الاستيفاء المثلثي

إذا كان عدد النقاط N فرديًا، ولنقل N=2K+1 ، فإن تطبيق صيغة لاغرانج للاستيفاء متعدد الحدود على الصيغة متعددة الحدود في المستوى المركب ينتج عنه أن الحل يمكن كتابته على الصورة

${\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{2K}y_{k}\,t_{k}(x),}$

5

أين

${\displaystyle t_{k}(x)=e^{-iKx+iKx_{k}}\prod _{\begin{aligned}m&=0\\[-4mu]m&\neq k\end{aligned}}^{2K}{\frac {e^{ix}-e^{ix_{m}}}{e^{ix_{k}}-e^{ix_{m}}}}.}$

العامل ${\displaystyle e^{-iKx+iKx_{k}}}$تعوض هذه الصيغة عن حقيقة أن صيغة المستوى المركب تحتوي أيضًا على قوى سالبة لـ${\displaystyle e^{ix}}$وبالتالي فهي ليست تعبيرًا متعدد الحدود في${\displaystyle e^{ix}}$يمكن التحقق بسهولة من صحة هذا التعبير من خلال ملاحظة أن${\displaystyle t_{k}(x_{k})=1}$وذلك${\displaystyle t_{k}(x)}$هو توليفة خطية من القوى الصحيحة لـ${\displaystyle e^{ix}}$عند استخدام الهوية

${\displaystyle e^{iz_{1}}-e^{iz_{2}}=2i\sin {\tfrac {1}{2}}(z_{1}-z_{2})\,e^{(z_{1}+z_{2})i/2},}$

2

المعامل${\displaystyle t_{k}(x)}$يمكن كتابتها بالشكل التالي

${\displaystyle t_{k}(x)=\prod _{\begin{aligned}m&=0\\[-4mu]m&\neq k\end{aligned}}^{2K}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}$

4

إذا كان عدد النقاط N زوجيًا، ولنقل N=2K ، فإن تطبيق صيغة لاغرانج للاستيفاء متعدد الحدود على الصيغة متعددة الحدود في المستوى المركب ينتج عنه أن الحل يمكن كتابته على الصورة

${\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{2K-1}y_{k}\,t_{k}(x),}$

6

أين

$// ك \ نهاية {المحاذاة}} ^ {2K-1} {\ فارك {e ^ {التاسع} -e ^ {ix_ {م}}} {e ^ {ix_ {ك}} -e ^ {ix_ {م}}}}.}$

3

هنا، الثوابت${\displaystyle \alpha _{k}}$يمكن اختيارها بحرية. ويعود ذلك إلى أن دالة الاستيفاء ( 1 ) تحتوي على عدد فردي من الثوابت المجهولة. ومن الخيارات الشائعة اشتراط أن يكون أعلى تردد على شكل ثابت مضروبًا في${\displaystyle \cos(Kx)}$أي${\displaystyle \sin(Kx)}$يختفي المصطلح، ولكن بشكل عام يمكن اختيار طور التردد الأعلى ليكون${\displaystyle \varphi _{K}}$للحصول على تعبير لـ${\displaystyle \alpha _{k}}$باستخدام ( 2 )، نحصل على أن ( 3 ) يمكن كتابتها على الصورة التالية:

${\displaystyle t_{k}(x)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}{\Biggl (}2Kx-\alpha _{k}+\displaystyle \sum \limits _{m=0,\,m\neq k}^{2K-1}x_{m}{\Biggr )}+\sum \limits _{m=-(K-1)}^{K-1}c_{k}e^{imx}}{2^{N}\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-\alpha _{k})\displaystyle \prod \limits _{m=0,\,m\neq k}^{2K-1}\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}$

وهذا ينتج عنه

${\displaystyle \alpha _{k}=\sum _{\begin{aligned}m&=0\\[-4mu]m&\neq k\end{aligned}}^{2K-1}x_{m}-2\varphi _{K}}$

و

${\displaystyle t_{k}(x)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-\alpha _{k})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\begin{aligned}m&=0\\[-4mu]m&\neq k\end{aligned}}^{2K-1}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{m})}{\sin {\tfrac {1}{2}}(x_{k}-x_{m})}}.}$

لاحظ أنه يجب توخي الحذر لتجنب اللانهاية الناتجة عن الأصفار في المقامات.

يُعدّ استخدام المعادلة ( 4 ) تبسيطًا إضافيًا نهجًا بديهيًا، ولكنه معقدٌ بلا شك. أما النهج الأبسط بكثير فهو النظر في نواة ديريشليه.

${\displaystyle D(x,N)={\frac {1}{N}}+{\frac {2}{N}}\sum _{k=1}^{(N-1)/2}\cos(kx)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\sin {\tfrac {1}{2}}x}},}$

أين${\displaystyle N>0}$هذا غريب. من السهل ملاحظة ذلك.${\displaystyle D(x,N)}$هو توليفة خطية من القوى الصحيحة لـ${\displaystyle e^{ix}}$ويرضي

${\displaystyle D(x_{m},N)={\begin{cases}0{\text{ for }}m\neq 0\\1{\text{ for }}m=0\end{cases}}.}$

بما أن هاتين الخاصيتين تحددان المعاملات بشكل فريد${\displaystyle t_{k}(x)}$في ( 5 )، يترتب على ذلك أن

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={\begin{cases}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{N\sin {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{\text{ for }}x\neq x_{k}\\[10mu]\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\sin {\tfrac {1}{2}}x}}=1{\text{ for }}x=x_{k}\end{cases}}\\&={\frac {\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}.\end{aligned}}}$

