التثليث الحقيقي المدى

التثليث الحقيقي للمدى (ويُسمى أيضًا التثليث متعدد المدى-المدى والتثليث الكروي ) هو طريقة لتحديد موقع مركبة متحركة أو نقطة ثابتة في الفضاء باستخدام نطاقات متعددة ( مسافات ) بين المركبة/النقطة ومواقع معروفة متعددة متباعدة مكانيًا (تُسمى غالبًا "محطات"). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} قد تُستخدم الموجات الطاقية في تحديد المدى، ولكنها ليست شرطًا أساسيًا.

يُعدّ تحديد الموقع عبر المدى الحقيقي موضوعًا رياضيًا وتقنية تطبيقية تُستخدم في مجالات عديدة. ومن تطبيقاته العملية تحديد الموقع الثابت في مجال المسح . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} أما التطبيقات التي تتضمن تحديد موقع المركبة فتُسمى الملاحة عندما يتم إبلاغ الأشخاص/المعدات الموجودة على متنها بموقعها، وتُسمى المراقبة عندما يتم إبلاغ جهات خارج المركبة بموقعها.

يمكن استخدام نطاقين مائلين من موقعين معروفين لتحديد موقع نقطة ثالثة في فضاء ديكارتي ثنائي الأبعاد (مستوى)، وهي تقنية شائعة الاستخدام (مثلًا، في المسح). وبالمثل، يمكن استخدام نطاقين كرويين لتحديد موقع نقطة على سطح كرة، وهو مفهوم أساسي في علم الملاحة الفلكية القديم - يُعرف بمسألة اعتراض الارتفاع . علاوة على ذلك، إذا توفر عدد من النطاقات يفوق الحد الأدنى، فمن الممارسات الجيدة استخدامها أيضًا. تتناول هذه المقالة المسألة العامة لتحديد الموقع باستخدام نطاقات متعددة.

في الهندسة ثنائية الأبعاد ، من المعروف أنه إذا وقعت نقطة على دائرتين، فإن مركزي الدائرتين ونصف قطريهما يوفران معلومات كافية لحصر المواقع المحتملة في موقعين فقط، أحدهما هو الحل المطلوب والآخر حل غامض. غالبًا ما تُضيّق المعلومات الإضافية الاحتمالات إلى موقع واحد. في الهندسة ثلاثية الأبعاد، عندما يُعرف أن نقطة ما تقع على أسطح ثلاث كرات، فإن مراكز الكرات الثلاث ونصف أقطارها توفر أيضًا معلومات كافية لحصر المواقع المحتملة في موقعين على الأكثر (إلا إذا كانت المراكز تقع على خط مستقيم).

يمكن مقارنة التثليث باستخدام المدى الحقيقي بالتثليث باستخدام المدى الزائف ، وهو النوع الأكثر شيوعًا ، والذي يستخدم فروق المدى لتحديد موقع نقطة (عادةً ما تكون متحركة). ويتم تطبيق التثليث باستخدام المدى الزائف دائمًا تقريبًا عن طريق قياس أوقات وصول الموجات الطاقية. كما يمكن مقارنة التثليث باستخدام المدى الحقيقي بالتثليث ، الذي يتضمن قياس الزوايا .

مصطلحات

لا يوجد مصطلح عام مقبول أو شائع الاستخدام لما يُسمى هنا بالتحديد متعدد النطاقات الحقيقي . وقد تم اختيار هذا الاسم لأنه: (أ) وصف دقيق ومصطلح مألوف جزئيًا ( غالبًا ما يُستخدم مصطلح التحديد متعدد النطاقات في هذا السياق)؛ (ب) يتجنب تحديد عدد النطاقات المعنية (كما هو الحال، على سبيل المثال، في تحديد نطاق-نطاق )؛ (ج) يتجنب الإشارة إلى تطبيق معين (كما هو الحال، على سبيل المثال، في الملاحة باستخدام جهاز قياس المسافة/جهاز قياس المسافة أو التثليث )؛ (د) ويتجنب الخلط مع التحديد متعدد النطاقات الزائف الأكثر شيوعًا .

الحصول على النطاقات

بالنسبة للمدى وأخطاء القياس المتشابهة، يوفر نظام الملاحة والمراقبة القائم على التثليث باستخدام المدى الحقيقي خدمةً لمنطقة ثنائية الأبعاد أو حجم ثلاثي الأبعاد أكبر بكثير من الأنظمة القائمة على التثليث باستخدام المدى الزائف . مع ذلك، غالبًا ما يكون قياس المدى الحقيقي أكثر صعوبة أو تكلفة من قياس المدى الزائف. بالنسبة للمسافات التي تصل إلى بضعة أميال والمواقع الثابتة، يمكن قياس المدى الحقيقي يدويًا. وقد استُخدم هذا الأسلوب في المسح منذ آلاف السنين ، على سبيل المثال، باستخدام الحبال والسلاسل.

للمسافات الطويلة أو المركبات المتحركة، يلزم عمومًا نظام راديو/رادار. طُوّرت هذه التقنية لأول مرة حوالي عام 1940 بالتزامن مع الرادار. ومنذ ذلك الحين، استُخدمت ثلاث طرق:

قياس المدى ثنائي الاتجاه، مع تفعيل أحد الطرفين - هذه هي الطريقة التي تستخدمها الرادارات التقليدية (التي تُسمى أحيانًا بالرادارات الأولية ) لتحديد مدى هدف غير متعاون، وتستخدمها الآن أجهزة قياس المدى بالليزر . وتتمثل أبرز عيوبها فيما يلي: (أ) لا يُعرّف الهدف عن نفسه، وفي حالة وجود أهداف متعددة، قد يحدث خطأ في تحديد الإشارة المرتدة؛ (ب) تضعف الإشارة المرتدة (مقارنةً بالإشارة المرسلة) بمقدار القوة الرابعة لمدى المركبة-المحطة (وبالتالي، بالنسبة للمسافات التي تبلغ عشرات الأميال أو أكثر، تتطلب المحطات عمومًا أجهزة إرسال عالية الطاقة أو هوائيات كبيرة/حساسة)؛ (ج) تستخدم العديد من الأنظمة انتشار الإشارة في خط البصر ، مما يحد من مداها إلى أقل من 20 ميلاً عندما يكون كلا الطرفين على ارتفاعات متقاربة فوق مستوى سطح البحر.
قياس المدى ثنائي الاتجاه، مع تفعيل كلا الطرفين - يُقال إن هذه الطريقة استُخدمت لأول مرة في الملاحة بواسطة نظام توجيه الطائرات Y-Gerät الذي نشرته القوات الجوية الألمانية (لوفتفافه) عام 1941. وهي تُستخدم الآن عالميًا في مراقبة الحركة الجوية ، على سبيل المثال، في المراقبة الرادارية الثانوية والملاحة باستخدام نظام قياس المسافة (DME/DME). تتطلب هذه الطريقة أن يمتلك كلا الطرفين أجهزة إرسال واستقبال، وقد تتطلب معالجة مشكلات التداخل.
قياس المدى أحادي الاتجاه - يُقاس زمن انتقال الطاقة الكهرومغناطيسية بين محطات متعددة والمركبة بناءً على إرسالها من طرف واستقبالها من الطرف الآخر. هذه أحدث طريقة طُوّرت، وقد أُتيحت بفضل تطوير الساعات الذرية ؛ وتتطلب أن تكون ساعات المركبة (المستخدم) والمحطات متزامنة. وقد أُثبتت هذه الطريقة بنجاح (تجريبيًا) باستخدام نظامي لوران-سي ونظام تحديد المواقع العالمي (GPS). ^[²^]^[⁵^]

طرق الحل

يمكن تقسيم خوارزميات تحديد المواقع متعددة الأطراف ذات المدى الحقيقي بناءً على

أبعاد مساحة المشكلة (عادةً، اثنان أو ثلاثة)،
هندسة فضاء المسألة (بشكل عام، ديكارتية أو كروية) و
وجود قياسات زائدة (أكثر من بُعد مساحة المشكلة).

