رقم لا يُمس

في الرياضيات ، يُعرف العدد غير القابل للمس بأنه عدد صحيح موجب لا يمكن التعبير عنه كمجموع جميع القواسم الصحيحة لأي عدد صحيح موجب. أي أن هذه الأعداد لا تُمثل دالة مجموع الأجزاء . ويعود تاريخ دراستها على الأقل إلى أبي منصور البغدادي (حوالي عام 1000 ميلادي)، الذي لاحظ أن العددين 2 و5 كلاهما غير قابل للمس. ^{[ 1 ]}

• الرقم 4 ليس منيعاً، لأنه يساوي مجموع القواسم الصحيحة للرقم 9: 1  +  3  =  4.
• العدد 5 لا يمكن المساس به، لأنه ليس مجموع القواسم الصحيحة لأي عدد صحيح موجب: 5  =  1  +  4 هي الطريقة الوحيدة لكتابة 5 كمجموع أعداد صحيحة موجبة مختلفة بما في ذلك 1، ولكن إذا كان 4 يقسم عددًا، فإن 2 يقسمه أيضًا، لذلك لا يمكن أن يكون 1  +  4 مجموع جميع القواسم الصحيحة لأي عدد (لأن قائمة العوامل يجب أن تحتوي على كل من 4 و 2).
• الرقم 6 ليس منيعاً، لأنه يساوي مجموع القواسم الصحيحة للرقم 6 نفسه: 1  +  2  +  3  =  6.

الأرقام القليلة الأولى التي لا يمكن المساس بها هي

2 ، 5 ، 52 ، 88 ، 96 ، 120 ، 124 ، 146 ، 162 ، 188 ، 206 ، 210 ، 216 ، 238 ، 246 ، 248 ، 262 ، 268 ، 276 ، 288 ، 290 ، 292 ، 304 ، 306 ، 322 ، 324 ، 326 ، 336، 342، 372، 406، 408، 426، 430، 448، 472، 474، 498، ... (التسلسل A005114 في OEIS ) .

يُعتقد أن العدد 5 هو العدد الفردي الوحيد الذي لا يمكن المساس به، لكن هذا لم يُثبت بعد. ويستند هذا إلى صيغة أقوى قليلاً من حدسية غولدباخ ، حيث أن مجموع القواسم الصحيحة للعدد pq (حيث p و q عددان أوليان مختلفان) يساوي 1 + p + q . وبالتالي، إذا أمكن كتابة العدد n كمجموع عددين أوليين مختلفين، فإن n + 1 ليس عددًا لا يمكن المساس به. ومن المتوقع أن يكون كل عدد زوجي أكبر من 6 هو مجموع عددين أوليين مختلفين، لذا فمن المحتمل ألا يكون أي عدد فردي أكبر من 7 عددًا لا يمكن المساس به.${\displaystyle 1=\سيجما (2)-2}$،${\displaystyle 3=\سيجما (4)-4}$،${\displaystyle 7=\سيجما (8)-8}$لذا، فإن العدد 5 هو العدد الفردي الوحيد الذي لا يمكن المساس به. ^{[ 2 ]} وبالتالي، يبدو أنه باستثناء 2 و5، فإن جميع الأعداد التي لا يمكن المساس بها هي أعداد مركبة (لأن جميع الأعداد الزوجية مركبة باستثناء 2). لا يوجد عدد كامل لا يمكن المساس به، لأنه على الأقل يمكن التعبير عنه كمجموع قواسمه الحقيقية . وبالمثل، لا يوجد أي عدد من الأعداد الودية أو الاجتماعية لا يمكن المساس به. كذلك، لا يوجد أي عدد من ^أعداد ميرسين لا يمكن المساس به، لأن Mn ₌ 2n - 1 يساوي مجموع قواسم 2n ^{الحقيقية} .

لا يوجد عدد لا يمكن المساس به يزيد بمقدار 1 عن عدد أولي ، لأنه إذا كان p عددًا أوليًا، فإن مجموع القواسم الصحيحة لـ ^p² هو p + 1. كذلك، لا يوجد عدد لا يمكن المساس به يزيد بمقدار 3 عن عدد أولي، باستثناء 5، لأنه إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن مجموع القواسم الصحيحة لـ 2p هو p + 3 .      

توجد أعداد لا نهائية لا يمكن لمسها، وهي حقيقة أثبتها بول إيردوس . ^{[ 3 ]} ووفقًا لتشن وتشاو، فإن كثافتها الطبيعية لا تقل عن d > 0.06. ^{[ 4 ]}

• تسلسل الحصص
• غير متحمل
• غير مختلط
• رقم غريب

• ريتشارد ك. جاي ، مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد (الطبعة الثالثة)، دار نشر سبرينغر ، 2004، رقم ISBN 0-387-20860-7القسم B10.

• تسلسل OEIS A070015 (أصغر قيمة m بحيث يكون مجموع أجزاء m يساوي n أو 0 إذا لم يكن هناك مثل هذا الرقم)