تخمين غولدباخ

تُعدّ حدسية غولدباخ واحدة من أقدم وأشهر المسائل غير المحلولة في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموماً . وتنص على أن كل عدد زوجي طبيعي أكبر من 2 هو مجموع عددين أوليين .

وقد ثبت أن هذه الفرضية صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية الأقل من4 × 10 ¹⁸ ، لكنها لا تزال غير مثبتة على الرغم من الجهود الكبيرة المبذولة.

تاريخ

الأصول

في 7 يونيو 1742، كتب عالم الرياضيات البروسي كريستيان غولدباخ رسالة إلى ليونارد أويلر (الرسالة رقم XLIII)، ^{[ 2 ]} اقترح فيها التخمين التالي:

كل عدد صحيح يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين يمكن كتابته أيضاً كمجموع أي عدد من الأعداد الأولية (بما في ذلك الواحد) كما يشاء المرء، حتى تصبح جميع الحدود وحدات. ^{[ أ ]}

كان غولدباخ يتبع العرف الذي تم التخلي عنه الآن، وهو اعتبار العدد 1 عددًا أوليًا ، ^{[ 3 ]} بحيث يكون مجموع الآحاد مجموعًا للأعداد الأولية. ثم اقترح تخمينًا ثانيًا في هامش رسالته، وهو ما يستلزم التخمين الأول: ^{[ ب ]}

يبدو على الأقل أن كل عدد صحيح أكبر من 2 يمكن كتابته كمجموع ثلاثة أعداد أولية. ^{[ ج ]}

ردّ أويلر في رسالة مؤرخة في 30 يونيو 1742 ^{[ 4 ]} وذكّر غولدباخ بمحادثة سابقة دارت بينهما ( "... so Ew. vormals mit mir communicirt haben ..." )، حيث أشار غولدباخ إلى أن الفرضية الأولى من هاتين الفرضيتين ستترتب على هذا البيان

يمكن كتابة كل عدد زوجي موجب على شكل مجموع عددين أوليين.

وهذا في الواقع يعادل تخمينه الثاني، وهو تخمين هامشي. في الرسالة المؤرخة في 30 يونيو 1742، ذكر أويلر ما يلي: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

أعتبر أن ... كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين، نظرية مؤكدة تماماً، على الرغم من أنني لا أستطيع إثباتها. ^{[ د ]}

حدسية ديكارت الأضعف

كتب رينيه ديكارت : "يمكن التعبير عن كل عدد زوجي كمجموع ثلاثة أعداد أولية على الأكثر." ^{[ 7 ]} هذه الفرضية مشابهة لفرضية غولدباخ، لكنها أضعف منها. قال بول إيردوس : "في الواقع، اكتشف ديكارت هذا قبل غولدباخ... لكن من الأفضل أن تُسمى الفرضية باسم غولدباخ، لأنه من الناحية الرياضية، كان ديكارت ثريًا جدًا بينما كان غولدباخ فقيرًا جدًا." ^{[ 8 ]}

نتائج جزئية

تُعدّ حدسية غولدباخ المتعلقة بمجموع عددين أوليين أكثر صعوبةً بكثير من حدسية غولدباخ الضعيفة ، التي تنص على أن كل عدد فردي أكبر من 5 هو مجموع ثلاثة أعداد أولية. باستخدام طريقة فينوغرادوف ، بيّن نيكولاي تشوداكوف ^{[ 9 ]} ، ويوهانس فان دير كوربوت ^{[ 10 ]} ، وثيودور إسترمان ^{[ 11 ]} (1937-1938) أنه يمكن كتابة جميع الأعداد الزوجية تقريبًا على شكل مجموع عددين أوليين (بمعنى أن نسبة الأعداد الزوجية حتى قيمة $N$ التي يمكن كتابتها بهذه الطريقة تقترب من 1 مع ازدياد $N$ ). في عام 1930، أثبت ليف شنيرلمان أن أي عدد طبيعي أكبر من 1 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين لا يزيد عن $C$ ، حيث $C$ ثابت قابل للحساب؛ انظر كثافة شنيرلمان ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} . ثابت شنيرلمان هو أصغر عدد $C$ يحقق هذه الخاصية. وقد حصل شنيرلمان نفسه على $C < ٨٠٠٠٠٠. وقد تم تعزيز هذه النتيجة لاحقًا من قبل$ العديد من المؤلفين، مثل أوليفييه راماري ، الذي أثبت في عام ١٩٩٥ أن كل عدد زوجي $n \geq ٤$ هو في الواقع مجموع ستة أعداد أولية على الأكثر. وتستند النتيجة الأكثر شهرة إلى برهان هارالد هيلفجوت على حدسية غولدباخ الضعيفة ،^{[ ١٤ ]} والتي تشير مباشرةً إلى أن كل عدد زوجي $n \geq ٤$ هو مجموع أربعة أعداد أولية على الأكثر.^{[ ١٥ ]}^{[ ١٦ ]}

في عام 1924، ^أظهر هاردي وليتلوود [ ¹⁷ ] ^{بافتراض} فرضية ريمان المعممة أن عدد الأعداد الزوجية حتى $X$ التي تنتهك حدسية غولدباخ أقل بكثير من $X$ $1$ $⁄$ $2$ $+$ $c$ لـ $c$ الصغيرة . ^[¹⁸^]

في عام ١٩٤٨، وباستخدام أساليب نظرية الغربال ، أثبت ألفريد ريني أن كل عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية يمكن كتابته كمجموع عدد أولي وعدد شبه أولي ، مع وجود $K$ عامل على الأكثر. ^{[ ١٩ ]} وفي عام ١٩٧٣، أثبت تشين جينغران، باستخدام نظرية الغربال، أن كل عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية يمكن كتابته كمجموع إما عددين أوليين، أو عدد أولي وعدد شبه أولي (ناتج ضرب عددين أوليين). ^{[ ٢٠ ]} انظر نظرية تشين لمزيد من المعلومات.