هنا، تمنع دالة sinc أي حالات تفرد، ويتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \mathrm {sinc} \,x={\frac {\sin x}{x}}.}$

ل${\displaystyle N}$بل إننا نُعرّف نواة ديريشليه على النحو التالي:

${\displaystyle D(x,N)={\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\cos {\tfrac {1}{2}}Nx+{\frac {2}{N}}\sum _{k=1}^{(N-1)/2}\cos(kx)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\tan {\tfrac {1}{2}}x}}.}$

مرة أخرى، يمكن ملاحظة ذلك بسهولة${\displaystyle D(x,N)}$هو توليفة خطية من القوى الصحيحة لـ${\displaystyle e^{ix}}$لا يحتوي على المصطلح${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}$ويرضي

${\displaystyle D(x_{m},N)={\begin{cases}0{\text{ for }}m\neq 0\\1{\text{ for }}m=0\end{cases}}.}$

باستخدام هذه الخصائص، يتبين أن المعاملات${\displaystyle t_{k}(x)}$يتم إعطاء القيم في ( 6 ) بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{k}(x)&=D(x-x_{k},N)={\begin{cases}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{N\tan {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}{\text{ for }}x\neq x_{k}\\[10mu]\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin {\tfrac {1}{2}}Nx}{N\tan {\tfrac {1}{2}}x}}=1{\text{ for }}x=x_{k}.\end{cases}}\\&={\frac {\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}N(x-x_{k})}{\mathrm {sinc} \,{\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})}}\cos {\tfrac {1}{2}}(x-x_{k})\end{aligned}}}$

لاحظ أن${\displaystyle t_{k}(x)}$لا يحتوي على${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}$كذلك. وأخيرًا، لاحظ أن الدالة${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}Nx}$يختفي عند جميع النقاط${\displaystyle x_{m}}$لذلك، يمكن دائمًا إضافة مضاعفات هذا المصطلح، ولكن عادةً ما يتم حذفه.

يمكن العثور على تطبيق MATLAB لما سبق هنا وهو موضح في:

دالة P = triginterp ( xi,x,y ) % TRIGINTERP الاستيفاء المثلثي. % المدخلات: % xi نقاط تقييم الدالة المستوفاة (متجه) % x عقد استيفاء متساوية التباعد (متجه، طول N) % y قيم الاستيفاء (متجه، طول N) % المخرجات: % P قيم الدالة المستوفاة المثلثية (متجه) N = طول ( x ); % ضبط تباعد المتغير المستقل المعطى. h = 2 / N ; scale = ( x ( 2 ) - x ( 1 )) / h ; x = x / scale ; xi = xi / scale ; % تقييم الدالة المستوفاة. P = zeros ( size ( xi )); for k = 1 : N P = P + y ( k ) * trigcardinal ( xi - x ( k ), N ); endدالة tau = trigcardinal ( x,N ) ws = warning ( 'off' , 'MATLAB:divideByZero' ); % يختلف الشكل بالنسبة لـ N الزوجي والفردي. إذا كان rem ( N , 2 ) == 1 % فردي tau = sin ( N * pi * x / 2 ) ./ ( N * sin ( pi * x / 2 )); else % زوجي tau = sin ( N * pi * x / 2 ) ./ ( N * tan ( pi * x / 2 )); end warning ( ws ) tau ( x == 0 ) = 1 ; % تثبيت القيمة عند x=0

تُعدّ الحالة الخاصة التي تكون فيها النقاط x و _n متساوية التباعد ذات أهمية خاصة. في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle x_{n}=2\pi {\frac {n}{N}},\qquad 0\leq n<N.}$

يتم الحصول على التحويل الذي يربط نقاط البيانات y _n بالمعاملات a _k ، b _k من تحويل فورييه المنفصل (DFT) من الرتبة  N.

${\displaystyle Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\ e^{-i2\pi nk/N}\,}$

${\displaystyle y_{n}=p(x_{n})={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}Y_{k}\ e^{i2\pi nk/N}\,}$

(نظرًا للطريقة التي تمت بها صياغة المسألة أعلاه، فقد اقتصرنا على عدد فردي من النقاط. هذا ليس ضروريًا تمامًا؛ بالنسبة للأعداد الزوجية من النقاط، يتم تضمين حد جيب تمام آخر يتوافق مع تردد نايكويست .)

تناول ألكسيس كليروت في عام 1754 حالة الاستيفاء باستخدام دالة جيب التمام فقط للنقاط المتساوية التباعد، والتي تُقابل الاستيفاء المثلثي عندما تكون النقاط ذات تناظر زوجي . في هذه الحالة، يكون الحل مكافئًا لتحويل جيب التمام المنفصل . أما توسيع الجيب فقط للنقاط المتساوية التباعد، والذي يُقابل التناظر الفردي، فقد حله جوزيف لويس لاغرانج في عام 1762، حيث يكون الحل تحويل جيب منفصل . وقد حل كارل فريدريش غاوس في عمل غير منشور حوالي عام 1805، معادلة الاستيفاء الكاملة باستخدام دالتي جيب التمام والجيب، والتي تُؤدي إلى تحويل فورييه المنفصل، حيث اشتق أيضًا خوارزمية تحويل فورييه السريع لتقييمها بسرعة. انصب اهتمام كليروت ولاغرانج وغوس على دراسة مشكلة استنتاج مدار الكواكب والكويكبات ، وما إلى ذلك، من مجموعة محدودة من نقاط الرصد. بما أن المدارات دورية، فقد كان الاستيفاء المثلثي خيارًا طبيعيًا. انظر أيضًا Heideman et al. (1984).