حساب المقياس الزمني

في الرياضيات ، يُمثل حساب التفاضل والتكامل الزمني توحيدًا لنظرية المعادلات الفرقية مع نظرية المعادلات التفاضلية ، جامعًا بين حساب التكامل والتفاضل مع حساب الفروق المحدودة ، وموفرًا بذلك منهجية لدراسة الأنظمة الهجينة . وله تطبيقات في أي مجال يتطلب نمذجة متزامنة للبيانات المنفصلة والمتصلة . ويُقدم تعريفًا جديدًا للمشتقة، بحيث إذا تم اشتقاق دالة مُعرّفة على الأعداد الحقيقية ، فإن التعريف يكون مُكافئًا للاشتقاق القياسي، أما إذا تم استخدام دالة مُعرّفة على الأعداد الصحيحة ، فإنه يكون مُكافئًا لمؤثر الفرق الأمامي .

تم تقديم حساب التفاضل والتكامل الزمني في عام 1988 من قبل عالم الرياضيات الألماني ستيفان هيلجر . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فقد تم استخدام أفكار مماثلة من قبل وتعود على الأقل إلى تقديم تكامل ريمان-ستيلتيس ، الذي يوحد المجاميع والتكاملات.

تنتقل العديد من النتائج المتعلقة بالمعادلات التفاضلية بسهولة إلى النتائج المقابلة لها في معادلات الفرق، بينما تبدو نتائج أخرى مختلفة تمامًا عن نظيراتها في المعادلات المستمرة . ^{[ 2 ]} تكشف دراسة المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية عن هذه التناقضات، وتساعد على تجنب إثبات النتائج مرتين - مرة للمعادلات التفاضلية ومرة ​​أخرى لمعادلات الفرق. الفكرة العامة هي إثبات نتيجة لمعادلة ديناميكية يكون فيها مجال الدالة المجهولة ما يُسمى بالمقياس الزمني (أو مجموعة الزمن)، والذي قد يكون مجموعة فرعية مغلقة من الأعداد الحقيقية. وبهذه الطريقة، لا تنطبق النتائج على مجموعة الأعداد الحقيقية أو مجموعة الأعداد الصحيحة فحسب ، بل على مقاييس زمنية أكثر عمومية مثل مجموعة كانتور .

أكثر ثلاثة أمثلة شيوعًا لحساب التفاضل والتكامل على المقاييس الزمنية هي حساب التفاضل ، وحساب الفرق ، وحساب الكم . تتمتع المعادلات الديناميكية على المقياس الزمني بإمكانية تطبيقها في مجالات مثل ديناميكيات السكان . على سبيل المثال، يمكنها نمذجة تجمعات الحشرات التي تتطور باستمرار خلال موسمها، ثم تموت في الشتاء أثناء حضانة بيضها أو فترة سكونه، ثم تفقس في موسم جديد، مما يؤدي إلى ظهور تجمعات غير متداخلة.

المقياس الزمني (أو سلسلة القياس ) هو مجموعة فرعية مغلقة من خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$الرمز الشائع لمقياس زمني عام هو${\displaystyle \mathbb {T} }$.

أكثر مثالين شيوعًا على المقاييس الزمنية هما الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$والمقياس الزمني المنفصل${\displaystyle h\mathbb {Z} }$.

تُعرَّف النقطة الواحدة في المقياس الزمني على النحو التالي:

${\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }$

العمليات ضمن الأطر الزمنية

يمثل عاملا القفزة الأمامية والقفزة الخلفية أقرب نقطة في المقياس الزمني على يمين ويسار نقطة معينة.${\displaystyle t}$على التوالي. رسميًا:

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$(مشغل التحويل الأمامي/القفز)

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$(مشغل الإزاحة العكسية/القفز)

الخشونة​${\displaystyle \mu }$هي المسافة من نقطة إلى أقرب نقطة على اليمين، ويتم حسابها بواسطة:

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t.}$

للحصول على كثافة يمين${\displaystyle t}$،${\displaystyle \sigma (t)=t}$و${\displaystyle \mu (t)=0}$. لكثافة اليسار${\displaystyle t}$،${\displaystyle \rho (t)=t.}$

تصنيف النقاط

لأي${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$،${\displaystyle t}$يكون:

• يترك كثيفًا إذا${\displaystyle \rho (t)=t}$
• كثيف تمامًا إذا${\displaystyle \sigma (t)=t}$
• تُركت متناثرة إذا${\displaystyle \rho (t)<t}$
• متناثرة إلى اليمين إذا${\displaystyle \sigma (t)>t}$
• كثيف إذا كان كل من الجانب الأيسر كثيفًا والجانب الأيمن كثيفًا
• معزولة إذا كانت كلتاهما متناثرة يسارًا ويمينًا