في عام ١٩٧٥، أثبت هيو لويل مونتغمري وبوب فوغان أن "معظم" الأعداد الزوجية يمكن التعبير عنها كمجموع عددين أوليين. وبشكل أدق، أثبتا وجود ثابتين موجبين $c$ و $C$ بحيث يكون لكل عدد $N$ كبير بما فيه الكفاية ، كل عدد زوجي أقل من $N$ هو مجموع عددين أوليين، باستثناءات لا تتجاوز $CN 1 - c$ . وبالتحديد، فإن مجموعة الأعداد الزوجية التي لا تُمثل مجموع عددين أوليين لها كثافة صفرية.

في عام 1951، أثبت يوري لينيك وجود ثابت $K$ بحيث يكون كل عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية هو مجموع عددين أوليين، وعلى الأكثر $K$ قوى للعدد 2. وفي عام 2020، وجد يانوس بينتز وإيمري روزا أن $K = 8$ يحقق ذلك. ^{[ 21 ]} وبافتراض فرضية ريمان المعممة ، $فإن K = 7$ يحقق ذلك أيضًا، كما أوضح روجر هيث براون ويان كريستوف شلاغه-بوتشتا في عام 2002. ^{[ 22 ]}

في عام ٢٠١٣، قدّم هارالد هيلفجوت برهانًا للفرضية الضعيفة لسلسلة كتب "دراسات حوليات الرياضيات ". قُبلت المقالة، لكن هيلفجوت قرر إجراء تعديلات جوهرية بناءً على اقتراح المحكّم. ^{[ ٢٣ ]}^{[ ٢٤ ]}^{[ ٢٥ ]} تُستنتج الفرضية الضعيفة من فرضية غولدباخ، فإذا كان $n - ٣$ مجموع عددين أوليين، فإن $n$ مجموع ثلاثة أعداد أولية. لكنّ العكس، وبالتالي فرضية غولدباخ، يبقى غير مُثبت حتى لو كان برهان هيلفجوت صحيحًا.

النتائج الحسابية

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ $n$ ، يمكن التحقق من حدسية غولدباخ (وبالتالي حدسية غولدباخ الضعيفة) بشكل مباشر. على سبيل المثال، في عام 1938، قام نيلز بيبينغ بالتحقق من الحدسية بجهد كبير حتى $n = 100000.$ ^[ $26$ ^] مع ظهور الحواسيب، تم التحقق من العديد من قيمⁿ $؛$ أجرى ت .أوليفيرا إي سيلفا بحثًا حاسوبيًا موزعًا تحقق من صحة التخمين لـ $n \leq 4 \times 1018$ (وتم التحقق منها مرتين حتى4 × 10^ ¹⁷ ) اعتبارًا من عام 2013. ومن بين النتائج التي تم التوصل إليها من خلال هذا البحث أن3 325 581 707 333 960 528 هو أصغر عدد لا يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين أحدهما أصغر من 9781. ^{[ 27 ]}

بيان رسمي

لكلٍّ من هذه الفرضيات الثلاث نظير طبيعي في التعريف الحديث للعدد الأولي، والذي يُستثنى منه العدد 1. والصيغة الحديثة للفرضية الأولى هي:

كل عدد صحيح يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين يمكن كتابته أيضًا كمجموع أي عدد من الأعداد الأولية التي يرغب المرء في كتابتها، حتى تصبح جميع الحدود اثنين (إذا كان العدد الصحيح زوجيًا) أو يكون أحد الحدود ثلاثة وجميع الحدود الأخرى اثنين (إذا كان العدد الصحيح فرديًا).

النسخة الحديثة من التخمين الهامشي هي:

يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 5 على أنه مجموع ثلاثة أعداد أولية.

والنسخة الحديثة من تخمين غولدباخ القديم الذي ذكّره به أويلر هي:

يمكن كتابة كل عدد زوجي أكبر من 2 على شكل مجموع عددين أوليين.

قد لا تكون هذه الصيغ الحديثة مكافئة تمامًا للصيغ الأصلية المقابلة. على سبيل المثال، إذا وُجد عدد زوجي $N = p + 1$ أكبر من 4، حيث $p$ عدد أولي، لا يمكن التعبير عنه كمجموع عددين أوليين بالمعنى الحديث، فسيكون مثالًا مضادًا للصيغة الحديثة للفرضية الثالثة (دون أن يكون مثالًا مضادًا للصيغة الأصلية). وبالتالي، من المرجح أن تكون الصيغة الحديثة أقوى (ولكن لتأكيد ذلك، يجب إثبات أن الصيغة الأولى، عند تطبيقها بحرية على أي عدد زوجي موجب $n$ ، لا يمكنها بأي حال من الأحوال استبعاد وجود مثل هذا المثال المضاد المحدد $N$ ). على أي حال، ترتبط الصيغ الحديثة ببعضها البعض بنفس العلاقات التي كانت تربط الصيغ القديمة. أي أن الصيغتين الحديثة الثانية والثالثة متكافئتان، وأي منهما يستلزم الصيغة الحديثة الأولى.

