نظرية الاتصالات الوظيفية

تُعدّ نظرية الاتصالات الوظيفية ( TFC ) إطارًا رياضيًا للاستيفاء الوظيفي. فهي تُقدّم طريقةً لاشتقاق دالة وظيفية - أي دالة تعمل على دالة أخرى - قادرة على تحويل مسائل التحسين المقيدة إلى مسائل مكافئة غير مقيدة. يُتيح هذا التحويل تطبيق نظرية الاتصالات الوظيفية على نطاق واسع من المسائل الرياضية، بما في ذلك حل المعادلات التفاضلية . في هذا السياق، يُشير الاستيفاء الوظيفي إلى بناء دوال وظيفية تُحقق دائمًا قيودًا مُحددة، بغض النظر عن كيفية التعبير عن الدالة الداخلية (أو الحرة).

لتوفير سياق عام لـ TFC، ضع في اعتبارك مشكلة استيفاء عامة تتضمن${\displaystyle n}$القيود، مثل المعادلة التفاضلية الخاضعة لمسألة القيمة الحدية . وبغض النظر عن المعادلة التفاضلية، قد تكون هذه القيود متسقة أو غير متسقة. على سبيل المثال، في مسألة على المجال${\displaystyle {\mathcal {D}}:[0,1]\times [0,1]}$القيود${\displaystyle f_{1}(x,0)=1+x}$و${\displaystyle f_{2}(0,y)=2-y}$غير متسقة، لأنها تعطي قيمًا مختلفة عند النقطة المشتركة${\displaystyle (0,0)}$إذا${\displaystyle n}$إذا كانت القيود متسقة، فيمكن إنشاء دالة تقوم باستيفاء هذه القيود عن طريق الاختيار.${\displaystyle n}$الدوال الأساسية المستقلة خطيًا مثل أحاديات الحدود ،${\displaystyle \{1,x,x^{2},\cdots ,x^{n-1}\}}$قد تتوافق مجموعة الدوال الأساسية المختارة مع القيود المعطاة أو لا. على سبيل المثال، القيود${\displaystyle y(-1)=y(+1)=0}$و${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}{\bigg |}_{x=0}=1}$تتعارض مع الدوال الأساسية،${\displaystyle \{1,x,x^{2}\}}$كما يمكن التحقق منه بسهولة. إذا كانت دوال الأساس متوافقة مع القيود، يُمكن حل مسألة الاستيفاء، مما يُنتج دالة استيفاء - وهي دالة تُحقق جميع القيود. سيؤدي اختيار مجموعة مختلفة من دوال الأساس إلى دالة استيفاء مختلفة. عند حل مسألة الاستيفاء وتحديد دالة استيفاء أولية، يُمكن، من حيث المبدأ، توليد جميع دوال الاستيفاء الممكنة عن طريق إجراء عملية الاستيفاء مع كل مجموعة متميزة من دوال الأساس المستقلة خطيًا والمتوافقة مع القيود. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة غير عملية، لأن عدد مجموعات دوال الأساس الممكنة لا نهائي.

تمت معالجة هذا التحدي من خلال تطوير إطار عمل TFC ، وهو إطار تحليلي لإجراء الاستيفاء الوظيفي، قدمه دانييلي مورتاري في جامعة تكساس إيه آند إم . ^{[ 1 ]} يتضمن هذا النهج بناء دالة${\displaystyle f{\big (}\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ){\big )}}$التي تحقق القيود المعطاة لأي تعبير عشوائي من${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$تُعرف هذه الدالة بالدالة الحرة . أما هذه الدالة، والمعروفة بالدالة المقيدة ، فتُقدم تمثيلاً كاملاً لجميع الدوال الممكنة للاستيفاء. من خلال تغيير${\displaystyle g(\mathbf {x} )}$، من الممكن توليد المجموعة الكاملة من الدوال التداخلية، بما في ذلك تلك غير المتصلة أو المحددة جزئيًا.

