الحد الأقصى والحد الأدنى

في التحليل الرياضي ، تُعرف القيم العظمى والصغرى ^{[ أ ]} للدالة بأنها أكبر وأصغر قيمة تأخذها الدالة على التوالي. وتُعرف عمومًا باسم القيم القصوى ^{[ ب ]،} ويمكن تعريفها إما ضمن نطاق معين ( القيم القصوى المحلية أو النسبية ) أو على كامل مجال الدالة ( القيم القصوى المطلقة أو العالمية ). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} كان بيير دي فيرما من أوائل علماء الرياضيات الذين اقترحوا تقنية عامة، هي المتباينة ، لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال.

بحسب تعريف نظرية المجموعات ، فإنّ أكبر وأصغر عنصرين في المجموعة هما على التوالي أكبر عنصر وأصغر عنصر فيها. أما المجموعات غير المحدودة واللانهائية ، مثل مجموعة الأعداد الحقيقية ، فلا تحتوي على قيمة صغرى أو عظمى.

في الإحصاء ، المفهوم المقابل هو الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة .

الدالة الحقيقية f المعرفة على المجال X لها نقطة عظمى عالمية (أو مطلقة ).عند x ^* ، إذا كانت f ( x ^* ) ≥ f ( x ) لجميع x في X. وبالمثل، فإن للدالة نقطة دنيا عالمية (أو مطلقة ).عند x ^* ، إذا كانت f ( x ^* ) ≤ f ( x ) لجميع قيم x في X. تُسمى قيمة الدالة عند نقطة عظمى بـالقيمة القصوى للدالة، المشار إليها بـ${\displaystyle \max(f(x))}$وتسمى قيمة الدالة عند نقطة دنيا بـالقيمة الدنيا للدالة، (يرمز لها بـ${\displaystyle \min(f(x))}$(للتوضيح). يمكن كتابة ذلك رمزياً على النحو التالي:

${\displaystyle x_{0}\in X}$هي نقطة عظمى عالمية للدالة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$لو${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

ويتم تعريف نقطة الحد الأدنى العالمي بنفس الطريقة.

إذا كان المجال X فضاءً متريًا ، فإنه يُقال إن للدالة f نقطة عظمى محلية (أو نسبية ).عند النقطة x ^* ، إذا وُجد عدد ε > 0 بحيث يكون f ( x ^* ) ≥ f ( x ) لجميع x في X ضمن مسافة ε من x ^* . وبالمثل، فإن للدالة نقطة دنيا محلية.عند x ^* ، إذا كان f ( x ^* ) ≤ f ( x ) لجميع x في X ضمن مسافة ε من x ^* . يمكن استخدام تعريف مماثل عندما يكون X فضاءً طوبولوجيًا ، حيث يمكن إعادة صياغة التعريف المذكور بدلالة الجوار. رياضيًا، يُكتب التعريف المعطى كما يلي:

يترك${\displaystyle (X,d_{X})}$ليكن فضاءً متريًا ودالة${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$. ثم${\displaystyle x_{0}\in X}$هي نقطة عظمى محلية للدالة${\displaystyle f}$لو${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$بحيث${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

يمكن أن يتم تعريف نقطة الحد الأدنى المحلية بنفس الطريقة.

في كلتا الحالتين العالمية والمحلية، مفهوم أيمكن تعريف القيم القصوى الصارمة . على سبيل المثال، x^*هونقطة قصوى عالمية صارمة إذا كان لكلxفيXحيث x ≠ x ^∗ ، لدينا f ( x ^∗ ) > f ( x )، وx^∗هي نقطةتُعتبر النقطة نقطة عظمى محلية صارمة إذا وُجدصحيح موجب ε بحيث يكون لدينا، لكلxفيXضمن مسافةεمنx^*حيث x ≠ x ^* ، f ( x ^* ) > f ( x ). لاحظ أن النقطة تُعتبر نقطة عظمى عالمية صارمة إذا وفقط إذا كانت هي نقطة العظمى العالمية الوحيدة، وينطبق الأمر نفسه على نقاط الحد الأدنى.

