ثابت رياضي

الجذر التربيعي للعدد 2 ، المعروف أيضًا باسم جذر 2 أو ثابت فيثاغورس ، ويُكتب على الصورة √2 ، هو العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي إذا ضُرب في نفسه يُعطي العدد 2. ويُطلق عليه تحديدًا الجذر التربيعي الرئيسي للعدد 2 ، لتمييزه عن العدد السالب الذي له نفس الخاصية.

هندسيًا، الجذر التربيعي للعدد 2 هو طول قطر مربع طول ضلعه وحدة واحدة ؛ وهذا ما يُستنتج من نظرية فيثاغورس . وهو عدد غير نسبي ، وربما أول عدد يُعرف بهذا الاسم، وهو عدد جبري . قيمته العددية، بعد تقريبها إلى 50 منزلة عشرية، هي:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694... (التسلسل A002193 في OEIS ) .

بدلاً من ذلك، كان يُستخدم التقريب السريع 99/70 (≈ 1.41429) للجذر التربيعي للعدد اثنين بكثرة قبل شيوع استخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية وأجهزة الحاسوب . على الرغم من أن مقامه 70 فقط، إلا أنه يختلف عن القيمة الصحيحة بأقل من 1/10000 (حوالي 7.2 × 10⁻⁵ ⁾ .

كسرها المستمر البسيط دوري ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

للثابت π (باي) تعريف طبيعي في الهندسة الإقليدية، وهو النسبة بين محيط الدائرة وقطرها . ويمكن إيجاده في العديد من المواضع الأخرى في الرياضيات، مثل التكامل الغاوسي ، والجذور المركبة للوحدة ، وتوزيعات كوشي في الاحتمالات . مع ذلك، لا يقتصر انتشاره على الرياضيات البحتة ، بل يظهر في العديد من الصيغ في الفيزياء، والعديد من الثوابت الفيزيائية تُعرَّف بشكل طبيعي باستخراج π أو مقلوبه كعامل مشترك. على سبيل المثال، دالة الموجة للحالة الأرضية لذرة الهيدروجين هي

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},}$

أين${\displaystyle a_{0}}$هو نصف قطر بور .

π هو عدد غير نسبي ، وعدد متسامٍ ، ودورة جبرية .

القيمة العددية لـ π هي تقريبًا:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... (التسلسل A000796 في OEIS ) .

تُعطى تقريبات جيدة بشكل غير عادي بواسطة الكسور 22/7 و 355/113 .

يُعدّ حفظ وحساب المزيد من أرقام π هدفاً لتحقيق رقم قياسي عالمي.

يظهر عدد أويلر e ، المعروف أيضًا باسم ثابت النمو الأسي ، في العديد من مجالات الرياضيات، وأحد التعريفات الممكنة له هو قيمة التعبير التالي:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

يرتبط الثابت e ارتباطًا جوهريًا بالدالة الأسية${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$.

اكتشف عالم الرياضيات السويسري جاكوب برنولي أن e تنشأ في الفائدة المركبة : إذا بدأ حساب بمبلغ 1 دولار، ويحقق فائدة بمعدل سنوي R ، فعندما يميل عدد فترات التراكم في السنة إلى اللانهاية (وهي حالة تُعرف باسم التراكم المستمر )، فإن مبلغ المال في نهاية العام سيقترب من e ^R دولار.

للثابت e تطبيقات في نظرية الاحتمالات ، حيث يظهر بطريقة لا ترتبط بشكل واضح بالنمو الأسي. على سبيل المثال، لنفترض أن ماكينة قمار باحتمالية فوز 1 من n يتم لعبها n مرة، فعندئذٍ، بالنسبة لقيم n الكبيرة (مثل مليون)، فإن احتمال عدم الفوز بأي شيء سيؤول إلى 1/ e عندما تؤول n إلى اللانهاية.