العبارة الحديثة الثالثة (المكافئة للثانية) هي الصيغة التي يُعبّر بها عن التخمين عادةً اليوم. وتُعرف أيضًا باسم تخمين غولدباخ " القوي " أو "الزوجي" أو "الثنائي". أما الصيغة الأضعف للعبارة الحديثة الثانية، والمعروفة باسم " تخمين غولدباخ الضعيف " أو "تخمين غولدباخ الفردي" أو "تخمين غولدباخ الثلاثي"، فتؤكد أن

يمكن كتابة كل عدد فردي أكبر من 7 على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية.

التبرير الاستدلالي

تقدم الاعتبارات الإحصائية التي تركز على التوزيع الاحتمالي للأعداد الأولية أدلة غير رسمية لصالح التخمين (في كل من الشكلين الضعيف والقوي) للأعداد الصحيحة الكبيرة بما فيه الكفاية : كلما زاد العدد الصحيح، زادت الطرق المتاحة لتمثيل هذا العدد كمجموع عددين أو ثلاثة أعداد أخرى، وأصبح من "المحتمل" أن يتكون واحد على الأقل من هذه التمثيلات بالكامل من أعداد أولية.

عدد الطرق لكتابة عدد زوجي $n$ كمجموع عددين أوليين (المتتالية A002375 في OEIS )

$يُمكن تلخيص نسخة مبسطة للغاية من الحجة الاحتمالية الاستدلالية (للصيغة القوية لتخمين غولدباخ) كما يلي: تنص نظرية الأعداد الأولية على أن احتمال كون عدد صحيح m مُختار عشوائيًا عددًا أوليًا هو 1$ $/$ ln m تقريبًا . وبالتالي، إذا $كان$ n عددًا $زوجيًا كبيرًا ، وكان$ $m عددًا بين 3 و n/2، فمن المتوقع أن يكون احتمال كون m و n -$ $m$ عددين $أوليين$ في $آنٍ$ $واحد$ $هو$ $1$ / ln $m$ ln $($ $n$ $-$ $m$ $)$ $.$ $وباتباع$ $هذا$ $الاستدلال$ $،$ $يُتوقع$ $أن$ $يكون$ العدد الإجمالي لطرق كتابة عدد زوجي كبير $n$ $على$ شكل مجموع عددين أوليين فرديين هو تقريبًا

$\sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(nm)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.$

منذ $\ln n\ll {\sqrt {n}}$ ، هذه الكمية تتجه إلى اللانهاية مع زيادة $n$ ، ويتوقع المرء أن كل عدد زوجي كبير ليس له تمثيل واحد فقط كمجموع عددين أوليين، ولكن في الواقع العديد من هذه التمثيلات.

هذه الحجة الاستدلالية غير دقيقة إلى حد ما، لأنها تفترض أن حدثي كون $m$ و $n - m$ عددين أوليين مستقلان إحصائيًا . على سبيل المثال، إذا كان $m$ عددًا فرديًا، فإن $n - m$ سيكون فرديًا أيضًا، وإذا كان $m$ عددًا زوجيًا، فإن $n - m$ سيكون زوجيًا، وهي علاقة غير بديهية، لأنه باستثناء العدد 2، لا يمكن أن تكون الأعداد أولية إلا إذا كانت فردية. وبالمثل، إذا كان $n$ يقبل القسمة على 3، وكان $m$ عددًا أوليًا غير 3، فإن $n - m$ سيكون أيضًا عددًا أوليًا نسبيًا مع 3، وبالتالي سيكون احتمال كونه عددًا أوليًا أكبر قليلًا من احتمال كونه عددًا عامًا. وبمتابعة هذا النوع من التحليل بعناية أكبر، افترض جي إتش هاردي وجون إيدنسور ليتلوود في عام 1923 (كجزء من تخمين هاردي-ليتلوود حول الأعداد الأولية ) أنه لأي عدد صحيح ثابت $c \geq 2$ ، فإن عدد تمثيلات عدد صحيح كبير $n$ كمجموع $c$ أعداد أولية $n = p 1 + \dots + p c$ حيث $p 1 \leq \dots \leq p c$ يجب أن يكون مساوياً تقاربياً لـ

$\left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},$

حيث يكون حاصل الضرب على جميع الأعداد الأولية $p$ ، و $γ c ، p (n)$ هو عدد حلول المعادلة $n = q 1 + \dots + q c mod p$ في الحساب النمطي ، مع مراعاة القيود $q 1 ، ...، q c \neq 0 mod p$ . وقد ثبتت صحة هذه الصيغة تقاربياً بشكل دقيق عندما $c \geq 3$ من خلال عمل إيفان ماتفييفيتش فينوغرادوف ، ولكنها لا تزال مجرد تخمين عندما $c = 2.$ في الحالة الأخيرة، تتبسط الصيغة المذكورة أعلاه إلى 0 عندما يكون $n$ فردياً، وإلى

$2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}$

عندما يكون $n$ زوجيًا، حيث $Π 2$ هو ثابت هاردي-ليتلوود للأعداد الأولية التوأمية

$\Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots$

يُعرف هذا أحيانًا باسم حدسية غولدباخ الموسعة . في الواقع، تُشبه حدسية غولدباخ حدسية الأعداد الأولية التوأمية إلى حد كبير ، ويُعتقد أن الحدسيتين متقاربتان في الصعوبة.