يمكن تخصيص أي خوارزمية لتحديد المدى الزائف لاستخدامها مع تحديد المدى الحقيقي.

بُعدان ديكارتيان، ونطاقان مائلان مقاسان (التثليث)

{\displaystyle U} — الشكل 1: سيناريو تحديد المواقع بالتحديد المتعدد (التثليث) ثنائي الأبعاد باستخدام الإحداثيات الديكارتية ذات المدى الحقيقي. C1 و C2 هما مركزا دائرتين بمسافة معلومة بينهما . $U$ **النقطة P** هي النقطة التي $(x,y)$ يتم تحديد الإحداثيات المطلوبة بناءً على $U$ والنطاقات المقاسة $r_{1}$ و $r_{2}$ .

من المحتمل أن يكون الحل التحليلي معروفًا منذ أكثر من 1000 عام، وهو مذكور في العديد من النصوص. ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، يمكن بسهولة تكييف الخوارزميات للفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد.

تعتمد أبسط خوارزمية على الهندسة التحليلية ونظام إحداثيات قائم على المحطات. لذا، لنفترض مركزي الدائرتين (أو المحطتين) C1 و C2 في الشكل 1، واللتين لهما إحداثيات معروفة (على سبيل المثال، تم مسحهما مسبقًا)، وبالتالي فإن المسافة بينهما $U$ معروف. يحتوي الشكل "الصفحة" على C1 و C2 . إذا كانت "نقطة اهتمام" ثالثة P (مثل مركبة أو نقطة أخرى سيتم مسحها) في نقطة غير معروفة $(x,y)$ ثم تُعطينا نظرية فيثاغورس

{\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(Ux)^{2}+y^{2}\end{aligned}}

هكذا،

${\begin{aligned}x&={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+U^{2}}{2U}}\\[4pt]y&=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}}}\end{aligned}}$

1

لاحظ أن $y$ له قيمتان (أي أن الحل غامض)؛ وهذا عادة لا يمثل مشكلة.

على الرغم من وجود العديد من التحسينات، تظل المعادلة 1 العلاقة الأساسية لتحديد المدى الحقيقي باستخدام التثليث. يُعدّ نظام الملاحة الجوية باستخدام مقياس المسافة (DME/DME) وطريقة التثليث في المسح مثالين على تطبيقاتها. خلال الحرب العالمية الثانية ، استخدم نظام Oboe ، وخلال الحرب الكورية ، استخدم نظام SHORAN المبدأ نفسه لتوجيه الطائرات بناءً على قياسات المدى إلى محطتين أرضيتين. لاحقًا، استُخدم نظام SHORAN في استكشاف النفط البحري والمسح الجوي. اعتمد نظام المسح الجوي الأسترالي Aerodist على تحديد المدى الحقيقي ثنائي الأبعاد باستخدام الإحداثيات الديكارتية. ^{[ 7 ]} يُعدّ هذا السيناريو ثنائي الأبعاد بالغ الأهمية لدرجة أن مصطلح التثليث يُستخدم غالبًا للإشارة إلى جميع التطبيقات التي تتضمن خط أساس معروف وقياسين للمدى.

الخط الأساسي الذي يضم مركزي الدائرتين هو خط تناظر. الحلول الصحيحة والغامضة عمودية على الخط الأساسي ومتساوية البعد عنه (على جانبين متقابلين). عادةً ما يسهل تحديد الحل الغامض. على سبيل المثال، إذا كانت النقطة P مركبة، فإن أي حركة باتجاه الخط الأساسي أو بعيدًا عنه ستكون معاكسة لحركة الحل الغامض؛ وبالتالي، يكفي قياس تقريبي لاتجاه المركبة. مثال آخر: يعرف المساحون جيدًا أي جانب من الخط الأساسي تقع عليه النقطة P. مثال ثالث: في التطبيقات التي تكون فيها النقطة P طائرة، والنقطتان C1 و C2 على الأرض، يكون الحل الغامض عادةً تحت الأرض.

إذا لزم الأمر، يمكن إيجاد الزوايا الداخلية للمثلث C1-C2-P باستخدام قانون جيب التمام . كما يمكن، عند الحاجة، التعبير عن إحداثيات النقطة P بنظام إحداثيات ثانٍ أكثر شيوعًا، مثل نظام الإحداثيات العالمي المستعرض ميركاتور (UTM)، شريطة معرفة إحداثيات النقطتين C1 و C2 في هذا النظام. يُجرى كلا الأمرين غالبًا في أعمال المسح عند استخدام طريقة التثليث. ^{[ 8 ]} بمجرد تحديد إحداثيات النقطة P ، يمكن استخدام الخطين C1-P و C2-P كخطوط أساس جديدة، ومسح نقاط إضافية. وهكذا، يمكن مسح مساحات أو مسافات كبيرة بالاعتماد على مثلثات أصغر متعددة، وهو ما يُسمى بالمسح .

يفترض ضمنيًا أن تكون المعادلة المذكورة أعلاه صحيحة. $r_{1}$ و $r_{2}$ تتعلق بنفس موقع النقطة P. عندما تكون P مركبة، فعادةً $r_{1}$ و $r_{2}$ يجب قياسها ضمن هامش تفاوت في التزامن يعتمد على سرعة المركبة وخطأ تحديد موقعها المسموح به . بدلاً من ذلك، يمكن مراعاة حركة المركبة بين قياسات المدى، غالباً عن طريق التقدير الملاحي.

يُمكن أيضاً استخدام الحلول المثلثية (في حالة الضلع-الضلع-الضلع). كما يُمكن استخدام الحلول الرسومية. ويُستخدم الحل الرسومي أحياناً أثناء الملاحة الآنية، كطبقة فوق الخريطة.

ثلاثة أبعاد ديكارتية، وثلاثة نطاقات ميل مقاسة

توجد خوارزميات متعددة لحل مشكلة التثليث ثلاثي الأبعاد باستخدام الإحداثيات الديكارتية الحقيقية مباشرةً (أي بصيغة مغلقة) - على سبيل المثال، خوارزمية فانغ. ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، يمكن استخدام خوارزميات بصيغة مغلقة طُوّرت للتثليث باستخدام الإحداثيات الزائفة . ^{[ 10 ]}^{[ 6 ]} تستخدم خوارزمية بانكروفت ^{[ 11 ]} (المُعدّلة) المتجهات، وهو ما يُعد ميزة في بعض الحالات.

تُطابق أبسط خوارزمية مراكز الكرات في الشكل 2. يُمثل الشكل "الصفحة" المستوى الذي يحتوي على C1 و C2 و C3 . إذا كانت P "نقطة اهتمام" (مثل مركبة) عند $(x,y,z)$ ثم تُعطي نظرية فيثاغورس نطاقات الميل بين النقطة P ومركز الكرة:

{\begin{aligned}r_{1}^{2}&=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{2}^{2}&=(xU)^{2}+y^{2}+z^{2}\\[4pt]r_{3}^{2}&=(x-V_{x})^{2}+(y-V_{y})^{2}+z^{2}\end{aligned}}

وبالتالي، فإن إحداثيات النقطة P هي:

$\begin{aligned}x&={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+U^{2}}{2U}}\\[4pt]y&={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+V_{x}^{2}+V_{y}^{2}-2V_{x}x}{2V_{y}}}\\[4pt]z&=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{aligned}}}$

2

المستوى الذي يحتوي على مركزي الكرتين هو مستوى تناظر. الحلول الصحيحة والحلول الغامضة عمودية عليه ومتساوية البعد عنه، على جانبين متقابلين.