كما هو موضح في الشكل على اليمين:

• نقطة${\displaystyle t_{1}}$كثيف​
• نقطة${\displaystyle t_{2}}$كثيفة من اليسار ومتناثرة من اليمين
• نقطة${\displaystyle t_{3}}$معزول​
• نقطة${\displaystyle t_{4}}$اليسار متناثر واليمين كثيف

لنأخذ دالة:

${\displaystyle f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

(حيث يمكن أن يكون R أي فضاء باناخ ، ولكن يتم تعيينه على خط الأعداد الحقيقية للتبسيط).

التعريف: مشتقة دلتا (وتُعرف أيضاً بمشتقة هيلجر)${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$يوجد إذا وفقط إذا:

لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle t}$بحيث:

${\displaystyle \left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|}$

للجميع${\displaystyle s}$في${\displaystyle U}$.

يأخذ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} .}$ ثم${\displaystyle \sigma (t)=t}$،${\displaystyle \mu (t)=0}$،${\displaystyle f^{\Delta }=f'}$; هي المشتقة المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل القياسي . إذا${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$( الأعداد الصحيحة )،${\displaystyle \sigma (t)=t+1}$،${\displaystyle \mu (t)=1}$،${\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f}$هو عامل الفرق الأمامي المستخدم في المعادلات الفرقية.

يُعرَّف التكامل دلتا بأنه الدالة الأصلية بالنسبة للمشتقة دلتا.${\displaystyle F(t)}$لها مشتقة متصلة${\displaystyle f(t)=F^{\Delta }(t)}$مجموعة واحدة

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).}$

يمكن تعريف تحويل لابلاس للدوال على المقاييس الزمنية، والذي يستخدم نفس جدول التحويلات لأي مقياس زمني. يمكن استخدام هذا التحويل لحل المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية. إذا كان المقياس الزمني هو الأعداد الصحيحة غير السالبة، فإن التحويل يساوي ^{[ 2 ]} تحويل Z المعدل . $${\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}$$

تُوحّد المعادلات التفاضلية الجزئية ومعادلات الفرق الجزئية في معادلات ديناميكية جزئية على المقاييس الزمنية. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

تمت معالجة التكامل المتعدد على المقاييس الزمنية في بونر (2005). ^{[ 6 ]}

يمكن تعميم المعادلات التفاضلية العشوائية ومعادلات الفرق العشوائية إلى معادلات ديناميكية عشوائية على نطاقات زمنية. ^{[ 7 ]}

يرتبط بكل مقياس زمني مقياس طبيعي ^{[ 8 ] [ 9 ]} يتم تحديده عبر

${\displaystyle \mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),}$

أين${\displaystyle \lambda }$يشير إلى مقياس ليبيغ و${\displaystyle \rho }$هل تم تعريف عامل الإزاحة العكسية على${\displaystyle \mathbb {R} }$. اتضح أن التكامل دلتا هو تكامل ليبيغ-ستيلتيس المعتاد بالنسبة لهذا المقياس

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}$

ويتضح أن مشتق دلتا هو مشتق رادون-نيكوديم بالنسبة لهذا المقياس ^{[ 10 ]}

${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).}$

يتم توحيد دلتا ديراك ودلتا كرونكر على المقاييس الزمنية مثل دلتا هيلجر : ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}$

تمت معالجة حساب التفاضل والتكامل الكسري على المقاييس الزمنية في كتاب باستوس، موزيرسكا، وتوريس. ^{[ 13 ]}

• تحليل الكسور الهندسية للمعادلات الديناميكية على مجموعة كانتور .
• تحليل متعدد المقاييس
• طريقة حساب المتوسط
• طريقة كريلوف-بوغوليوبوف للتوسط

• أغاروال، رافي؛ بونر، مارتن؛ أوريغان، دونال؛ بيترسون، آلان (2002). "المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية: دراسة استقصائية" . مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 141 ( 1-2 ): 1-26 . Bibcode : 2002JCoAM.141....1A . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
• المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية، عدد خاص من مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية (2002)
• المعادلات الديناميكية وتطبيقاتها، عدد خاص من مجلة التقدم في المعادلات التفاضلية (2006)
• المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية: التحليل النوعي والتطبيقات، عدد خاص من مجلة الديناميكا غير الخطية ونظرية الأنظمة (2009).