دالة تقسيم غولدباخ

التربط دالة تجزئة غولدباخ بكل عدد زوجي عدد الطرق التي يمكن بها تحليله إلى مجموع عددين أوليين. يشبه رسمها البياني شكلالمذنب، ولذلك تُسمىمذنب غولدباخ.^{[ 28 ]}

يشير مذنب غولدباخ إلى حدود عليا وسفلى ضيقة لعدد تمثيلات العدد الزوجي كمجموع عددين أوليين، وكذلك أن عدد هذه التمثيلات يعتمد بشدة على قيمة باقي قسمة العدد على 3.

مشاكل ذات صلة

على الرغم من أن حدسية غولدباخ تشير إلى إمكانية كتابة كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد كمجموع ثلاثة أعداد أولية على الأكثر، إلا أنه ليس من الممكن دائمًا إيجاد مثل هذا المجموع باستخدام خوارزمية جشعة تستخدم أكبر عدد أولي ممكن في كل خطوة. يتتبع تسلسل بيلاي الأعداد التي تتطلب أكبر عدد من الأعداد الأولية في تمثيلاتها الجشعة. ^{[ 29 ]}

توجد مشاكل مشابهة لتخمين غولدباخ حيث يتم استبدال الأعداد الأولية بمجموعات أخرى محددة من الأعداد، مثل المربعات:

أثبت لاغرانج أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع أربعة مربعات . انظر مسألة وارينغ ومسألة وارينغ-غولدباخ ذات الصلة حول مجموع قوى الأعداد الأولية.
أدرج هاردي وليتلوود في حدسهم الأول ما يلي: "كل عدد فردي كبير ( $ن > 5$ ) هو مجموع عدد أولي وضعف عدد أولي". ^{[ 30 ]} يُعرف هذا الحدس بحدس ليموين ويُسمى أيضًا حدس ليفي .
تم ذكر تخمين غولدباخ للأعداد العملية ، وهي سلسلة من الأعداد الصحيحة تشبه الأعداد الأولية، بواسطة مارجنسترن في عام 1984، ^{[ 31 ]} وأثبته ميلفي في عام 1996: ^{[ 32 ]} كل عدد زوجي هو مجموع عددين عمليين.
اقترح هارفي دوبنر تعزيزًا لتخمين غولدباخ: أن كل عدد زوجي أكبر من 4208 هو مجموع عددين أوليين توأمين (ليس بالضرورة أن ينتميا إلى الزوج نفسه). ^{[ 33 ]} فقط 34 عددًا زوجيًا أصغر من 4208 ليس مجموع عددين أوليين توأمين؛ وقد تحقق دوبنر حسابيًا من أن هذه القائمة كاملة حتى $2\cdot 10^{10}.$ ^{[ 34 ]} إن إثبات هذه الفرضية الأقوى من شأنه أن يستلزم ليس فقط فرضية غولدباخ ولكن أيضًافرضية الأعداد الأولية التوأم.

تُستخدم حدسية غولدباخ لدراسة التعقيد الحسابي. ^{[ 35 ]} ويتم الربط بينهما من خلال دالة بيزي بيفر ، حيث يُمثل BB( n ) الحد الأقصى لعدد الخطوات التي تتخذها أي آلة تورينغ ذات n حالة قبل أن تتوقف. توجد آلة تورينغ ذات 27 حالة تتوقف إذا وفقط إذا كانت حدسية غولدباخ خاطئة. ^[³⁵^] وبالتالي، إذا عُرف BB(27)، ولم تتوقف آلة تورينغ عند هذا العدد من الخطوات، فسيُعرف أنها ستعمل إلى الأبد، وبالتالي لن توجد أمثلة مضادة (مما يُثبت صحة الحدسية). هذه طريقة غير عملية تمامًا لحسم الحدسية؛ بل تُستخدم للإشارة إلى أن حساب BB(27) سيكون صعبًا للغاية، على الأقل بنفس صعوبة حسم حدسية غولدباخ.

في الثقافة الشعبية

حدسية غولدباخ ( بالصينية :哥德巴赫猜想) هو عنوان السيرة الذاتية التي كتبها شو تشي عن عالم الرياضيات الصيني ومنظر الأعداد تشن جينجرون .

تُعدّ هذه الفرضية نقطة محورية في حبكة رواية أبوستولوس دوكسياديس عام 1992 بعنوان " العم بيتروس وفرضية غولدباخ" ، وفي قصة إسحاق أسيموف القصيرة " ستون مليون تريليون تركيبة "، وفي رواية ميشيل ريتشموند الغامضة عام 2008 بعنوان "لا أحد تعرفه ". ^{[ 36 ]}

يُعدّ تخمين غولدباخ جزءًا من حبكة الفيلم الإسباني " غرفة فيرما" الذي صدر عام 2007 .