تتضمن العديد من تطبيقات تحديد المواقع ثلاثي الأبعاد باستخدام تقنية التثليث الحقيقي نطاقات قصيرة، مثل التصنيع الدقيق. ^{[ 12 ]} يُعد دمج قياسات المدى من ثلاثة رادارات أو أكثر (مثل نظام ERAM التابع لإدارة الطيران الفيدرالية ) تطبيقًا لمراقبة الطائرات ثلاثية الأبعاد. وقد استُخدمت تقنية التثليث الحقيقي ثلاثي الأبعاد تجريبيًا مع أقمار GPS الصناعية للملاحة الجوية. ^{[ 5 ]} إلا أن اشتراط تزويد الطائرة بساعة ذرية يحول دون استخدامها على نطاق واسع. مع ذلك، يُعدّ استخدام ساعة مستقبل GPS مجالًا بحثيًا نشطًا، بما في ذلك استخدامها عبر الشبكة. لذا، قد تتغير النتائج. ^{[ 13 ]} قيّمت منظمة الطيران المدني الدولي تقنية التثليث الحقيقي ثلاثي الأبعاد كنظام لهبوط الطائرات، ولكن وُجد أن تقنية أخرى أكثر كفاءة. ^{[ 14 ]} يتطلب قياس ارتفاع الطائرة بدقة أثناء الاقتراب والهبوط وجود العديد من المحطات الأرضية على طول مسار الرحلة.

التناظر المتعدد العام

تتألف مشكلة التثليث العامة من حساب الموضع المجهول ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=\left[{\hat {x}}،{\hat {y}}،{\hat {z}}\right]^{\text{T}}}$ لبعض العقد المستهدفة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. (مع ذلك، فإن النهج الموصوف هنا يعمل أيضًا في الأبعاد الأعلى). ولذلك، يُفترض وجود ${\textstyle N}$ نقاط التثبيت. الموضع ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}=\left[x_{i},y_{i},z_{i}\right]^{\text{T}}}$ (ل ${\textstyle i=1\ldots N}$ يجب معرفة المسافة لكل عقدة مرجعية. علاوة على ذلك، يُفترض أن المسافات ${\textstyle d_{i}}$ المسافة بين كل عقدة مرجعية والعقدة المستهدفة معروفة.

المسافة ${\textstyle d_{i}}$ بين ${\textstyle i}$ يتم تحديد العقدة المرجعية رقم -th والعقدة المستهدفة على النحو التالي. $d_{i}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}={\sqrt {(x_{i}-{\hat {x}})^{2}+(y_{i}-{\hat {y}})^{2}+(z_{i}-{\hat {z}})^{2}}}$ فيما يلي، يتم عرض خوارزميتين مختلفتين لحساب موضع العقدة المستهدفة ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ تقوم الخوارزمية الأولى بحساب موضع الهدف باستخدام مواضع عقدة التثبيت فقط. ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}$ والمسافات ${\textstyle d_{i}}$ بين العقدة المستهدفة والعقد المرجعية. تفترض الخوارزمية الثانية أن هناك تقديرًا تقريبيًا لـ ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ يتم إعطاء هذه القيمة. ثم تقوم هذه الخوارزمية بتحسين هذا التقدير بشكل متكرر.

حل مباشر

تقوم هذه الخوارزمية بحساب موضع العقدة المستهدفة ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ من مواقع عقدة التثبيت ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}$ والمسافات (المربعة) ${\textstyle d_{i}}$ . $d_{i}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}$ أحد الأمور غير السارة إلى حد ما في المعادلة أعلاه هو المصطلح ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}$ للتخلص من هذا الحد، يمكن طرح المتوسط من كلا طرفي المعادلة. ${\textstyle d_{i}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}}$ . $d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}+\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{k}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}\right)$ والمفتاح هو ذلك ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}$ لا يعتمد على ${\textstyle k}$ في المجموع الموجود على الجانب الأيمن. وبالتالي ${\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}=\left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}$ . لذلك، ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}\right\|_{2}^{2}}$ تمت إزالته من الجانب الأيمن. $d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}-2{\boldsymbol {p}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}2{\boldsymbol {p}}_{k}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}$ يمكن إعادة ترتيب ذلك على النحو التالي. $\underbrace {d_{i}^{2}-{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}d_{k}^{2}-\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}\right\|_{2}^{2}+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left\|{\boldsymbol {p}}_{k}\right\|_{2}^{2}} _{b_{i}}={\underbrace {2\cdot \left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{i}\right)} _{{\boldsymbol {a}}_{i}}}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}$ باستخدام الاختصارات المحددة أعلاه، فإن معادلة ${\textstyle i}$ تصبح العقدة المرجعية رقم -th $b_{i}={\boldsymbol {a}}_{i}^{\text{T}}{\boldsymbol {\hat {p}}}$ من خلال دمج جميع العقد المرجعية، يمكن كتابة مسألة التثليث المتعدد كمعادلة واحدة مع المتجه ${\boldsymbol {b}}=\left[b_{1},\dots ,b_{N}\right]^{\mathrm {T} }$ والمصفوفة ${\boldsymbol {A}}=\left[{\boldsymbol {a}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {a}}_{N}\right]^{\text{T}}$ . ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {\hat {p}}}={\boldsymbol {b}}$ المهمة الأخيرة هي حل هذه المعادلة لإيجاد الموضع ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ للعقدة المستهدفة. الخيار المعتاد هو حل المربعات الصغرى : ${\boldsymbol {\hat {p}}}=\left({\boldsymbol {A}}^{\text{T}}{\boldsymbol {A}}\right)^{\text{-1}}{\boldsymbol {A}}^{\text{T}}{\boldsymbol {b}}$

خوارزمية تكرارية

يمكن استخدام هذه الخوارزمية إذا كان هناك تقدير أولي تقريبي لموقع العقدة المستهدفة ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ متاح. يُستخدم هذا التقدير الأولي لحساب تقدير أكثر دقة بشكل متكرر لـ ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ . لهذا الغرض، يتم استخدام خوارزمية جاوس-نيوتن مع معادلة التحديث التالية. ${\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}={\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}-\left({{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {J}}^{(k)}\right)^{\text{-1}}{{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {f}}^{(k)}$ في هذه المعادلة، ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}$ هو تقدير لـ ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ تم حسابها في التكرار الأخير. التقدير الأولي التقريبي هو ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(0)}}$ بعد خطوة التحسين باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}}$ هو التقدير الجديد المُحسّن لـ ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}}$ . ${\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}$ هي مصفوفة جاكوبي (انظر أدناه). في كل خطوة تحديث، تسعى الخوارزمية إلى تقليل الخطأ. ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}$ يتم تعريفها بواسطة متجه الخطأ ${\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}$ . ${\boldsymbol {f}}^{(k)}={\begin{bmatrix}\Delta _{1}^{(k)}-d_{1}\\\vdots \\\Delta _{N}^{(k)}-d_{N}\end{bmatrix}}$ يحتوي متجه الخطأ هذا على المسافة ${\textstyle \Delta _{i}^{(k)}=\left\|{\boldsymbol {p}}_{i}-{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}\right\|_{2}}$ بين جميع مواقع عقدة التثبيت ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}$ والتقدير الحالي ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}$ مصفوفة جاكوبي ${\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}$ ل ${\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}$ يمكن كتابتها على النحو التالي. ${\boldsymbol {J}}^{(k)}={\frac {\partial \,{\boldsymbol {f}}^{(k)}}{\partial \,{{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}^{\mathrm {T} }}}={\boldsymbol {D}}^{(k)}\left({\boldsymbol {1}}_{N}{\boldsymbol {{\hat {p}}^{(k)}}}^{\mathrm {T} }-{\boldsymbol {P}}\right)$ هنا، ${\textstyle {\boldsymbol {D}}^{(k)}=\mathrm {diag} \left(\Delta _{1}^{(k)},\ldots ,\Delta _{N}^{(k)}\right)}$ هي مصفوفة قطرية لجميع ${\textstyle \Delta _{i}^{(k)}}$ و ${\boldsymbol {P}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}_{1}&\dots &{\boldsymbol {p}}_{N}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$ هي مصفوفة تمثل صفوفها مواقع جميع العقد المرجعية. المتجه ${\boldsymbol {1}}_{N}$ هو متجه عمودي بطول $N$ التي تحتوي على واحدات فقط.