تطبيق آخر للعدد e ، اكتشفه جزئيًا جاكوب برنولي بالتعاون مع عالم الرياضيات الفرنسي بيير ريمون دي مونتمورت ، يكمن في مسألة التبديلات ، والمعروفة أيضًا بمسألة فحص القبعات . ^{[ 2 ]} في هذه المسألة، يُدعى n ضيفًا إلى حفلة، وعند الباب، يُسلّم كل ضيف قبعته إلى كبير الخدم، الذي يضعها بعد ذلك في صناديق مُعَلَّمة. لا يعرف كبير الخدم أسماء الضيوف، وبالتالي يجب عليه وضعها في صناديق مختارة عشوائيًا. تكمن مسألة دي مونتمورت في: ما احتمال عدم وضع أي من القبعات في الصندوق الصحيح؟ الإجابة هي

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

والتي، عندما يؤول n إلى اللانهاية، تقترب من 1/ e .

العدد e هو عدد غير نسبي وعدد متسامٍ.

القيمة العددية لـ e هي تقريبًا:

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (التسلسل A001113 في OEIS ) .

الوحدة التخيلية ^، أو العدد التخيلي الواحدي ، ويرمز لها بالرمز i ، هي مفهوم رياضي يوسع نطاق نظام الأعداد الحقيقية ليشمل نظام الأعداد المركبة . وتتمثل الخاصية الأساسية للوحدة التخيلية في أن i² = -1 . وقد صِيغ مصطلح " تخيلي " لأنه لا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب .

يوجد في الواقع جذران تربيعيان مركبان للعدد -1، وهما i و -i ، تمامًا كما يوجد جذران تربيعيان مركبان لكل عدد حقيقي آخر (باستثناء الصفر ، الذي له جذر تربيعي مزدوج واحد).

في السياقات التي يكون فيها الرمز i غامضًا أو إشكاليًا، يُستخدم أحيانًا الرمز j أو الحرف اليوناني iota ( ι ). وينطبق هذا بشكل خاص على الهندسة الكهربائية وهندسة أنظمة التحكم ، حيث يُرمز غالبًا بالوحدة التخيلية بالرمز j ، لأن i يُستخدم عادةً للدلالة على التيار الكهربائي .

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

صيغة صريحة للعدد النوني في متتالية فيبوناتشي تتضمن النسبة الذهبية φ

يظهر العدد φ ، المعروف أيضًا بالنسبة الذهبية ، بكثرة في الهندسة ، لا سيما في الأشكال ذات التناظر الخماسي . في الواقع، طول قطر الخماسي المنتظم يساوي φ مضروبًا في طول ضلعه. رؤوس المجسم العشري الوجوه المنتظم هي رؤوس ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة . كما أنه مرتبط بمتتالية فيبوناتشي ، المرتبطة بالنمو بالتكرار . ^{[ 3 ]} أثبت كبلر أنه نهاية نسبة أعداد فيبوناتشي المتتالية. ^{[ 4 ]} تتميز النسبة الذهبية بأبطأ تقارب للكسر المستمر بين جميع الأعداد غير النسبية. ^{[ 5 ]} لهذا السبب، تُعد النسبة الذهبية من أسوأ حالات نظرية لاغرانج للتقريب ، وهي حالة قصوى لمتباينة هورويتز للتقريبات الديوفانتية للأعداد غير النسبية. قد يكون هذا هو السبب في أن الزوايا القريبة من النسبة الذهبية تظهر غالبًا في الترتيب الورقي (نمو النباتات). ^{[ 6 ]} وهي تساوي تقريبًا:

1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576... (التسلسل A001622 في OEIS ) .

أو بتعبير أدق${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

يُعرَّف ثابت أويلر أو ثابت أويلر-ماسكيروني بأنه الفرق النهائي بين المتسلسلة التوافقية واللوغاريتم الطبيعي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]\end{aligned}}}$

يظهر هذا المفهوم بكثرة في الرياضيات، لا سيما في سياقات نظرية الأعداد مثل نظرية ميرتنز الثالثة أو معدل نمو دالة القاسم . ويرتبط هذا المفهوم بدالة غاما ومشتقاتها، وكذلك بدالة زيتا ، وتوجد العديد من التكاملات والمتسلسلات المختلفة التي تتضمنه.${\displaystyle \gamma }$.