ينتج عن استيفاء الدوال دالة استيفاء واحدة، بينما يُولّد الاستيفاء الوظيفي مجموعة من دوال الاستيفاء ممثلة بدالة وظيفية. تُحدد هذه الدالة الوظيفية الفضاء الجزئي للدوال التي تُحقق القيود المُعطاة بشكلٍ جوهري، مما يُقلل فعليًا من فضاء الحلول إلى المنطقة التي تقع فيها حلول مسألة التحسين المُقيدة. باستخدام هذه الدوال الوظيفية، يُمكن إعادة صياغة مسائل التحسين المُقيدة كمسائل غير مُقيدة. تُتيح هذه الصياغة الجديدة أساليب حل أبسط وأكثر كفاءة، وغالبًا ما تُحسّن الدقة والمتانة والموثوقية. في هذا السياق، تُوفر نظرية الاتصالات الوظيفية إطارًا منهجيًا لتحويل المسائل المُقيدة إلى مسائل غير مُقيدة، مما يُبسط عملية الحل.

تتناول نظرية القيود ذات المتغيرات المتعددة (TFC) القيود أحادية المتغير التي تشمل النقاط والمشتقات والتكاملات وأي توليفة خطية منها. ^{[ 2 ]} كما تم توسيع نطاق النظرية لتشمل القيود اللانهائية ومتعددة المتغيرات، وتطبيقها على حل المعادلات التفاضلية العادية والجزئية والتكاملية. وتُعالج مشكلة الاتساق، المتعلقة بالقيود والاستيفاء والاستيفاء الوظيفي، بشكل شامل في ^{[ 3 ]} . ويشمل ذلك تحديات الاتساق المرتبطة بشروط الحدود التي تتضمن مشتقات القص والمشتقات المختلطة.

يمكن التعبير عن النسخة أحادية المتغير من TFC بإحدى الصيغتين التاليتين:

${\displaystyle {\begin{cases}f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\eta _{j}{\big (}x,g(x){\big )}\,s_{j}(x)\\f{\big (}x,g(x){\big )}=g(x)+\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\phi _{j}{\big (}x,\mathbf {s} (x){\big )}\,\rho _{j}{\big (}x,g(x){\big )},\end{cases}}}$

أين${\displaystyle n}$يمثل عدد القيود الخطية،${\displaystyle g(x)}$هي الدالة الحرة، و${\displaystyle s_{j}(x)}$نكون${\displaystyle n}$دوال أساسية مستقلة خطيًا ومحددة من قبل المستخدم . المصطلحات${\displaystyle \eta _{j}(x,g(x))}$هي دوال المعاملات ،${\displaystyle \phi _{j}(x)}$هي دوال تبديل (تأخذ القيمة 1 عند تقييمها عند قيدها الخاص، والقيمة 0 عند القيود الأخرى)، و${\displaystyle \rho _{j}{\big (}x,g(x){\big )}}$هي دوال إسقاطية تعبر عن القيود بدلالة الدالة الحرة.

لإظهار كيف يعمم TFC عملية الاستيفاء، ضع في اعتبارك القيود،${\displaystyle {\dot {y}}(x_{1})={\dot {y}}_{1}}$و${\displaystyle {\dot {y}}(x_{2})={\dot {y}}_{2}}$الدالة الوسيطة التي تحقق هذه القيود هي:

${\displaystyle f_{a}(x)={\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{1}+{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{2},}$

كما يمكن التحقق منه بسهولة. وبسبب خاصية الاستيفاء هذه، فإن مشتقة الدالة،

${\displaystyle \delta (x)=g(x)-{\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{1})-{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{2}),}$

يختفي عند${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$، لأي دالة،${\displaystyle g(x)}$لذلك، بإضافة${\displaystyle \delta (x)}$ل${\displaystyle f_{a}(x)}$، يتم الحصول على دالة لا تزال تفي بالقيود،

${\displaystyle f{\big (}x,g(x){\big )}=f_{a}(x)+\delta (x)={\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{1}+{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {y}}_{2}+g(x)-{\dfrac {x(2x_{2}-x)}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{1})-{\dfrac {x(x-2x_{1})}{2(x_{2}-x_{1})}}\,{\dot {g}}(x_{2}),}$