تُعتبر فرضية غولدباخ الموضوع الرئيسي لبحث الشخصية التي تحمل الاسم نفسه مارغريت في الفيلم الفرنسي السويسري لعام 2023 بعنوان "نظرية مارغريت" . ^{[ 37 ]}

يُعدّ تخمين غولدباخ أداة حبكة في رواية فريدريك بول القصيرة " الذهب في نهاية قوس النجوم ". ^{[ 38 ]}

ملحوظات

↑ باللغة الألمانية : ... dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die Unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium Unitatum
↑ في النسخة المطبوعة التي نشرها P. H. Fuss^{[ 1 ]} تم طباعة 2 بشكل خاطئ على أنه 1 في التخمين الهامشي.
↑ باللغة الألمانية : Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.
↑ في الألمانية : Dass ...ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, Halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht Demonstriren kann.

مراجع

1 2 غولدباخ، كريستيان (1843). "الرسالة الثالثة والأربعون" . في الرقم الهيدروجيني، ضجة (محرر). المراسلات الرياضية والفيزيائية لمجموعة من الأشكال الهندسية للقرن الثامن عشر (رسالة إلى ليونارد أويلر ) (بالألمانية). المجلد. 1. سانت بطرسبرغ: الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم . ص 125 – 129.
↑ «الرسالة الثالثة والأربعون، غولدباخ إلى أويلر» . مراسلات ليونارد أويلر . الجمعية الرياضية الأمريكية. 7 يونيو 1742. مؤرشفة من الأصل في 20 يناير 2025. تم الاطلاع عليها في 19 يناير 2025 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "تخمين غولدباخ" . عالم الرياضيات .
↑ "الرسالة الرابعة والأربعون، من أويلر إلى غولدباخ" (ملف PDF) . مراسلات ليونارد أويلر . الجمعية الرياضية الأمريكية. 30 يونيو 1742. مؤرشفة (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 17 سبتمبر 2024. تم الاطلاع عليها بتاريخ 19 يناير 2025 .
↑ إنجام، أ. إي. "محاضرات شعبية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 16-06-2003 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-09-2009 .
↑ كالدول، كريس (2008). "تخمين غولدباخ" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18-09-2008 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-08-2008 .
↑ بينتز، يانوش. "حول تخمين ديكارت" . معهد إيلكه ريني للرياضيات التابع للأكاديمية الهنغارية للعلوم. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يونيو 2025.
↑ هوفمان، بول (1998). الرجل الذي أحب الأرقام فقط . الولايات المتحدة: هايبريون بوكس. ص 36. ISBN 978-0786863624.
^ تشوداكوف ، نيكولاي ج. (1937). حول مشكلة جولدباها[ حول مشكلة غولدباخ ] . دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR . 17 : 335 - 338.
^ فان دير كوربوت، جي جي (1938). "sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF) . وقائع Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Amsterdam (باللغة الفرنسية). 41 : 76– 80. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2013-10-20 . تم الاسترجاع 2013/07/30 .
↑ إسترمان، ت. (1938). "حول مسألة غولدباخ: برهان أن جميع الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة تقريبًا هي مجموع عددين أوليين". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 2. 44 : 307-314 . doi : 10.1112/plms/s2-44.4.307 .
↑ شنيرلمان، ل. ج. (1930). "حول الخصائص الجمعية للأعداد" . نُشر لأول مرة في وقائع معهد دون للفنون التطبيقية في نوفوتشركاسك (باللغة الروسية)، المجلد 14 (1930)، الصفحات 3-27، وأعيد طبعه في أوسبيخي ماتيماتيشيسكيخ ناوك (باللغة الروسية)، 1939، العدد 6، 9-25.
^ شنيريلمان، إل جي (1933). تم نشره لأول مرة باسم "Über additive Eigenschaften von Zahlen" أرشفة 2017-10-27 في آلة Wayback .. في Mathematische Annalen (بالألمانية)، المجلد. 107 (1933)، 649-690، وأعيد طبعه تحت عنوان "حول الخصائص المضافة للأرقام" في Uspekhi Matematicheskikh Nauk (بالروسية)، 1940، رقم. 7، 7-46.
↑ هيلفجوت، هـ. أ. (2013). "تخمين غولدباخ الثلاثي صحيح". arXiv : 1312.7748 [ math.NT ].
↑ سينيسالو، ماتي ك. (أكتوبر 1993). "التحقق من حدسية غولدباخ حتى 4 × ^10¹¹ " (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 61 (204). الجمعية الرياضية الأمريكية: 931-934 . CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . doi : 10.2307/2153264 . JSTOR 2153264. مؤرشف (PDF) من الأصل في 17 أبريل 2021. تم الاسترجاع في 28 أبريل 2021 .