على الرغم من شيوع ثابت أويلر-ماسكيروني، إلا أن العديد من خصائصه لا تزال مجهولة. ويشمل ذلك الأسئلة الرئيسية المفتوحة حول ما إذا كان عددًا نسبيًا أم غير نسبي، وما إذا كان جبريًا أم متساميًا. في الواقع،${\displaystyle \gamma }$وُصِفَ بأنه ثابت رياضي "مظلل فقط"${\displaystyle \pi }$و${\displaystyle e}$من حيث الأهمية." ^{[ 7 ]}

القيمة العددية لـ${\displaystyle \gamma }$وهو ما يقارب:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992... (التسلسل A001620 في OEIS ) .

يُعرَّف ثابت أبيري بأنه مجموع مقلوب مكعبات الأعداد الطبيعية:$$//$$إنها القيمة الخاصة لدالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta (s)}$في${\displaystyle s=3}$بدأ السعي لإيجاد قيمة دقيقة لهذا الثابت بدلالة ثوابت أخرى معروفة ودوال أولية عندما حلّ أويلر مسألة بازل الشهيرة بإعطاء${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}}$لم يتم العثور على مثل هذه القيمة حتى الآن، ويُعتقد أنها غير موجودة. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، توجد العديد من تمثيلات${\displaystyle \zeta (3)}$من حيث المتسلسلات اللانهائية.

ينشأ ثابت أبيري بشكل طبيعي في عدد من المسائل الفيزيائية، بما في ذلك الحدود من الدرجة الثانية والثالثة لنسبة الدوران المغناطيسي للإلكترون ، والتي يتم حسابها باستخدام الديناميكا الكهربائية الكمومية . ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \zeta (3)}$من المعروف أنه عدد غير نسبي، وقد أثبت ذلك عالم الرياضيات الفرنسي روجر أبيري في عام 1979. ومع ذلك، فإنه ليس من المعروف ما إذا كان عددًا جبريًا أم متساميًا.

القيمة العددية لثابت أبيري هي تقريبًا:

1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 34049... (التسلسل A002117 في OEIS ) .

يُعرَّف ثابت كاتالان بأنه المجموع المتناوب لمقلوبات الأعداد المربعة الفردية :

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots }$

إنها القيمة الخاصة لدالة بيتا ديريشليه${\displaystyle \beta (s)}$في${\displaystyle s=2}$يظهر ثابت كاتالان بشكل متكرر في التوافقية ونظرية الأعداد ، وكذلك خارج نطاق الرياضيات مثل حساب توزيع كتلة المجرات الحلزونية . ^{[ 10 ]}

ولا تزال الأسئلة المتعلقة بالطبيعة الحسابية لهذا الثابت بلا إجابة.${\displaystyle G}$وقد أطلق عليه اسم "الثابت الأساسي الذي لا يزال عدم عقلانيته وتجاوزه (على الرغم من الشك القوي) غير مثبت". ^{[ 11 ]} هناك العديد من التمثيلات التكاملية والمتسلسلة لثابت كاتالان.

وقد سميت على اسم عالم الرياضيات الفرنسي والبلجيكي تشارلز أوجين كاتالان .

القيمة العددية لـ${\displaystyle G}$وهو ما يقارب:

0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167... (التسلسل A006752 في OEIS ) .