بغض النظر عن أي شيء${\displaystyle g(x)}$بسبب هذه الخاصية، يُشار إلى هذه الدالة باسم الدالة المقيدة . الشرط الأساسي للدالة${\displaystyle f{\big (}x,g(x){\big )}}$لكي تعمل كما هو مُخطط لها، فإن الشروط${\displaystyle {\dot {g}}(x_{1})}$و${\displaystyle {\dot {g}}(x_{2})}$يتم تحديدها. بمجرد استيفاء هذا الشرط، تصبح الوظيفة${\displaystyle f{\big (}x,g(x){\big )}}$له الحرية في أخذ أي قيم عشوائية تتجاوز القيود المحددة، وذلك بفضل المرونة اللانهائية التي يوفرها${\displaystyle g(x)}$الأهم من ذلك، أن هذه المرونة لا تقتصر على القيود المحددة المختارة في هذا المثال، بل تنطبق بشكل عام على أي مجموعة من القيود. توضح هذه الشمولية كيف تُجري TFC الاستيفاء الوظيفي: فهي تُنشئ دالة تُحقق القيود المُعطاة مع السماح في الوقت نفسه بحرية كاملة في السلوك في أماكن أخرى من خلال اختيار${\displaystyle g(x)}$باختصار، يوضح هذا المثال أن الدالة المقيدة${\displaystyle f{\big (}x,g(x){\big )}}$يلتقط جميع الوظائف الممكنة التي تلبي القيود المعطاة، مما يُظهر قوة وعمومية TFC في التعامل مع مجموعة واسعة من مشاكل الاستيفاء.

تم توسيع نطاق استخدام نظرية التحكم الكسري (TFC) وتوظيفها في تطبيقات متنوعة، بما في ذلك استخدامها في مسائل القص والمشتقات المختلطة ، وتحليل المؤثرات الكسرية ، ^{[ 4 ]} وتحديد المسارات الجيوديسية لمسائل القيمة الحدية في الفضاءات المنحنية ، ^{[ 5 ]} وفي طرق الاستمرار . ^{[ 6 ] [ 7 ]} بالإضافة إلى ذلك، طُبقت نظرية التحكم الكسري على التحكم الأمثل غير المباشر ، ^{[ 8 ] [ 9 ]} ونمذجة الحركية الكيميائية الصلبة ، ^{[ 10 ]} ودراسة الديناميكيات الوبائية. ^{[ 11 ]} كما تمتد تطبيقات نظرية التحكم الكسري لتشمل ديناميكيات الفضاء .حيث يتم حل مسألة لامبرت بكفاءة. ^{[ 12 ]} كما أظهرت إمكانات واعدة في البرمجة غير الخطية ^{[ 13 ]} والميكانيكا الإنشائية ^{[ 14 ] [ 15 ]} وانتقال الإشعاع ، ^{[ 16 ]} من بين مجالات أخرى. تتوفر مجموعة أدوات TFC المجانية والفعالة بلغة بايثون على الرابط التالي: https://github.com/leakec/tfc .

من الجدير بالذكر تطبيق تقنية TFC في الشبكات العصبية ، حيث أظهرت كفاءة استثنائية، ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} لا سيما في معالجة المشكلات عالية الأبعاد، وفي تحسين أداء الشبكات العصبية المُستندة إلى الفيزياء ^{[ 20 ]} من خلال إزالة القيود من عملية التحسين ، وهو تحدٍّ غالبًا ما تواجهه الشبكات العصبية التقليدية. تُحسّن هذه القدرة بشكل كبير الكفاءة الحسابية والدقة، مما يُتيح حلّ المشكلات المعقدة بسهولة أكبر، كما أثبتت جامعة أريزونا . ^{[ 21 ] [ 22 ]} وقد استُخدمت تقنية TFC مع الشبكات العصبية المُستندة إلى الفيزياء وتقنيات الانحدار الرمزي ^{[ 23 ]} لاكتشاف الخصائص الفيزيائية للأنظمة الديناميكية . ^{[ 24 ] [ 25 ]}