الدالة الحقيقية المتصلة ذات المجال المحدود لها دائمًا نقطة عظمى ونقطة صغرى. ومن الأمثلة المهمة على ذلك الدالة التي يكون مجالها فترة مغلقة ومحدودة من الأعداد الحقيقية (انظر الرسم البياني أعلاه).

يُعدّ إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة هدفًا أساسيًا في التحسين الرياضي . إذا كانت الدالة متصلة على فترة مغلقة، فبحسب نظرية القيم القصوى ، توجد قيم عظمى وصغرى مطلقة. علاوة على ذلك، يجب أن تكون القيمة العظمى (أو الصغرى) المطلقة إما قيمة عظمى (أو صغرى) محلية داخل مجال الدالة، أو تقع على حدوده. لذا، تتمثل إحدى طرق إيجاد القيمة العظمى (أو الصغرى) المطلقة في البحث عن جميع القيم العظمى (أو الصغرى) المحلية داخل مجال الدالة، وكذلك البحث عن القيم العظمى (أو الصغرى) للنقاط الواقعة على حدود المجال، ثم اختيار القيمة الأكبر (أو الأصغر).

بالنسبة للدوال القابلة للتفاضل ، تنص نظرية فيرما على أن القيم القصوى المحلية داخل المجال يجب أن تحدث عند النقاط الحرجة (أو النقاط التي تساوي فيها المشتقة صفرًا). ^{[ 4 ]} ومع ذلك، ليست كل النقاط الحرجة قيمًا قصوى. يمكن غالبًا التمييز بين ما إذا كانت النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية، أو قيمة صغرى محلية، أو لا هذا ولا ذاك، باستخدام اختبار المشتقة الأولى ، أو اختبار المشتقة الثانية ، أو اختبار المشتقة من الرتب العليا ، بشرط توفر قابلية كافية للتفاضل. ^{[ 5 ]}

بالنسبة لأي دالة معرفة على أجزاء ، يمكن إيجاد قيمة عظمى (أو صغرى) من خلال إيجاد القيمة العظمى (أو الصغرى) لكل جزء على حدة، ثم معرفة أيها الأكبر (أو الأصغر).

وظيفة	القيم العظمى والصغرى
x 2	الحد الأدنى العالمي الفريد عند x = 0.
3x​	لا توجد قيم صغرى أو عظمى عالمية. على الرغم من أن المشتقة الأولى (3 × 2 ) تساوي صفرًا عند x = 0، إلا أن هذه نقطة انعطاف . (المشتقة الثانية تساوي صفرًا عند تلك النقطة).
${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$	قيمة عظمى عالمية فريدة عند x = e . (انظر الشكل على اليمين) (انظر أيضًا مسألة حساب التفاضل والتكامل لستاينر )
x − x	قيمة عظمى عالمية فريدة على الأعداد الحقيقية الموجبة عند x = 1/ e .
x 3 /3 − x	المشتقة الأولى هي x² - 1 والمشتقة الثانية هي 2x . بوضع المشتقة الأولى مساويةً للصفر وحل المعادلة لإيجاد قيمة x، نحصل على نقاط ثابتة عند -1 و+1. من إشارة المشتقة الثانية، نلاحظ أن -1 قيمة عظمى محلية و+1 قيمة صغرى محلية. لا توجد لهذه الدالة قيمة عظمى مطلقة أو قيمة صغرى مطلقة.
| x |	الحد الأدنى العالمي عند x = 0 الذي لا يمكن إيجاده عن طريق أخذ المشتقات، لأن المشتقة غير موجودة عند x = 0.
cos( x )	عدد لا نهائي من الحدود القصوى العالمية عند 0، ±2 π ، ±4 π ، ...، وعدد لا نهائي من الحدود الدنيا العالمية عند ± π ، ±3 π ، ±5 π ، ....
2 cos( x ) − x	عدد لا نهائي من القيم العظمى والصغرى المحلية، ولكن لا توجد قيمة عظمى أو صغرى عالمية.
cos( 3πx ) / x حيث 0.1 ≤ x ≤ 1.1	قيمة عظمى عالمية عند x  = 0.1 (حد)، وقيمة صغرى عالمية بالقرب من x  = 0.3، وقيمة عظمى محلية بالقرب من x  = 0.6، وقيمة صغرى محلية بالقرب من x  = 1.0. (انظر الشكل في أعلى الصفحة.)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 معرفة على الفترة المغلقة (القطعة) [−4,2]	القيمة العظمى المحلية عند x  = −1− √ 15 /3، والقيمة الصغرى المحلية عند x  = −1+ √ 15 /3، والقيمة العظمى العالمية عند x  = 2 والقيمة الصغرى العالمية عند x  = −4.