↑ راسيس، م. ث. (2017). مشكلة غولدباخ: مواضيع مختارة . سبرينغر.
↑ هاردي، جي إتش؛ ليتلوود، جي إي (1924). "بعض مسائل "بارتيتيو نوميروروم" (5): مساهمة إضافية في دراسة مسألة غولدباخ" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s2-22 (1): 46-56 . doi : 10.1112/plms/s2-22.1.46 . تاريخ الاسترجاع : 19 مارس 2026 .
↑ بينتز، يانوس (2018). "صيغة صريحة جديدة في النظرية الجمعية للأعداد الأولية مع تطبيقات I. الصيغة الصريحة لمسائل غولدباخ ومسائل التوأم الأولي المعممة". arXiv : 1804.05561 [ math.NT ].
^ ريني، أأ (1948). “حول تمثيل عدد زوجي كمجموع عدد أولي وعدد أولي تقريبًا”. إزفستيا أكاديمي ناوك SSSR. سيريا ماتماتشيسكايا (بالروسية). 12 : 57 - 78.
↑ تشين، جيه آر (1973). "حول تمثيل عدد زوجي أكبر كمجموع عدد أولي وحاصل ضرب عددين أوليين على الأكثر". ساينتيا سينيكا . 16 : 157-176 .
^ بينتز، ج . روزا ، إز (2020-08-01). "حول تقريب لينيك لمشكلة غولدباخ. II" . اكتا ماثيماتيكا المجرية . 161 (2): 569-582 . دوى : 10.1007 / s10474-020-01077-8 . ردمك 1588-2632 . S2CID 54613256 .
↑ هيث-براون، د. ر.؛ بوتشتا، ج. س. (2002). "الأعداد الصحيحة المُمثلة كمجموع أعداد أولية وقوى العدد اثنين". المجلة الآسيوية للرياضيات . 6 (3): 535-565 . arXiv : math.NT/0201299 . Bibcode : 2002math......1299H . doi : 10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7 . S2CID 2843509 .
↑ هيلفجوت، هـ. أ. (2013). "الأقواس الرئيسية لنظرية جولدباخ". arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].
↑ هيلفجوت، هـ. أ. (2012). "الأقواس الصغرى لمسألة جولدباخ". arXiv : 1205.5252 [ math.NT ].
^ "هارالد أندريس هيلفجوت" . معهد الرياضيات في جوسيو-باريس ريف غوش. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2021-04-14 . تم الاسترجاع بتاريخ 2021-04-06 .
^ بايبينج، نيلز (1890-1982). "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". اكتا أكاديميا أبوينسيس، الرياضيات والفيزياء 11، 4-25، 1938.
↑ أوليفيرا إي سيلفا، توماس؛ هيرتسوغ، سيغفريد؛ باردي، سيلفيو (يوليو 2014). "التحقق التجريبي من حدسية غولدباخ الزوجية وحساب حتى 4 × 10^ ¹⁸ " (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 83 (288). الجمعية الرياضية الأمريكية : 2033-2068 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 15 يونيو 2025. تم الاسترجاع في 16 يوليو 2025 .
↑ فليجل، هنري ف.؛ روبرتسون، دوغلاس س. (1989). "مذنب غولدباخ: الأعداد المتعلقة بتخمين غولدباخ". مجلة الرياضيات الترفيهية . 21 (1): 1-7 .
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A066352 (متتالية بيلاي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ مجلة الرياضيات ، 66:1 (1993): 45-47.
^ مارجنسترن، م. (1984). “النتائج والتخمينات حول الأعداد العملية”. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895 – 898.
↑ ميلفي، ج. (1996). "حول تخمينين حول الأعداد العملية" . مجلة نظرية الأعداد . 56 : 205-210 . doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
↑ "تخمينات الأعداد الأولية المزدوجة" (ملف PDF) . oeis.org . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2021-08-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-08-06 .
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A007534 (الأعداد الزوجية التي ليست مجموع عددين أوليين توأمين)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
1 2 "كيف تُسلط أبطأ برامج الحاسوب الضوء على الحدود الأساسية للرياضيات" . 10 ديسمبر 2020. مؤرشف من الأصل في 24 يوليو 2024. تم الاطلاع عليه في 24 يوليو 2024 .
↑ كاسمان، أليكس. "الخيال الرياضي: لا أحد تعرفه (ميشيل ريتشموند)" . الخيال الرياضي (مراجعة كتاب). كلية تشارلستون. مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2019. تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2019 .
^ مورين، أوديل. أرشفة 2023-11-06 في آلة Wayback .. Le Théorème de Marguerite . فرانس إنفو: الثقافة
↑ فريدريك بول ، " الذهب في نهاية قوس النجوم "، الخيال العلمي التناظري/حقائق العلوم ، المجلد 89، العدد 1 (مارس 1972)، تحرير بن بوفا (نيويورك: كوندي ناست ).