الخوارزمية

احصل على تقدير أولي تقريبي ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(0)}}$ موقع العقدة المستهدفة.
تعيين ${\textstyle k=0}$ .
لو ${\textstyle k}$ إذا بلغ عدد التكرارات حدًا أقصى محددًا مسبقًا، يتم إيقاف الخوارزمية. في هذه الحالة، لم تتقارب الخوارزمية !
حساب المسافات ${\textstyle \Delta _{i}^{(k)}}$ (مع $i=1\ldots N$ ) بين مواضع التثبيت ${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{i}}$ والتقدير الحالي ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}}$ .
احسب متجه الخطأ ${\textstyle {\boldsymbol {f}}^{(k)}}$ .
إذا حدث خطأ ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}$ إذا كانت القيمة أقل من عتبة محددة، يتم إيقاف الخوارزمية. تم تحقيق التقارب.
احسب مصفوفة جاكوبي ${\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}}$ .
حل المعادلة ${\textstyle {\boldsymbol {J}}^{(k)}{\boldsymbol {v}}^{(k)}={\boldsymbol {f}}^{(k)}}$ ل ${\textstyle {\boldsymbol {v}}^{(k)}}$ باستخدام طريقة المربعات الصغرى الخطية . الحل الجبري هو معكوس مور-بنروز : ${\boldsymbol {v}}^{(k)}=\left({{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {J}}^{(k)}\right)^{\text{-1}}{{\boldsymbol {J}}^{(k)}}^{\text{T}}{\boldsymbol {f}}^{(k)}$
احسب تقدير الموقع المحدث: ${\textstyle {\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}={\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}-{\boldsymbol {v}}^{(k)}}$ .
إذا كانت المسافة ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k+1)}-{\boldsymbol {\hat {p}}}^{(k)}\right\|_{2}}$ إذا كانت المسافة بين الموقع الحالي وآخر موقع مستهدف مُقدَّر أقل من عتبة مُحدَّدة مسبقًا، يتم إيقاف الخوارزمية. تم تحقيق التقارب.
يزيد ${\textstyle k}$ واحداً تلو الآخر.
انتقل إلى النقطة الثالثة.

ملحوظة:

تتقارب هذه الخوارزمية عادةً في غضون بضع خطوات فقط.
العتبة على ${\textstyle \left\|{\boldsymbol {f}}^{(k)}\right\|_{2}}$ ليس إلزاميًا ويمكن أيضًا حذفه.
يجب حل الخطوات من 8 فصاعدًا عدديًا بدلاً من استخدام الحل الجبري.

تطبيق بايثون

دالة refine_position_estimate ( initial_position_guess , anchor_positions , distances , error_threshold , estimate_threshold , max_iterations ):تحقق من أن عدد أبعاد التخمين الأولي للموضع يساوي 1تحقق من أن عدد أبعاد موضع التثبيت يساوي 2assert initial_position_guess . shape [ 0 ] == anchor_positions . shape [ 0 ]P = مواقع_التثبيتp_hat = initial_position_guess . copy ()for iter_idx in range ( max_iterations ):delta = np.linalg.norm ( P - p_hat [ :, None ] , axis = 0 )دلتا = نب . الحد الأقصى ( دلتا ، 1e-12 )f = دلتا - المسافاتالخطأ = np.linalg.norm ( f )إذا كان الخطأ أقل من أو يساوي عتبة الخطأ :print ( f "تم التقارب: الخطأ أقل من الحد الأدنى: { error } " )استراحةJ = ( p_hat [ None , :] - P . T )J /= delta [:, None ]v = np.linalg.lstsq ( J , f , rcond = None ) [ 0 ]p_hat_diff = np.linalg.norm ( v )إذا كان p_hat_diff <= estimate_threshold :print ( f "تم التقارب: المسافة بين التقدير الأخير والتقدير الحالي أقل من الحد الأدنى: { p_hat_diff } " )استراحةp_hat -= vآخر :print ( "تحذير: لم يتقارب البرنامج!" )print ( f "عدد التكرارات المطلوبة: { iter_idx } " )إرجاع p_hat

مثال على الاستخدام

في هذا المثال، توجد سبع نقاط ارتكاز ذات مواقع معروفة. كما أن المسافات بين نقطة الهدف وجميع نقاط الارتكاز معروفة بدقة. في هذا المثال، لا تحتاج الخوارزمية إلا إلى ثلاث دورات لتحقيق الدقة المطلوبة.

anchor_positions = np.array ( [[ 0.0 , 0.0 , 0.0 ],[ 40 , 25 , 75 ],[ 0 , 80 , 0 ],[ 100 , 11 , 22 ],[ 0 , 45 , 87 ],[ 0 , 0 , 100 ],[ 0 , 50 , 0 ]]) . Ttrue_target_position = np.array ( [ 30.0 , 40.0 , 50.0 ] )true_distances = np.linalg.norm ( anchor_positions - true_target_position [ :, None ] , axis = 0 )# تقدير أولي تقريبي لموقع الهدف.# يتم الحصول على هذا عادة باستخدام مقدر مباشر (تقريبي) أو من بعض المعرفة المسبقة.تقدير موقع الهدف الأولي = موقع الهدف الحقيقي + [ 3 ، 2 ، -4 ]الموقع المستهدف المُقدَّر = تقدير الموقع المُحسَّن (التخمين الأولي للموقع = التقدير الأولي لموقع الهدف ،anchor_positions = anchor_positions ,المسافات = المسافات_الحقيقية ،حد_الخطأ = 1e-6 ،قيمة_العتبة_التقديرية = 1e-6 ،max_iterations = 1000)خطأ_موضع_الهدف = np.linalg.norm ( موضع_الهدف_المُقدَّر - موضع_الهدف_الحقيقي )مطبعة ()print ( f "موقع الهدف الحقيقي: { true_target_position } " );print ( f "التقدير الأولي: { initial_target_position_estimate } " )print ( f "الموقع المستهدف المُقدَّر: { estimated_target_position } " )print ( f "تم تحقيق الدقة: { target_position_error : .12f } " )

الناتج:

تم التقارب: الخطأ أقل من الحد الأدنى: 1.543685171566139e-09 عدد التكرارات المطلوبة: 3الموقع المستهدف الحقيقي: [30، 40، 50] التقدير الأولي: [33، 42، 46] الموقع المستهدف المُقدَّر: [30، 40، 50] الدقة المُحقَّقة: 0.000000001463

بُعدان كرويان، أو نطاقان كرويان مقاسان أو أكثر

هذه مسألة كلاسيكية في الملاحة الفلكية، تُعرف بمسألة اعتراض الارتفاع (الشكل 3). وهي تُعادل في الهندسة الكروية طريقة التثليث في المسح (مع أن المسافات المعنية عادةً ما تكون أكبر بكثير). وقد أصبح حلّها في البحر (دون الحاجة بالضرورة إلى الشمس والقمر) ممكنًا بفضل الكرونومتر البحري (الذي طُرح عام 1761) واكتشاف "خط الموقع" عام 1837. تعتمد طريقة الحل المُستخدمة حاليًا في معظم الجامعات (مثل الأكاديمية البحرية الأمريكية) على حساب المثلثات الكروية لحلّ مثلث كروي مائل، استنادًا إلى قياسات السدس لـ"ارتفاع" جسمين سماويين. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} ويمكن أيضًا معالجة هذه المسألة باستخدام تحليل المتجهات. ^{[ 17 ]} تاريخيًا، استُخدمت تقنيات بيانية، مثل طريقة الاعتراض ، والتي تستوعب أكثر من "ارتفاعين" مُقاسين. نظراً لصعوبة إجراء القياسات في البحر، غالباً ما يُنصح بقياس 3 إلى 5 "ارتفاعات".