كمثال عملي، ^{[ 6 ]} افترض موقفًا يكون فيه شخص ما${\displaystyle 200}$يبلغ طول السياج أقدامًا، ويحاول استغلال المساحة المربعة لمساحة حظيرة مستطيلة الشكل إلى أقصى حد، حيث${\displaystyle x}$هو الطول،${\displaystyle y}$هو العرض، و${\displaystyle xy}$المنطقة هي:

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

المشتق بالنسبة إلى${\displaystyle x}$يكون:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

بجعل هذا مساوياً لـ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

يكشف ذلك${\displaystyle x=50}$هي نقطتنا الحرجة الوحيدة . الآن، استرجع نقاط النهاية بتحديد الفترة التي${\displaystyle x}$مقيد. بما أن العرض موجب، فإن${\displaystyle x>0}$و منذ ذلك الحين${\displaystyle x=100-y}$وهذا يعني أن${\displaystyle x<100}$قم بتوصيل النقطة الحرجة${\displaystyle 50}$بالإضافة إلى نقاط النهاية${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 100}$، داخل${\displaystyle xy=x(100-x)}$والنتائج هي${\displaystyle 2500,0,}$و${\displaystyle 0}$على التوالى.

لذلك، فإن أكبر مساحة يمكن الحصول عليها باستخدام مستطيل من${\displaystyle 200}$أقدام من السياج هي${\displaystyle 50\times 50=2500}$[ ^{6 ]​}

بالنسبة للدوال التي تحتوي على أكثر من متغير، تنطبق شروط مماثلة. على سبيل المثال، في الشكل (القابل للتكبير) على اليمين، تتشابه الشروط اللازمة لوجود قيمة عظمى محلية مع تلك الخاصة بدالة ذات متغير واحد فقط. المشتقات الجزئية الأولى بالنسبة إلى z (المتغير المراد تعظيمه) تساوي صفرًا عند القيمة العظمى (النقطة المضيئة في أعلى الشكل). أما المشتقات الجزئية الثانية فتكون سالبة. هذه شروط ضرورية فقط، وليست كافية، لوجود قيمة عظمى محلية، نظرًا لاحتمالية وجود نقطة سرجية . لاستخدام هذه الشروط في إيجاد القيمة العظمى، يجب أن تكون الدالة z قابلة للتفاضل في جميع أجزائها. يمكن لاختبار المشتقة الجزئية الثانية أن يساعد في تصنيف النقطة كقيمة عظمى نسبية أو قيمة صغرى نسبية. في المقابل، توجد اختلافات جوهرية بين الدوال ذات المتغير الواحد والدوال التي تحتوي على أكثر من متغير في تحديد القيم القصوى العالمية. على سبيل المثال، إذا كانت دالة f قابلة للتفاضل ومحدودة، معرفة على فترة مغلقة في خط الأعداد الحقيقية، تمتلك نقطة حرجة واحدة، وهي قيمة صغرى محلية، فإنها تكون أيضًا قيمة صغرى مطلقة ( يمكن إثبات ذلك بالتناقض باستخدام نظرية القيمة المتوسطة ونظرية رول ). في بُعدين أو أكثر، لا يصح هذا الاستدلال. ويتضح ذلك من خلال الدالة

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

النقطة الحرجة الوحيدة التي تقع عند (0,0)، وهي نقطة دنيا محلية حيث f (0,0)  =  0. ومع ذلك، لا يمكن أن تكون نقطة دنيا عالمية، لأن f (2,3)  =  −5.