للمزيد من القراءة

ديشوييه، جيه-إم؛ إيفينجر، جي؛ تي ريل، إتش؛ زينوفييف، دي. (1997). "نظرية فينوغرادوف الكاملة للأعداد الأولية الثلاثية في ظل فرضية ريمان" (ملف PDF) . الإعلانات البحثية الإلكترونية للجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (15): 99-104 . doi : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 25 يوليو 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 أبريل 2021 .
مونتغمري، إتش إل؛ فوغان، آر سي (1975). "المجموعة الاستثنائية في مسألة غولدباخ" (ملف PDF) . مجلة Acta Arithmetica . 27 : 353-370 . doi : 10.4064/aa-27-1-353-370 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 17 سبتمبر 2024. تاريخ الاسترجاع: 5 سبتمبر 2018 .
أثبت تيرينس تاو أن جميع الأعداد الفردية هي على الأكثر مجموع خمسة أعداد أولية. تم أرشفة هذا النص في 14 فبراير 2013 في Wayback Machine .
تمت أرشفة فرضية غولدباخ في 28 يوليو 2019 في موقع Wayback Machine على موقع MathWorld .

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بتخمين غولدباخ على ويكيميديا كومنز
"مسألة غولدباخ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
رسالة غولدباخ الأصلية إلى أويلر - بصيغة PDF (باللغتين الألمانية واللاتينية) مؤرشفة بتاريخ 16 سبتمبر 2009 على موقع Wayback Machine
تخمين غولدباخ مؤرشف في 18-09-2008 في Wayback Machine ، وهو جزء من صفحات كريس كالدويل.
التحقق من تخمين غولدباخ ، البحث الموزع عبر الكمبيوتر لتوماس أوليفيرا إي سيلفا.

[3] باللغة الألمانية : ... dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die Unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium Unitatum

[5] في النسخة المطبوعة التي نشرها P. H. Fuss^{[ 1 ]} تم طباعة 2 بشكل خاطئ على أنه 1 في التخمين الهامشي.

[6] باللغة الألمانية : Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

[10] في الألمانية : Dass ...ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, Halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht Demonstriren kann.

[Fuss-1] 1 2 غولدباخ، كريستيان (1843). "الرسالة الثالثة والأربعون" . في الرقم الهيدروجيني، ضجة (محرر). المراسلات الرياضية والفيزيائية لمجموعة من الأشكال الهندسية للقرن الثامن عشر (رسالة إلى ليونارد أويلر ) (بالألمانية). المجلد. 1. سانت بطرسبرغ: الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم . ص 125 – 129.

[2] «الرسالة الثالثة والأربعون، غولدباخ إلى أويلر» . مراسلات ليونارد أويلر . الجمعية الرياضية الأمريكية. 7 يونيو 1742. مؤرشفة من الأصل في 20 يناير 2025. تم الاطلاع عليها في 19 يناير 2025 .

[MathWorldConj-4] وايسشتاين، إريك دبليو. "تخمين غولدباخ" . عالم الرياضيات .

[7] "الرسالة الرابعة والأربعون، من أويلر إلى غولدباخ" (ملف PDF) . مراسلات ليونارد أويلر . الجمعية الرياضية الأمريكية. 30 يونيو 1742. مؤرشفة (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 17 سبتمبر 2024. تم الاطلاع عليها بتاريخ 19 يناير 2025 .

[theorema-8] إنجام، أ. إي. "محاضرات شعبية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 16-06-2003 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-09-2009 .

[PrimeGlossary-9] كالدول، كريس (2008). "تخمين غولدباخ" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 18-09-2008 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-08-2008 .

[11] بينتز، يانوش. "حول تخمين ديكارت" . معهد إيلكه ريني للرياضيات التابع للأكاديمية الهنغارية للعلوم. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 يونيو 2025.

[12] هوفمان، بول (1998). الرجل الذي أحب الأرقام فقط . الولايات المتحدة: هايبريون بوكس. ص 36. ISBN 978-0786863624.

[13] تشوداكوف ، نيكولاي ج. (1937). حول مشكلة جولدباها[ حول مشكلة غولدباخ ] . دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR . 17 : 335 - 338.

[14] فان دير كوربوت، جي جي (1938). "sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF) . وقائع Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Amsterdam (باللغة الفرنسية). 41 : 76– 80. أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2013-10-20 . تم الاسترجاع 2013/07/30 .

[15] إسترمان، ت. (1938). "حول مسألة غولدباخ: برهان أن جميع الأعداد الصحيحة الزوجية الموجبة تقريبًا هي مجموع عددين أوليين". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 2. 44 : 307-314 . doi : 10.1112/plms/s2-44.4.307 .

[16] شنيرلمان، ل. ج. (1930). "حول الخصائص الجمعية للأعداد" . نُشر لأول مرة في وقائع معهد دون للفنون التطبيقية في نوفوتشركاسك (باللغة الروسية)، المجلد 14 (1930)، الصفحات 3-27، وأعيد طبعه في أوسبيخي ماتيماتيشيسكيخ ناوك (باللغة الروسية)، 1939، العدد 6، 9-25.

[17] شنيريلمان، إل جي (1933). تم نشره لأول مرة باسم "Über additive Eigenschaften von Zahlen" أرشفة 2017-10-27 في آلة Wayback .. في Mathematische Annalen (بالألمانية)، المجلد. 107 (1933)، 649-690، وأعيد طبعه تحت عنوان "حول الخصائص المضافة للأرقام" في Uspekhi Matematicheskikh Nauk (بالروسية)، 1940، رقم. 7، 7-46.

[18] هيلفجوت، هـ. أ. (2013). "تخمين غولدباخ الثلاثي صحيح". arXiv : 1312.7748 [ math.NT ].

[19] سينيسالو، ماتي ك. (أكتوبر 1993). "التحقق من حدسية غولدباخ حتى 4 × ^10¹¹ " (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 61 (204). الجمعية الرياضية الأمريكية: 931-934 . CiteSeerX 10.1.1.364.3111 . doi : 10.2307/2153264 . JSTOR 2153264. مؤرشف (PDF) من الأصل في 17 أبريل 2021. تم الاسترجاع في 28 أبريل 2021 .

[20] راسيس، م. ث. (2017). مشكلة غولدباخ: مواضيع مختارة . سبرينغر.