بما أن الأرض تُنمذج بشكل أفضل على أنها قطع ناقص دوراني بدلاً من كونها كرة، فقد تُستخدم تقنيات تكرارية في التطبيقات الحديثة. ^{[ 18 ]} في الطائرات والصواريخ عالية الارتفاع، غالبًا ما يتم دمج نظام فرعي للملاحة السماوية مع نظام فرعي للملاحة بالقصور الذاتي لأداء الملاحة الآلية - على سبيل المثال، طائرتي SR-71 بلاك بيرد و B-2 سبيريت التابعتين لسلاح الجو الأمريكي .

على الرغم من أن نظام لوران-سي مصمم في الأصل كنظام تحديد مواقع متعدد الأبعاد "كروي" زائف المدى، فقد استُخدم أيضًا كنظام تحديد مواقع متعدد الأبعاد "كروي" حقيقي المدى من قِبل مستخدمين مجهزين تجهيزًا جيدًا (مثل هيئة المسح الهيدروغرافي الكندية ). ^{[ 2 ]} وقد مكّن ذلك من توسيع منطقة تغطية مجموعة محطات لوران-سي الثلاثية بشكل كبير (مثلًا، مضاعفتها أو زيادتها ثلاثة أضعاف) وتقليل الحد الأدنى لعدد أجهزة الإرسال المتاحة من ثلاثة إلى اثنين. في الطيران الحديث، تُقاس المدى المائل غالبًا بدلًا من المدى الكروي؛ ومع ذلك، عندما يكون ارتفاع الطائرة معروفًا، يُمكن تحويل المدى المائل بسهولة إلى مدى كروي. ^{[ 6 ]}

قياسات المدى الزائدة

عندما تتوفر قياسات نطاق أكثر من أبعاد المشكلة، سواء من نفس محطتي C1 و C2 (أو C1 و C2 و C3 )، أو من محطات إضافية، فإن هذه الفوائد على الأقل تتحقق:

يمكن تحديد القياسات "السيئة" ورفضها
يمكن تحديد الحلول الغامضة تلقائيًا (أي بدون تدخل بشري) - وهذا يتطلب محطة إضافية
يمكن حساب متوسط الأخطاء في القياسات "الجيدة"، مما يقلل من تأثيرها.

يُفضّل عمومًا استخدام خوارزمية جاوس-نيوتن التكرارية لحل مسائل المربعات الصغرى غير الخطية (NLLS) عندما يكون عدد القياسات "الجيدة" أكبر من الحد الأدنى المطلوب. ومن أهم مزايا طريقة جاوس-نيوتن مقارنةً بالعديد من الخوارزميات المغلقة أنها تعالج أخطاء المدى خطيًا، وهو ما يميزها غالبًا، مما يقلل من تأثير هذه الأخطاء عن طريق حساب المتوسط. ^{[ 10 ]} كما يمكن استخدام طريقة جاوس-نيوتن مع الحد الأدنى من نطاقات القياس. ونظرًا لكونها تكرارية، تتطلب طريقة جاوس-نيوتن تقديرًا أوليًا للحل.

في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد، تُزيل كرة رابعة الحل الغامض الناتج عن ثلاثة نطاقات، بشرط ألا يقع مركزها في مستوى واحد مع النطاقات الثلاثة الأولى. وفي الفضاء الديكارتي أو الكروي ثنائي الأبعاد، تُزيل دائرة ثالثة الحل الغامض الناتج عن نطاقين، بشرط ألا يقع مركزها على خط مستقيم واحد مع النطاقين الأولين.

التطبيق لمرة واحدة مقابل التطبيق المتكرر

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي تطبيق تقنية التثليث باستخدام المدى الحقيقي لمرة واحدة، وهو الاستخدام الأبسط لهذه التقنية. وبالرجوع إلى الشكل 1، فإن سمة حالات "المرة الواحدة" هي تغير النقطة P وواحدة على الأقل من النقطتين C1 و C2 من تطبيق لتقنية التثليث باستخدام المدى الحقيقي إلى آخر. وهذا مناسب للمسح، والملاحة الفلكية باستخدام الرصد اليدوي، وبعض أنظمة الملاحة الجوية باستخدام جهاز قياس المسافة (DME).

مع ذلك، في حالات أخرى، تُطبَّق تقنية التثليث الحقيقي للمدى بشكل متكرر (بشكل مستمر تقريبًا). في هذه الحالات، تظل قيمتا C1 و C2 (وربما Cn، حيث n = 3، 4، ... ) ثابتتين، وتبقى المركبة P هي نفسها. من أمثلة التطبيقات (والفترات الزمنية المختارة بين القياسات): مراقبة الطائرات باستخدام الرادار المتعدد (5 و12 ثانية، حسب نطاق تغطية الرادار)، والمسح الجوي، والملاحة بنظام لوران-سي مع ساعة مستخدم عالية الدقة (حوالي 0.1 ثانية)، وبعض أنظمة الملاحة DME/DME للطائرات (حوالي 0.1 ثانية). عمومًا، تستخدم التطبيقات المُخصصة للاستخدام المتكرر: (أ) خوارزمية "التتبع" ^{[ 19 ]} (بالإضافة إلى خوارزمية حل التثليث)، والتي تُمكِّن من مقارنة القياسات التي جُمعت في أوقات مختلفة وحساب متوسطها بطريقة ما؛ و (ب) استخدام خوارزمية حل تكرارية، لأنها (ب1) تسمح بأعداد متفاوتة من القياسات (بما في ذلك القياسات الزائدة) و (ب2) لديها تخمين أولي في كل مرة يتم فيها استدعاء خوارزمية الحل.

أنظمة التثليث الهجينة

تُعدّ أنظمة التثليث الهجينة - وهي أنظمة لا تُصنّف ضمن أنظمة المدى الحقيقي ولا أنظمة المدى الزائف - ممكنة أيضاً. على سبيل المثال، في الشكل 1، إذا تم تحريك مراكز الدوائر إلى اليسار بحيث تكون C1 عند $x_{1}^{\prime }=-{\tfrac {1}{2}}U,y_{1}^{\prime }=0$ و C2 في $x_{2}^{\prime }={\tfrac {1}{2}}U,y_{2}^{\prime }=0$ ثم تقع نقطة الاهتمام P عند

{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })}{2U}}\\[4pt]y^{\prime }&=\pm {\frac {{\sqrt {(r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime })^{2}-U^{2}}}{\sqrt {U^{2}-(r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime })^{2}}}}{2U}}\end{aligned}}

يعتمد هذا الشكل من الحل بشكل صريح على مجموع وفرق $r_{1}^{\prime }$ و $r_{2}^{\prime }$ ولا يتطلب "تسلسلًا" من $x^{\prime }$ - حل لـ $y^{\prime }$ الحل. يمكن تنفيذه كنظام تحديد المواقع متعدد الأطراف حقيقي المدى عن طريق القياس $r_{1}^{\prime }$ و $r_{2}^{\prime }$ .