إذا كان مجال الدالة التي سيتم إيجاد قيمتها القصوى يتكون من دوال (أي إذا كان سيتم إيجاد قيمة قصوى لدالة ) ، فسيتم إيجاد القيمة القصوى باستخدام حساب التفاضل والتكامل .

يمكن تعريف القيم العظمى والصغرى للمجموعات أيضًا. بشكل عام، إذا كانت المجموعة المرتبة S تحتوي على عنصر أعظم m ، فإن m هو عنصر أعظم في المجموعة، ويُرمز إليه أيضًا بـ${\displaystyle \max(S)}$علاوة على ذلك، إذا كانت S مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة T، وكان m هو أكبر عنصر في S (بالنسبة للترتيب الناتج عن T )، فإن m يمثل الحد الأعلى الأدنى لـ S في T. وتسري نتائج مماثلة على أصغر عنصر ، وأصغر عنصر ، وأكبر حد أدنى . تُستخدم دالتا الحد الأقصى والحد الأدنى للمجموعات في قواعد البيانات ، ويمكن حسابهما بسرعة، إذ يمكن حساب الحد الأقصى (أو الأدنى) لمجموعة من القيم القصوى لتقسيمها؛ وهما، من الناحية الرسمية، دالتا تجميع ذاتي التحلل .

في حالة الترتيب الجزئي العام ، يجب عدم الخلط بين أصغر عنصر (أي العنصر الأصغر من جميع العناصر الأخرى) والعنصر الأدنى (لا يوجد عنصر أصغر منه). وبالمثل، فإن أكبر عنصر في مجموعة مرتبة جزئيًا (مجموعة جزئية مرتبة) هو الحد الأعلى للمجموعة التي تحتويها، بينما العنصر الأقصى m في مجموعة جزئية مرتبة A هو عنصر من A بحيث إذا كان m ≤ b (لأي b في A )، فإن m = b . كل أصغر عنصر أو أكبر عنصر في مجموعة جزئية مرتبة فريد، ولكن يمكن أن تحتوي المجموعة الجزئية المرتبة على عدة عناصر دنيا أو قصوى. إذا احتوت المجموعة الجزئية المرتبة على أكثر من عنصر أقصى واحد، فلن تكون هذه العناصر قابلة للمقارنة فيما بينها.

في المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا ، أو السلسلة ، تكون جميع العناصر قابلة للمقارنة فيما بينها، لذا يمكن أن تحتوي هذه المجموعة على عنصر أدنى واحد على الأكثر وعنصر أعلى واحد على الأكثر. وبسبب قابلية المقارنة المتبادلة، سيكون العنصر الأدنى هو أصغر عنصر، وسيكون العنصر الأعلى هو أكبر عنصر. وبالتالي، في المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا، يمكننا ببساطة استخدام مصطلحي " أدنى" و "أعلى" .

إذا كانت السلسلة منتهية، فسيكون لها دائمًا قيمة عظمى وقيمة صغرى. أما إذا كانت السلسلة غير منتهية، فليس بالضرورة أن يكون لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية ليس لها قيمة عظمى، مع أنها تحتوي على قيمة صغرى. إذا كانت السلسلة غير المنتهية S محدودة، فإن إغلاق Cl ( S ) للمجموعة قد يحتوي أحيانًا على قيمة صغرى وقيمة عظمى، وفي هذه الحالة يُطلق عليهما الحد الأدنى الأكبر والحد الأعلى الأصغر للمجموعة S ، على التوالي.

• اختبار المشتقة
• الحد الأدنى والحد الأعلى
• حدد الأفضل وحدد الأدنى
• هوية القيم القصوى والدنيا
• التوازن الميكانيكي
• مكس (رياضيات)
• نقطة السرج
• الحد الأقصى والحد الأدنى للعينة

• عمل توماس سيمبسون حول الحد الأقصى والحد الأدنى في مؤتمر كونفرجنس
• تطبيق القيم العظمى والصغرى مع صفحات فرعية من المسائل المحلولة
• جوليف، آرثر إرنست (1911). "الحد الأقصى والحد الأدنى"  . الموسوعة البريطانية . المجلد.  17 (  الطبعة الحادية عشرة). ص 918 – 920.