تُعدّ تكرارات الخرائط المتصلة أبسط الأمثلة على نماذج الأنظمة الديناميكية . ^{[ 12 ]} سُمّيت ثوابت فيجنباوم نسبةً إلى الفيزيائي الرياضي ميتشل فيجنباوم ، وتظهر في هذه العمليات التكرارية: فهي ثوابت رياضية للخرائط اللوجستية ذات النقاط القصوى التربيعية ^{[ 7 ]} ومخططات تشعبها . تحديدًا، الثابت α هو النسبة بين عرض أحد فروع الدالة وعرض أحد فرعيها، والثابت δ هو النسبة الحدية لكل فترة تشعب إلى الفترة التالية بين كل تشعب يضاعف الدورة .

تُعدّ الخريطة اللوجستية تمثيلاً متعدد الحدود ، وكثيراً ما تُستشهد بها كمثال نموذجي لكيفية نشوء السلوك الفوضوي من معادلات ديناميكية غير خطية بسيطة للغاية. وقد شاع استخدام هذه الخريطة في ورقة بحثية رائدة نُشرت عام 1976 من قِبل عالم الأحياء الأسترالي روبرت ماي ، ^{[ 13 ]} جزئياً كنموذج ديموغرافي منفصل الزمن يُشابه المعادلة اللوجستية التي وضعها بيير فرانسوا فيرهولست . وتهدف معادلة الفرق إلى رصد تأثيري التكاثر والمجاعة.

تُشابه ثوابت فيجنباوم في نظرية التشعب π في الهندسة و e في حساب التفاضل والتكامل . ولا يُعرف عن أي منهما أنه عدد غير نسبي أو حتى عدد متعالٍ. ومع ذلك، توجد براهين على عموميتهما . ^{[ 14 ]}

القيم العددية التقريبية لكل من δ و α هي:

4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576... (التسلسل A006890 في OEIS ) .

2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714... (التسلسل A006891 في OEIS ) .

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

ثابت ليوفيل هو مثال بسيط على العدد المتسامي .

بعض الثوابت، مثل الجذر التربيعي للعدد 2 ، وثابت ليوفيل، وثابت شامبرنون :

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

ليست هذه ثوابت رياضية مهمة، لكنها تظل ذات أهمية لكونها مجرد تمثيلات بسيطة لمجموعات خاصة من الأعداد، وهي الأعداد غير النسبية ^{[ 16 ]} ، والأعداد المتسامية ^{[ 17 ]} ، والأعداد العادية (في النظام العشري) ^{[ 18 ]} على التوالي. يُنسب اكتشاف الأعداد غير النسبية عادةً إلى فيثاغورس هيباسوس الميتابونتي، الذي أثبت، على الأرجح هندسيًا، عدم نسبية الجذر التربيعي للعدد 2. أما ثابت ليوفيل، المسمى نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف ليوفيل ، فقد كان أول عدد يُثبت أنه متسامٍ. ^{[ 19 ]}

في فرع نظرية المعلومات الخوارزمية من علوم الحاسوب ، يُعرف ثابت تشايتين بأنه العدد الحقيقي الذي يمثل احتمال توقف آلة تورينغ مختارة عشوائيًا ، وهو ناتج عن بناء ابتكره عالم الرياضيات وعلوم الحاسوب الأرجنتيني الأمريكي غريغوري تشايتين . وعلى الرغم من أن ثابت تشايتين غير قابل للحساب ، فقد ثبت أنه عدد متسامٍ وطبيعي . ولا يُعد ثابت تشايتين ثابتًا عالميًا، إذ يعتمد بشكل كبير على الترميز العددي المستخدم في آلات تورينغ؛ ومع ذلك، فإن خصائصه المهمة مستقلة عن هذا الترميز.

من الشائع التعبير عن القيمة العددية لثابتٍ ما باستخدام تمثيله العشري (أو الأرقام القليلة الأولى منه). لكن هذا التمثيل قد يُسبب إشكاليات لسببين: أولًا، على الرغم من أن الأعداد النسبية لها تمثيل عشري محدود أو دوري، فإن الأعداد غير النسبية لا تملك تمثيلًا عشريًا مماثلًا، مما يجعل وصفها الكامل بهذه الطريقة مستحيلًا. ثانيًا، التمثيل العشري للعدد ليس بالضرورة فريدًا. على سبيل المثال، التمثيلان 0.999... و1 متكافئان ^{[ 20 ] [ 21 ]} بمعنى أنهما يُمثلان العدد نفسه.