ومع ذلك، يمكن أيضًا تنفيذه كنظام تثليث متعدد هجين عن طريق القياس $r_{1}^{\prime }+r_{2}^{\prime }$ و $r_{1}^{\prime }-r_{2}^{\prime }$ باستخدام معدات مختلفة - على سبيل المثال، للمراقبة بواسطة رادار متعدد المواقع مزود بجهاز إرسال واحد وجهازي استقبال (بدلاً من رادارين أحاديي الموقع ). في حين أن الاستغناء عن أحد أجهزة الإرسال يُعد ميزة، إلا أن هناك "تكلفة" مقابلة: إذ يصبح هامش التزامن بين المحطتين معتمدًا على سرعة الانتشار (عادةً سرعة الضوء ) بدلاً من سرعة النقطة P ، وذلك لقياس كليهما بدقة. $r_{1}^{\prime }\pm r_{2}^{\prime }$ .

على الرغم من عدم تطبيقها عملياً، فقد تم بحث أنظمة تحديد المواقع الهجينة متعددة الأطراف لمراقبة الطائرات بالقرب من المطارات وكنظام احتياطي للملاحة عبر نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) في مجال الطيران. ^{[ 20 ]}

الحسابات الأولية والنهائية

دقة تحديد الموقع لنظام تحديد المواقع متعدد الأطراف ذي المدى الحقيقي - على سبيل المثال، دقة $(x,y)$ تعتمد إحداثيات النقطة P في الشكل 1 على عاملين: (1) دقة قياس المدى، و(2) العلاقة الهندسية بين P ومحطتي النظام C1 و C2 . ويمكن فهم ذلك من الشكل 4. تظهر المحطتان كنقطتين، وBLU تشير إلى وحدات خط الأساس. (نمط القياس متناظر حول كل من خط الأساس والمنصف العمودي له، وهو مُقتطع في الشكل). وكما هو شائع، تُعتبر أخطاء قياس المدى الفردية مستقلة عن المدى، ومستقلة إحصائيًا، وموزعة توزيعًا متطابقًا. يفصل هذا الافتراض المنطقي تأثيرات هندسة المستخدم والمحطة وأخطاء قياس المدى على الخطأ في القيمة المحسوبة. $(x,y)$ إحداثيات النقطة P. هنا، هندسة القياس هي ببساطة الزاوية التي تتقاطع عندها دائرتان، أو ما يعادلها، الزاوية بين الخطين P-C1 و P-C2 . عندما لا تقع النقطة P على دائرة، يكون الخطأ في موضعها متناسبًا تقريبًا مع المساحة المحصورة بين أقرب دائرتين زرقاوين وأقرب دائرتين أرجوانيتين.

بدون قياسات زائدة، لا يمكن لنظام التثليث الحقيقي أن يكون أكثر دقة من قياسات المدى، بل قد يكون أقل دقة بشكل ملحوظ إذا لم يتم اختيار هندسة القياس بشكل صحيح. ولهذا السبب، تفرض بعض التطبيقات قيودًا على موقع النقطة P. في حالة التثليث ثنائي الأبعاد (الإحداثيات الديكارتية)، تتخذ هذه القيود أحد شكلين متكافئين:

الزاوية الداخلية المسموح بها عند النقطة P بين الخطين P-C1 و P-C2 : الزاوية المثالية هي الزاوية القائمة، والتي تحدث على مسافات من خط الأساس تساوي نصف طول خط الأساس أو أقل؛ يمكن تحديد أقصى انحرافات مسموح بها عن الزاوية المثالية 90 درجة.
التخفيف الأفقي للدقة (HDOP)، الذي يضاعف خطأ المدى عند تحديد خطأ الموضع: بالنسبة للبعدين، فإن قيمة HDOP المثالية (الدنيا) هي الجذر التربيعي لـ 2 ( ${\sqrt {2}}\approx 1.414$ يحدث هذا عندما تكون الزاوية بين النقطتين P-C1 و P-C2 تساوي 90 درجة؛ ويمكن تحديد قيمة قصوى مسموح بها لـ HDOP. (هنا، تمثل نقاط HDOP المتساوية ببساطة مسار النقاط في الشكل 4 التي لها نفس زاوية التقاطع).

غالبًا ما يتضمن تخطيط نظام الملاحة أو المراقبة باستخدام التثليث متعدد الأطراف ذي المدى الحقيقي تحليلًا لتخفيف الدقة (DOP) لاتخاذ القرارات بشأن عدد المحطات ومواقعها، ومنطقة خدمة النظام (بعدان) أو حجم الخدمة (ثلاثة أبعاد). ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} يوضح الشكل 5 قيم تخفيف الدقة الأفقية (HDOPs) لنظام تثليث متعدد الأطراف ثنائي الأبعاد ذي محطتين. تكون قيمة HDOP لانهائية على طول خط الأساس وامتداداته، حيث يتم قياس بُعد واحد فقط من البُعدين. يجب أن يكون مستخدم هذا النظام تقريبًا في اتجاه جانبي لخط الأساس وضمن نطاق يعتمد على التطبيق. على سبيل المثال، بالنسبة لتحديدات الملاحة باستخدام DME/DME بواسطة الطائرات، فإن الحد الأقصى لقيمة HDOP المسموح بها من قِبل إدارة الطيران الفيدرالية الأمريكية هو ضعف الحد الأدنى الممكن، أي 2.828، ^{[ 23 ]} مما يحد من أقصى نطاق استخدام (الذي يحدث على طول منصف خط الأساس) إلى 1.866 ضعف طول خط الأساس. (المستوى الذي يحتوي على محطتي DME أرضيتين وطائرة ليس أفقيًا تمامًا، ولكنه عادة ما يكون كذلك تقريبًا.) وبالمثل، يختار المساحون النقطة P في الشكل 1 بحيث تشكل C1-C2-P مثلثًا متساوي الأضلاع تقريبًا (حيث HDOP = 1.633).

تُناقش الأخطاء في مسوحات التثليث في العديد من الوثائق. ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} وبشكل عام، يتم التركيز على آثار أخطاء قياس المدى، بدلاً من آثار الأخطاء العددية للخوارزمية.

التطبيقات

المسح الأرضي باستخدام طريقة التثليث
المسح الجوي
المسح الأثري البحري ^{[ 26 ]}
الملاحة الجوية باستخدام DME/DME RNAV ^{[ 23 ]}^{[ 27 ]}
تكامل الرادار المتعدد (على سبيل المثال، FAA ERAM ) ^{[ 28 ]}
الملاحة السماوية باستخدام طريقة اعتراض الارتفاع
طريقة التقاطع - الحل البياني لمسألة تقاطع الارتفاع
معايرة مقاييس التداخل الليزرية ^{[ 12 ]}
شوران ، أوبوا ، جي-إتش — أنظمة توجيه الطائرات المطورة للقصف "الأعمى"
نظام توزيع المعلومات التكتيكية المشتركة (JTIDS ) - نظام أمريكي/تابع لحلف الناتو يقوم (من بين قدرات أخرى) بتحديد مواقع المشاركين في الشبكة باستخدام نطاقات ما بين المشاركين.
طائرة إس آر-71 بلاكبيرد التابعة لسلاح الجو الأمريكي — تستخدم نظام الملاحة الفلكية بالقصور الذاتي
طائرة بي-2 سبيريت التابعة لسلاح الجو الأمريكي — تستخدم نظام الملاحة الفلكية بالقصور الذاتي
تقنية لوران-سي التجريبية ^{[ 2 ]}

تتضمن أنظمة الملاحة والمراقبة عادةً مركبات، وتتطلب من جهة حكومية أو منظمة أخرى نشر محطات متعددة تستخدم شكلاً من أشكال تكنولوجيا الراديو (أي الموجات الكهرومغناطيسية). يوضح الجدول التالي مزايا وعيوب استخدام تقنية تحديد المواقع المتعددة المدى الحقيقي في مثل هذا النظام.

