍ إلى الجداء المقابل. لا يشترط أن يكون هذا التشاكل متماثلًا بشكل عام؛ ففي Grp يكون تشاكلًا فوقيًا حقيقيًا، بينما في Set _* (فئة المجموعات المُشار إليها ) يكون تشاكلًا أحاديًا حقيقيًا . في أي فئة ما قبل الجمعية ، يكون هذا التشاكل متماثلًا، ويُعرف الكائن المقابل باسم الجداء الثنائي . تُعرف الفئة التي تحتوي على جميع الجداءات الثنائية المنتهية باسم الفئة شبه الجمعية .

إذا كانت جميع عائلات الكائنات مفهرسة بواسطة${\displaystyle J}$لها منتجات ثانوية في${\displaystyle C}$إذن، يتكون الناتج المشترك من دالة${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$لاحظ أن هذا المؤثر، مثله مثل المنتج، متغير مشترك .

• منتج
• الحدود والحدود المشتركة
• مُعادلة
• الحد المباشر

• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  5 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 

• صفحة ويب تفاعلية تُنتج أمثلة على المنتجات المشتركة في فئة المجموعات المنتهية. من تأليف جوسلين باين .