لطالما كان حساب أرقام التمثيل العشري للثوابت مهمة شائعة لقرون عديدة. فعلى سبيل المثال، أمضى عالم الرياضيات الألماني لودولف فان كولين، في القرن السادس عشر، جزءًا كبيرًا من حياته في حساب أول 35 رقمًا من قيمة باي (π). ^{[ 22 ]} وباستخدام الحواسيب والحواسيب العملاقة ، تم حساب بعض الثوابت الرياضية، بما في ذلك π و e والجذر التربيعي للعدد 2، لأكثر من مئة مليار رقم. وقد طُوّرت خوارزميات سريعة ، بعضها - كما هو الحال مع ثابت أبيري - سريع بشكل غير متوقع.

${\displaystyle G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$

يُعرَّف عدد غراهام باستخدام تدوين كنوت للسهم العلوي

تختلف بعض الثوابت اختلافًا كبيرًا عن النوع المعتاد لدرجة أنه تم ابتكار ترميز جديد لتمثيلها بشكل معقول. يوضح عدد غراهام هذا الأمر باستخدام ترميز السهم المتجه للأعلى الخاص بكنوث . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

قد يكون من المفيد تمثيلها باستخدام الكسور المستمرة لإجراء دراسات متنوعة، بما في ذلك التحليل الإحصائي. تمتلك العديد من الثوابت الرياضية صيغة تحليلية ، أي يمكن بناؤها باستخدام عمليات معروفة تسهل حسابها. مع ذلك، لا تمتلك جميع الثوابت صيغًا تحليلية معروفة؛ فثابت غروسمان ^{[ 25 ]} وثابت فوياس ^{[ 26 ]} مثالان على ذلك.

يُعدّ استخدام الأحرف لتمثيل الثوابت وسيلة شائعة لجعل الترميز أكثر إيجازًا. ومن الأعراف الشائعة ، التي بدأها رينيه ديكارت في القرن السابع عشر وليونهارد أويلر في القرن الثامن عشر، استخدام الأحرف الصغيرة من بداية الأبجدية اللاتينية.${\displaystyle a,b,c,\dots }$أو الأبجدية اليونانية${\displaystyle \alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots }$عند التعامل مع الثوابت بشكل عام.

ومع ذلك، بالنسبة للثوابت الأكثر أهمية، قد تكون الرموز أكثر تعقيدًا وتحتوي على حرف إضافي، أو علامة نجمية ، أو رقم، أو علامة ليمنيسكات ، أو تستخدم أبجديات مختلفة مثل العبرية أو السيريلية أو القوطية . ^{[ 24 ]}

ثابت إردوش-بورفين${\displaystyle E_{B}}$ثابت إمبري-تريفثين${\displaystyle \beta ^{*}}$ثابت برون للأعداد الأولية التوأم${\displaystyle B_{2}}$ثوابت شامبرنون${\displaystyle C_{b}}$العدد الأصلي ألف صفر${\displaystyle \aleph _{0}}$

أمثلة على أنواع مختلفة من الترميز للثوابت

أحيانًا، يكون الرمز الذي يمثل ثابتًا كلمة كاملة. على سبيل المثال، صاغ ابن شقيق عالم الرياضيات الأمريكي إدوارد كاسنر ، البالغ من العمر 9 سنوات، اسمي "جوجول" و "جوجولبلكس" . ^{[ 24 ] [ 27 ]}

${\displaystyle \mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}}$

أما الأسماء الأخرى فهي إما مرتبطة بمعنى الثابت ( الثابت المكافئ العالمي ، ثابت الأعداد الأولية التوأم ، ...) أو بشخص معين ( ثابت سيربينسكي ، ثابت جوزيفسون ، وما إلى ذلك).