مزايا وعيوب أنظمة الملاحة والمراقبة في المركبات
المزايا	العيوب
مواقع المحطات مرنة؛ إذ يمكن وضعها في المركز أو على الأطراف. تتراجع الدقة ببطء مع زيادة المسافة من المحطة (وهي عموماً أفضل من تحديد المدى الزائف). يتطلب محطة واحدة أقل من نظام تحديد المواقع متعدد المدى الزائف لا يتطلب تزامن المحطة جهداً كبيراً (يعتمد على سرعة نقطة الاهتمام، ويمكن معالجته عن طريق الملاحة التقديرية ).	غالباً ما يُطلب من المستخدم امتلاك كل من جهاز إرسال وجهاز استقبال تتأثر دقة النظام التعاوني بخطأ دوران المعدات لا يمكن استخدامه للمراقبة الخفية تتضمن المراقبة غير التعاونية خسائر في المسار تصل إلى القوة الرابعة للمسافة

غالبًا ما يُقارن تحديد المواقع بالمدى الحقيقي بتحديد المواقع بالمدى الزائف، إذ يتطلب كلاهما تحديد نطاقات المستخدم إلى محطات متعددة. ولعلّ تعقيد وتكلفة تجهيزات المستخدم هما العاملان الأهم في الحدّ من استخدام تحديد المواقع بالمدى الحقيقي في الملاحة والمراقبة للمركبات. بعض الاستخدامات لا تُمثّل الغرض الأصلي من نشر النظام ، مثل ملاحة الطائرات باستخدام نظام قياس المسافة (DME/DME).

انظر أيضاً

مسألة هندسة المسافة ، تقنية مماثلة مطبقة على الجزيئات
الملاحة السماوية - تقنية قديمة للملاحة تعتمد على الأجرام السماوية
معدات قياس المسافة (DME) - نظام يستخدم لقياس المسافة بين الطائرة ومحطة أرضية
المسافة الإقليدية
طريقة الاعتراض - تقنية بيانية تستخدم في الملاحة السماوية
جهاز تحديد المدى بالليزر
التثليث المتعدد – يعالج التثليث المتعدد النطاق الزائف
جهاز قياس المسافة - أنظمة تُستخدم لقياس المسافة بين نقطتين على الأرض
الاستئصال (التوجيه)
شوران - تم تطويره كنظام ملاحة للطائرات العسكرية، ثم استُخدم لاحقًا لأغراض مدنية
المسح
مقياس المسافة - أول جهاز إلكتروني لقياس المسافة يعمل بالموجات الدقيقة
التثليث – طريقة مسح تعتمد على قياس الزوايا

مراجع

↑ قيود الدقة لأنظمة التثليث الكروي (المدى-المدى) ، هاري ب. لي، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، مختبر لينكولن، رقم التقرير: DOT/TSC-RA-3-8-(1) (مذكرة فنية 1973-43)، 11 أكتوبر 1973
1 2 3 4 " نظام رو-رو لوران-سي المدمج مع الملاحة عبر الأقمار الصناعية للمسح البحري ". إس تي جرانت، المجلة الهيدروغرافية الدولية ، بدون تاريخ
↑ ويرتانين، ثيودور هـ. (1969). "تحديد المواقع بالليزر". مجلة قسم المسح ورسم الخرائط . 95 (1). الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين (ASCE): 81-92 . doi : 10.1061/jsueax.0000322 . ISSN 0569-8073 .
↑ إسكوبال، بي آر؛ فليجل، إتش إف؛ جافي، آر إم؛ مولر، بي إم؛ أونغ، كيه إم؛ فونروس، أو إتش (2013-08-07). "نظام قياس جيوديسي دقيق: نظام قياس ثلاثي الأبعاد متعدد الأطراف" . مجلة JPL الفصلية للمراجعات التقنية ، 2 (3) . تاريخ الاسترجاع: 2022-11-06 .
1 2 تأثير ساعة الروبيديوم على الملاحة المركبة المعززة بنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، تشاونيان تشانغ؛ جامعة كالجاري؛ ديسمبر 1997.
1 2 3 غيير، مايكل (يونيو 2016). تحليل الملاحة والمراقبة الجوية المرجعية للأرض . مكتبة النقل الوطنية التابعة لوزارة النقل الأمريكية: مركز جون أ. فولبي الوطني لأنظمة النقل التابع لوزارة النقل الأمريكية.
↑ تم استرجاع بيانات المسح الجوي لشركة أداسترا في 22 يناير 2019.
↑ "طبيعة المعلومات الجغرافية: التثليث" ، جامعة ولاية بنسلفانيا، 2018.
↑ "التثليث والامتداد إلى نظام تحديد المواقع العالمي"، بي تي فانغ، مجلة التوجيه والتحكم والديناميكيات ، المجلد 9 (1986)، الصفحات 715-717.
1 2 " الخوارزميات المغلقة في تحديد المواقع المتنقلة: الخرافات والمفاهيم الخاطئة "، نيلو سيرولا، وقائع ورشة العمل السابعة حول تحديد المواقع والملاحة والاتصالات 2010 (WPNC'10) ، 11 مارس 2010.
↑ "حل جبري لمعادلات نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)" ، ستيفن بانكروفت، معاملات IEEE في أنظمة الفضاء الجوي والإلكترونية ، المجلد: AES-21، العدد: 7 (يناير 1985)، الصفحات 56-59.
1 2 جهاز التتبع الليزري - نوع جديد من مقياس التداخل الليزري ذاتي التتبع ، كارل توماس شنايدر، IWAA2004، سيرن، جنيف، أكتوبر 2004
↑ "كيف يمكن لساعة ذرية على مستوى الشريحة أن تساعد في التخفيف من تداخل النطاق العريض" ؛ فانغ تشنغ تشان، ماثيو جويرجر، سامر خنافسه، بوريس بيرفان، وأوندري جاكوبوف؛ عالم نظام تحديد المواقع العالمي - الابتكارات ؛ مايو 2014.
↑ "نظام الهبوط بالميكروويف" ؛ توماس إي. إيفانز ؛ مجلة أنظمة الفضاء والإلكترونيات التابعة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات ؛ المجلد 1، العدد 5 ؛ مايو 1986.
↑ علم المثلثات الكروية ، إسحاق تودنتر، ماكميلان؛ الطبعة الخامسة، 1886.
↑ رسالة في علم المثلثات الكروية وتطبيقاتها في علم الجيوديسيا وعلم الفلك، مع أمثلة عديدة ، جون كيسي، دبلن، هودجز، فيجيس وشركاه، 1889.
↑ "الجيوديسيا القائمة على المتجهات" ، كريس فينيس. 2016.
↑ "STELLA (نظام لتقدير خط العرض وخط الطول فلكيًا)"، جورج كابلان، جون بانجرت، نانسي أوليفرسن؛ المرصد البحري الأمريكي، 1999.
↑ التتبع ودمج البيانات: دليل للخوارزميات ؛ واي. بار شالوم، بي. كيه. ويلت، إكس. تيان؛ 2011
↑ "الموقع البديل والملاحة والتوقيت: الحاجة إلى الملاحة الراديوية القوية" ؛ إم جيه نارينز، إل في إلدريدج، بي إنج، إس سي لو، إم جيه هاريسون، و آر كيناجي؛ فصل في ورشة العمل المشتركة لأنظمة الملاحة العالمية عبر الأقمار الصناعية للأكاديمية الوطنية للهندسة والأكاديمية الصينية للهندسة (2012).
↑ "تخفيف الدقة" ، ريتشارد لانجلي، عالم نظام تحديد المواقع العالمي ، مايو 1999، الصفحات 52-59.
↑ قيود الدقة لأنظمة التثليث الكروي (المدى-المدى) ، هاري ب. لي، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، مختبر لينكولن، مذكرة فنية 1973-43، 11 أكتوبر 1973.
1 2 "DME/DME للموقع البديل والملاحة والتوقيت (APNT)" ، روبرت دبليو ليلي وروبرت إريكسون، إدارة الطيران الفيدرالية، ورقة بيضاء، 23 يوليو 2012.
↑ الأساليب الإحصائية في المسح عن طريق التثليث ؛ ويليام نافيدي، ويليام إس مورفي الابن، وويلي هيرمان؛ 20 ديسمبر 1999.
↑ مقارنة دقة التثليث، والتثليث الجانبي، والتثليث الجانبي ؛ KL Provoro؛ معهد نوفوسيبيرسك لمهندسي الجيوديسيا؛ 1960.
↑ "التثليث في علم الآثار البحرية" ، يوتيوب، الإدارة الوطنية الأمريكية للمحيطات والغلاف الجوي، 2006.
↑ "دقة DME/DME"، مايكل تران، وقائع الاجتماع الفني الوطني لعام 2008 لمعهد الملاحة ، سان دييغو، كاليفورنيا، يناير 2008، ص 443-451.
↑ "أساسيات الرادار" ، كريستيان وولف، بدون تاريخ

