مخطط ثلاثي

الرسم البياني الثلاثي ، أو الرسم البياني المثلثي ، أو الرسم البياني البسيط ، أو مثلث جيبس ، هو رسم بياني مركزي لثلاثة متغيرات مجموعها ثابت. ^{[ 1 ]} وهو يصور نسب المتغيرات الثلاثة بيانيًا كمواقع في مثلث متساوي الأضلاع . يُستخدم في الكيمياء الفيزيائية ، وعلم الصخور ، وعلم المعادن ، وعلم الفلزات ، وغيرها من العلوم الفيزيائية لعرض تركيب الأنظمة المكونة من ثلاثة أنواع. تُعد الرسوم البيانية الثلاثية أدوات لتحليل البيانات التركيبية في الحالة ثلاثية الأبعاد.

في علم الوراثة السكانية ، يُطلق على الرسم البياني المثلثي لترددات الأنماط الجينية اسم مخطط دي فينيتي . وفي نظرية الألعاب ^{[ 2 ]} والتحسين المحدب ^{[ 3 ]} ، يُطلق عليه غالبًا اسم مخطط سيمبلكس .

في الرسم البياني الثلاثي، يجب أن يكون مجموع قيم المتغيرات الثلاثة a و b و c مساويًا لثابت K. عادةً ما يُرمز لهذا الثابت بـ 1.0 أو 100%. ولأن a + b + c = K لجميع المواد المرسومة، فإن أي متغير منها ليس مستقلاً عن الآخرين، لذا يكفي معرفة متغيرين فقط لتحديد موقع العينة على الرسم البياني: على سبيل المثال، يجب أن يكون c مساويًا لـ K − a − b . ولأن القيم العددية الثلاثة لا يمكن أن تتغير بشكل مستقل - فهناك درجتا حرية فقط - فمن الممكن رسم تركيبات المتغيرات الثلاثة في بُعدين فقط.

تتمثل ميزة استخدام المخطط الثلاثي لتمثيل التركيبات الكيميائية في إمكانية تمثيل ثلاثة متغيرات بسهولة في رسم بياني ثنائي الأبعاد. كما يمكن استخدام المخططات الثلاثية لإنشاء مخططات الأطوار من خلال تحديد مناطق التركيب على المخطط حيث توجد أطوار مختلفة.

تتوافق قيم نقطة على مخطط ثلاثي (حتى ثابت) مع إحداثياتها الثلاثية الخطية أو إحداثياتها المركزية .

There are three equivalent methods that can be used to determine the values of a point on the plot:

1. Parallel line or grid method. The first method is to use a diagram grid consisting of lines parallel to the triangle edges. A parallel to a side of the triangle is the locus of points constant in the component situated in the vertex opposed to the side. Each component is 100% in a corner of the triangle and 0% at the edge opposite it, decreasing linearly with increasing distance (perpendicular to the opposite edge) from this corner. By drawing parallel lines at regular intervals between the zero line and the corner, fine divisions can be established for easy estimation.
2. Perpendicular line or altitude method. For diagrams that do not possess grid lines, the easiest way to determine the values is to determine the shortest (i.e. perpendicular) distances from the point of interest to each of the three sides. By Viviani's theorem, the distances (or the ratios of the distances to the triangle height) give the value of each component.
3. Corner line or intersection method. The third method does not require the drawing of perpendicular or parallel lines. Straight lines are drawn from each corner, through the point of interest, to the opposite side of the triangle. The lengths of these lines, as well as the lengths of the segments between the point and the corresponding sides, are measured individually. The ratio of the measured lines then gives the component value as a fraction of 100%.

A displacement along a parallel line (grid line) preserves the sum of two values, while motion along a perpendicular line increases (or decreases) the two values an equal amount, each half of the decrease (increase) of the third value. Motion along a line through a corner preserves the ratio of the other two values.

• 
  Figure 1. Altitude method
• 
  Figure 2. Intersection method
• 
  Figure 3. An example ternary diagram, without any points plotted.
• 
  Figure 4. An example ternary diagram, showing increments along the first axis.
• 
  Figure 5. An example ternary diagram, showing increments along the second axis.
• 
  Figure 6. An example ternary diagram, showing increments along the third axis.
• 
  Figure 7. Empty ternary plot
• 
  Figure 8. Indication of how the three axes work.
• 
  Unlabeled triangle plot with major grid lines
• 
  Unlabeled triangle plot with major and minor grid lines

Figure (1) shows an oblique projection of point P(a,b,c) in a 3-dimensional Cartesian space with axes a, b and c, respectively.

إذا كان a + b + c = K (ثابت موجب)، فإن P يقتصر على مستوى يحتوي على A( K , 0, 0) و B(0, K , 0) و C(0, 0, K ) . إذا لم يكن أي من a أو b أو c سالبًا، فإن P يقتصر على المثلث المحصور بين A و B و C ، كما في (2).

