ثابت مكافئ عالمي

الثابت المكافئ العام هو ثابت رياضي .

يُعرَّف هذا المقياس بأنه نسبة طول قوس القطعة المكافئة المتكونة من الوتر البؤري إلى البعد البؤري لأي قطع مكافئ . البعد البؤري يساوي ضعف البعد البؤري . يُرمز لهذه النسبة بالرمز P. [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] في} الرسم التوضيحي، يُمثَّل الوتر البؤري باللون الأزرق، والقطعة المكافئة المتكونة منه باللون الأحمر، والبعد البؤري باللون الأخضر. (بؤرة القطع المكافئ هي النقطة F ، والدليل هو الخط L ). 

قيمة P هي ^{[ 4 ]}

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }$

(التسلسل A103710 في OEIS ) . تتميز الدائرة والقطع المكافئ عن باقي القطوع المخروطية بوجود ثابت عالمي لهما. أما النسب المماثلة للقطع الناقص والقطع الزائد فتعتمد على انحرافهما المركزي . وهذا يعني أن جميع الدوائر متشابهة ، وجميع القطع المكافئ متشابهة، بينما القطع الناقص والقطع الزائد ليسا كذلك.

يأخذ${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$كمعادلة القطع المكافئ. المعلمة البؤرية هي${\displaystyle p=2f}$والعضلة المستقيمة النصفية هي${\displaystyle \ell =2f}$. $${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

P هو عدد متسامٍ .

البرهان . لنفترض أن P جبري . إذن${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$يجب أن تكون جبرية أيضًا. ومع ذلك، وفقًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس ،${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$سيكون متسامياً، وهو ليس كذلك. لذا فإن P متسامٍ.

بما أن P عدد متسامٍ، فهو أيضاً عدد غير نسبي .

متوسط ​​المسافة من نقطة مختارة عشوائياً في المربع الواحد إلى مركزه هو ^{[ 5 ]}

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

دليل .

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{aligned}}}$

وهناك أيضًا سبب هندسي مثير للاهتمام لظهور هذا الثابت في المربعات ذات الوحدة. متوسط ​​المسافة بين مركز مربع الوحدة ونقطة على حدود المربع هو${\displaystyle {P \over 4}}$إذا قمنا بأخذ عينة منتظمة من كل نقطة على محيط المربع، وأخذنا قطعًا مستقيمة (مرسومة من المركز) تتوافق مع كل نقطة، وجمعناها معًا عن طريق توصيل كل قطعة مستقيمة بجانب الأخرى، وتصغيرها، فإن المنحنى الناتج يكون قطعًا مكافئًا. ^{[ 6 ]}