روابط خارجية

stackexchange.com ، تطبيق PHP / Python

[Lee-1] قيود الدقة لأنظمة التثليث الكروي (المدى-المدى) ، هاري ب. لي، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، مختبر لينكولن، رقم التقرير: DOT/TSC-RA-3-8-(1) (مذكرة فنية 1973-43)، 11 أكتوبر 1973

[Grant-2] 1 2 3 4 " نظام رو-رو لوران-سي المدمج مع الملاحة عبر الأقمار الصناعية للمسح البحري ". إس تي جرانت، المجلة الهيدروغرافية الدولية ، بدون تاريخ

[Wirtanen_1969_pp._81–92-3] ويرتانين، ثيودور هـ. (1969). "تحديد المواقع بالليزر". مجلة قسم المسح ورسم الخرائط . 95 (1). الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين (ASCE): 81-92 . doi : 10.1061/jsueax.0000322 . ISSN 0569-8073 .

[Escobal_Fliegel_Jaffe_Muller_2013_p.-4] إسكوبال، بي آر؛ فليجل، إتش إف؛ جافي، آر إم؛ مولر، بي إم؛ أونغ، كيه إم؛ فونروس، أو إتش (2013-08-07). "نظام قياس جيوديسي دقيق: نظام قياس ثلاثي الأبعاد متعدد الأطراف" . مجلة JPL الفصلية للمراجعات التقنية ، 2 (3) . تاريخ الاسترجاع: 2022-11-06 .

[Zhang-5] 1 2 تأثير ساعة الروبيديوم على الملاحة المركبة المعززة بنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، تشاونيان تشانغ؛ جامعة كالجاري؛ ديسمبر 1997.

[Geyer-6] 1 2 3 غيير، مايكل (يونيو 2016). تحليل الملاحة والمراقبة الجوية المرجعية للأرض . مكتبة النقل الوطنية التابعة لوزارة النقل الأمريكية: مركز جون أ. فولبي الوطني لأنظمة النقل التابع لوزارة النقل الأمريكية.

[Aerodist-7] تم استرجاع بيانات المسح الجوي لشركة أداسترا في 22 يناير 2019.

[PSU-8] "طبيعة المعلومات الجغرافية: التثليث" ، جامعة ولاية بنسلفانيا، 2018.

[Fang1-9] "التثليث والامتداد إلى نظام تحديد المواقع العالمي"، بي تي فانغ، مجلة التوجيه والتحكم والديناميكيات ، المجلد 9 (1986)، الصفحات 715-717.

[Sirola-10] 1 2 " الخوارزميات المغلقة في تحديد المواقع المتنقلة: الخرافات والمفاهيم الخاطئة "، نيلو سيرولا، وقائع ورشة العمل السابعة حول تحديد المواقع والملاحة والاتصالات 2010 (WPNC'10) ، 11 مارس 2010.

[Bancroft-11] "حل جبري لمعادلات نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)" ، ستيفن بانكروفت، معاملات IEEE في أنظمة الفضاء الجوي والإلكترونية ، المجلد: AES-21، العدد: 7 (يناير 1985)، الصفحات 56-59.

[Schneider-12] 1 2 جهاز التتبع الليزري - نوع جديد من مقياس التداخل الليزري ذاتي التتبع ، كارل توماس شنايدر، IWAA2004، سيرن، جنيف، أكتوبر 2004

[Langley2-13] "كيف يمكن لساعة ذرية على مستوى الشريحة أن تساعد في التخفيف من تداخل النطاق العريض" ؛ فانغ تشنغ تشان، ماثيو جويرجر، سامر خنافسه، بوريس بيرفان، وأوندري جاكوبوف؛ عالم نظام تحديد المواقع العالمي - الابتكارات ؛ مايو 2014.

[Evans-14] "نظام الهبوط بالميكروويف" ؛ توماس إي. إيفانز ؛ مجلة أنظمة الفضاء والإلكترونيات التابعة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات ؛ المجلد 1، العدد 5 ؛ مايو 1986.

[Todhunter-15] علم المثلثات الكروية ، إسحاق تودنتر، ماكميلان؛ الطبعة الخامسة، 1886.

[Casey-16] رسالة في علم المثلثات الكروية وتطبيقاتها في علم الجيوديسيا وعلم الفلك، مع أمثلة عديدة ، جون كيسي، دبلن، هودجز، فيجيس وشركاه، 1889.

[Veness-17] "الجيوديسيا القائمة على المتجهات" ، كريس فينيس. 2016.

[Kaplan-18] "STELLA (نظام لتقدير خط العرض وخط الطول فلكيًا)"، جورج كابلان، جون بانجرت، نانسي أوليفرسن؛ المرصد البحري الأمريكي، 1999.

[Bar-Shalom-19] التتبع ودمج البيانات: دليل للخوارزميات ؛ واي. بار شالوم، بي. كيه. ويلت، إكس. تيان؛ 2011

[Narins-20] "الموقع البديل والملاحة والتوقيت: الحاجة إلى الملاحة الراديوية القوية" ؛ إم جيه نارينز، إل في إلدريدج، بي إنج، إس سي لو، إم جيه هاريسون، و آر كيناجي؛ فصل في ورشة العمل المشتركة لأنظمة الملاحة العالمية عبر الأقمار الصناعية للأكاديمية الوطنية للهندسة والأكاديمية الصينية للهندسة (2012).

[Langley-21] "تخفيف الدقة" ، ريتشارد لانجلي، عالم نظام تحديد المواقع العالمي ، مايو 1999، الصفحات 52-59.

[Lee1-22] قيود الدقة لأنظمة التثليث الكروي (المدى-المدى) ، هاري ب. لي، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، مختبر لينكولن، مذكرة فنية 1973-43، 11 أكتوبر 1973.

[Lilley-23] 1 2 "DME/DME للموقع البديل والملاحة والتوقيت (APNT)" ، روبرت دبليو ليلي وروبرت إريكسون، إدارة الطيران الفيدرالية، ورقة بيضاء، 23 يوليو 2012.

[Navidi-24] الأساليب الإحصائية في المسح عن طريق التثليث ؛ ويليام نافيدي، ويليام إس مورفي الابن، وويلي هيرمان؛ 20 ديسمبر 1999.

[Provoro-25] مقارنة دقة التثليث، والتثليث الجانبي، والتثليث الجانبي ؛ KL Provoro؛ معهد نوفوسيبيرسك لمهندسي الجيوديسيا؛ 1960.

[Mara-26] "التثليث في علم الآثار البحرية" ، يوتيوب، الإدارة الوطنية الأمريكية للمحيطات والغلاف الجوي، 2006.

[Tran-27] "دقة DME/DME"، مايكل تران، وقائع الاجتماع الفني الوطني لعام 2008 لمعهد الملاحة ، سان دييغو، كاليفورنيا، يناير 2008، ص 443-451.

[Wolff-28] "أساسيات الرادار" ، كريستيان وولف، بدون تاريخ

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