[Partitio_Numerorum(V)-21] هاردي، جي إتش؛ ليتلوود، جي إي (1924). "بعض مسائل "بارتيتيو نوميروروم" (5): مساهمة إضافية في دراسة مسألة غولدباخ" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s2-22 (1): 46-56 . doi : 10.1112/plms/s2-22.1.46 . تاريخ الاسترجاع : 19 مارس 2026 .

[22] بينتز، يانوس (2018). "صيغة صريحة جديدة في النظرية الجمعية للأعداد الأولية مع تطبيقات I. الصيغة الصريحة لمسائل غولدباخ ومسائل التوأم الأولي المعممة". arXiv : 1804.05561 [ math.NT ].

[Alfréd_Rényi_1948-23] ريني، أأ (1948). “حول تمثيل عدد زوجي كمجموع عدد أولي وعدد أولي تقريبًا”. إزفستيا أكاديمي ناوك SSSR. سيريا ماتماتشيسكايا (بالروسية). 12 : 57 - 78.

[24] تشين، جيه آر (1973). "حول تمثيل عدد زوجي أكبر كمجموع عدد أولي وحاصل ضرب عددين أوليين على الأكثر". ساينتيا سينيكا . 16 : 157-176 .

[25] بينتز، ج . روزا ، إز (2020-08-01). "حول تقريب لينيك لمشكلة غولدباخ. II" . اكتا ماثيماتيكا المجرية . 161 (2): 569-582 . دوى : 10.1007 / s10474-020-01077-8 . ردمك 1588-2632 . S2CID 54613256 .

[26] هيث-براون، د. ر.؛ بوتشتا، ج. س. (2002). "الأعداد الصحيحة المُمثلة كمجموع أعداد أولية وقوى العدد اثنين". المجلة الآسيوية للرياضيات . 6 (3): 535-565 . arXiv : math.NT/0201299 . Bibcode : 2002math......1299H . doi : 10.4310/AJM.2002.v6.n3.a7 . S2CID 2843509 .

[Helfgott_2013-27] هيلفجوت، هـ. أ. (2013). "الأقواس الرئيسية لنظرية جولدباخ". arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].

[Helfgott_2012-28] هيلفجوت، هـ. أ. (2012). "الأقواس الصغرى لمسألة جولدباخ". arXiv : 1205.5252 [ math.NT ].

[29] "هارالد أندريس هيلفجوت" . معهد الرياضيات في جوسيو-باريس ريف غوش. مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2021-04-14 . تم الاسترجاع بتاريخ 2021-04-06 .

[30] بايبينج، نيلز (1890-1982). "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". اكتا أكاديميا أبوينسيس، الرياضيات والفيزياء 11، 4-25، 1938.

[31] أوليفيرا إي سيلفا، توماس؛ هيرتسوغ، سيغفريد؛ باردي، سيلفيو (يوليو 2014). "التحقق التجريبي من حدسية غولدباخ الزوجية وحساب حتى 4 × 10^ ¹⁸ " (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 83 (288). الجمعية الرياضية الأمريكية : 2033-2068 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 15 يونيو 2025. تم الاسترجاع في 16 يوليو 2025 .

[32] فليجل، هنري ف.؛ روبرتسون، دوغلاس س. (1989). "مذنب غولدباخ: الأعداد المتعلقة بتخمين غولدباخ". مجلة الرياضيات الترفيهية . 21 (1): 1-7 .

[33] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A066352 (متتالية بيلاي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[34] مجلة الرياضيات ، 66:1 (1993): 45-47.

[35] مارجنسترن، م. (1984). “النتائج والتخمينات حول الأعداد العملية”. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 299 : 895 – 898.

[36] ميلفي، ج. (1996). "حول تخمينين حول الأعداد العملية" . مجلة نظرية الأعداد . 56 : 205-210 . doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .

[37] "تخمينات الأعداد الأولية المزدوجة" (ملف PDF) . oeis.org . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2021-08-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-08-06 .

[38] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A007534 (الأعداد الزوجية التي ليست مجموع عددين أوليين توأمين)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[quanta-39] 1 2 "كيف تُسلط أبطأ برامج الحاسوب الضوء على الحدود الأساسية للرياضيات" . 10 ديسمبر 2020. مؤرشف من الأصل في 24 يوليو 2024. تم الاطلاع عليه في 24 يوليو 2024 .

[40] كاسمان، أليكس. "الخيال الرياضي: لا أحد تعرفه (ميشيل ريتشموند)" . الخيال الرياضي (مراجعة كتاب). كلية تشارلستون. مؤرشف من الأصل في 15 نوفمبر 2019. تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2019 .

[41] مورين، أوديل. أرشفة 2023-11-06 في آلة Wayback .. Le Théorème de Marguerite . فرانس إنفو: الثقافة

[42] فريدريك بول ، " الذهب في نهاية قوس النجوم "، الخيال العلمي التناظري/حقائق العلوم ، المجلد 89، العدد 1 (مارس 1972)، تحرير بن بوفا (نيويورك: كوندي ناست ).

[ 2 ]

[ أ ]

[ 3 ]

[ ب ]

[ ج ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ د ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ ١٤ ]

[ ١٥ ]

[ ١٦ ]

أظهر

17

[ ١٩ ]

[ ٢٠ ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ ٢٣ ]

[ ٢٤ ]

[ ٢٥ ]

[

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