في (3)، يتم تدوير المحاور لإعطاء منظور متساوي القياس . يبدو المثلث، عند النظر إليه من الأمام، متساوي الأضلاع .

في (4)، يتم الإشارة إلى مسافات P من الخطوط BC و AC و AB بواسطة a ′ و b ′ و c ′ على التوالي.

لأي خط مستقيم l = s + t n ̂ في صورة متجهة ( حيث n ̂ متجه وحدة) ونقطة p ، فإن المسافة العمودية من p إلى l هي

${\displaystyle \left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.}$

في هذه الحالة، تقع النقطة P عند

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

خط بي سي لديه

${\displaystyle \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

باستخدام صيغة المسافة العمودية،

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$

بالتعويض عن K = a + b + c ،

${\displaystyle a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

وبالمثل، فإن الحساب على الخطين AC و AB يعطي

${\displaystyle b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

وهذا يدل على أن المسافة بين النقطة والخطوط المعنية تتناسب خطيًا مع القيم الأصلية a و b و c . ^{[ 4 ]}

تُعدّ الإحداثيات الديكارتية مفيدةً لرسم النقاط داخل المثلث. لنفترض رسمًا ثلاثيًا متساوي الأضلاع، حيث تقع النقطة a = 100% عند ( x , y ) = (0,0) ، وتقع النقطة b = 100% عند (1,0) . عندئذٍ، تكون النقطة c = 100%${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$والثلاثية ( أ ، ب ، ج ) هي

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.}$

يوضح هذا المثال كيفية عمل ذلك لمجموعة افتراضية من ثلاث عينات من التربة:

عينة	فخار	الطمي	رمل	ملحوظات
العينة 1	50%	20%	30%	لأن الطين والطمي يشكلان معًا 70٪ من هذه العينة، يجب أن تكون نسبة الرمل 30٪ حتى يصل مجموع المكونات إلى 100٪.
العينة 2	10%	60%	30%	نسبة الرمل هي 30٪ كما في العينة 1، ولكن مع ارتفاع نسبة الطمي بنسبة 40٪، تنخفض نسبة الطين بشكل متناسب.
العينة 3	10%	30%	60%	تحتوي هذه العينة على نفس نسبة الطين الموجودة في العينة 2، ولكن نسب الطمي والرمل معكوسة؛ وينعكس الرسم البياني حول محوره الرأسي.

• مخطط اللونية
• مخطط دي فينيتي
• مخطط داليتز
• مخطط قابلية الاشتعال
• مخطط كاتيون جنسن
• مخطط بايبر ، المستخدم في الكيمياء المائية
• مخطط تصنيف UIGS للصخور فوق المافية
• مخطط نسيج التربة حسب أحجام الجسيمات (وزارة الزراعة الأمريكية)
• في مجال التمويل، يمكن تمثيل توزيع أصول محفظة استثمارية بمخطط ثلاثي، فعلى سبيل المثال، يستخدم مؤشر Morningstar X-ray ^{[ 5 ]} القطاعات الدفاعية والحساسة والدورية، كبديل للمخطط الدائري.

• الخاصية المولية الظاهرية
• الإحداثيات الباريسنترية (الرياضيات)
• البيانات التركيبية
• قائمة برامج الرسوم البيانية المعلوماتية
  • برامج رسومات علوم الأرض
  • إيغور برو
  • أوريجين (برنامج تحليل البيانات)
  • يحتوي برنامج R على حزمة ثلاثية مخصصة يتم الاحتفاظ بها على شبكة أرشيف R الشاملة ( CRAN ).
  • مخطط سيجما
• مشروع المثلث
• المعضلة الثلاثية
• نظرية فيفياني

• "نموذج إكسل للرسوم البيانية الثلاثية" . serc.carleton.edu . مركز موارد تعليم العلوم (SERC)، كلية كارلتون . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مايو 2020 .
• برنامج "تراي-بلوت: برنامج لرسم المخططات الثلاثية" . www.lboro.ac.uk . جامعة لوبورو - قسم الجغرافيا / بوابة الموارد الرئيسية > تراي-بلوت . تاريخ الوصول: ١٤ مايو ٢٠٢٠ .
• "مولد المخططات الثلاثية - أنشئ مخططات ثلاثية بسرعة عبر الإنترنت" . www.ternaryplot.com . تاريخ الوصول: 14 مايو 2020 .
• هولاند، ستيفن (2016). "تحليل البيانات في علوم الأرض - المخططات الثلاثية المطورة بلغة R" . strata.uga.edu . جامعة جورجيا . تاريخ الاسترجاع: 14 مايو 2020 .