مسافة الدائرة العظمى

في أنظمة الحاسوب ذات الدقة المنخفضة للأعداد العشرية ، قد تحتوي صيغة قانون جيب التمام الكروي على أخطاء تقريب كبيرة إذا كانت المسافة صغيرة (إذا كانت النقطتان تفصل بينهما كيلومتر واحد على سطح الأرض، فإن جيب تمام الزاوية المركزية يقترب من 0.99999999). أما بالنسبة للأعداد العشرية الحديثة ذات 64 بت ، فإن صيغة قانون جيب التمام الكروي المذكورة أعلاه لا تحتوي على أخطاء تقريب كبيرة للمسافات التي تزيد عن بضعة أمتار على سطح الأرض ^{[ 3 ]} .

صيغة هافرسين التالية هي صيغة أفضل من الناحية العددية للمسافات الصغيرة بناءً على علاقة طول الوتر المذكورة أعلاه: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &={\operatorname {archav} }{\Bigl (}\operatorname {hav} \Delta \phi +{\bigl (}1-\operatorname {hav} \Delta \phi -\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2}){\bigr )}\operatorname {hav} \Delta \lambda {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

تاريخياً، تم تبسيط استخدام هذه الصيغة من خلال توفر جداول لدالة هافرسين المعرفة بواسطة${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta }$و${\displaystyle \operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}}$.

يوضح ما يلي الصيغة المكافئة التي تعبر عن طول الوتر بشكل صريح: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\Delta \phi +\cos {\phi _{1}}\cos {\phi _{2}}\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }}\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda \,\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})\right)^{2}+\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda \,\sin {\tfrac {1}{2}}\Delta \phi \right)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

على الرغم من أن هذه الصيغة دقيقة لمعظم المسافات على سطح الكرة، إلا أنها تعاني أيضًا من أخطاء التقريب في الحالة الخاصة (والنادرة نوعًا ما) للنقاط المتقابلة. أما الصيغة الدقيقة لجميع المسافات فهي الحالة الخاصة التالية من صيغة فينسنتي للقطع الناقص ذي المحورين الأكبر والأصغر المتساويين: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\textstyle {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}}$$ أين​${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$دالة الظل العكسي ذات الوسيطين . استخدام atan2 يضمن اختيار الربع الصحيح.

يتم إيجاد تمثيل آخر للصيغ المماثلة، ولكن باستخدام المتجهات العمودية بدلاً من خطوط العرض والطول لوصف المواضع، عن طريق الجبر المتجهي ثلاثي الأبعاد ، باستخدام الضرب النقطي أو الضرب الاتجاهي أو مزيج منهما: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\[5mu]&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$تمثل هذه المتجهات العمودية على سطح الكرة عند الموضعين 1 و2. وكما هو الحال في المعادلات السابقة التي تعتمد على خطوط الطول والعرض، فإن التعبير القائم على دالة الظل العكسي (arctan) هو التعبير الوحيد الذي يكون مشروطًا جيدًا لجميع الزوايا . ويتطلب هذا التعبير معرفة مقدار حاصل الضرب الاتجاهي مقسومًا على حاصل الضرب القياسي.

الخط المار عبر الفضاء ثلاثي الأبعاد بين نقطتين مهمتين على سطح الأرض الكروية هو وتر الدائرة العظمى بين هاتين النقطتين. ويمكن تحديد الزاوية المركزية بينهما من طول هذا الوتر. وتتناسب المسافة على طول الدائرة العظمى طرديًا مع الزاوية المركزية.

طول وتر الدائرة العظمى،${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}}$يمكن حسابها على النحو التالي للكرة الوحدوية المقابلة، عن طريق الطرح الديكارتي : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1},\\[3mu]\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1},\\[3mu]\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1},\\[3mu]\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X}){}^{2}+(\Delta {Y}){}^{2}+(\Delta {Z}){}^{2}}}.\end{aligned}}}$$

الاستبدال${\displaystyle \lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$و${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$يمكن معالجة هذه الصيغة جبريًا إلى الشكل الموضح أعلاه في §  الصيغ الحسابية .