معضلة أوريسون

في علم الطوبولوجيا ، تنص ليمّة أوريسون على أن الفضاء الطوبولوجي يكون طبيعياً إذا وفقط إذا كان من الممكن فصل أي مجموعتين فرعيتين مغلقتين منفصلتين بواسطة دالة متصلة . ^{[ 1 ]}

تُستخدم مبرهنة أوريسون عادةً لإنشاء دوال متصلة ذات خصائص متنوعة على الفضاءات العادية. وهي قابلة للتطبيق على نطاق واسع لأن جميع الفضاءات المترية وجميع فضاءات هاوسدورف المدمجة هي فضاءات عادية. وقد عُممت هذه المبرهنة بواسطة مبرهنة تيتز للتمديد (وتُستخدم عادةً في برهانها) .

سميت هذه اللمة على اسم عالم الرياضيات بافيل سامويلوفيتش أوريسون .

مجموعتان فرعيتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إنها مفصولة بأحياء إذا كانت هناك أحياء${\displaystyle U}$ل${\displaystyle A}$و${\displaystyle V}$ل${\displaystyle B}$التي تكون منفصلة. على وجه الخصوص${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي بالضرورة منفصلة.

مجموعتان فرعيتان بسيطتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يقال إنهما منفصلان بواسطة دالة متصلة إذا وُجدت دالة متصلة${\displaystyle f:X\to [0,1]}$من${\displaystyle X}$في الفترة الزمنية للوحدة${\displaystyle [0,1]}$بحيث${\displaystyle f(a)=0}$للجميع${\displaystyle a\in A}$و${\displaystyle f(b)=1}$للجميع${\displaystyle b\in B.}$تُسمى أي دالة من هذا القبيل دالة أوريسون لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle B.}$

ويترتب على ذلك أنه إذا كانت مجموعتان جزئيتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت مجموعتان جزئيتان مفصولتين بدالة، فإن إغلاقاتهما تكون مفصولة أيضاً. ويترتب على ذلك أيضاً أنه إذا كانت مجموعتان جزئيتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم فصلها بواسطة دالة ثم${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تفصل بينها الأحياء.

الفضاء الطبيعي هو فضاء طوبولوجي يمكن فيه فصل أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين بواسطة جوارات. تنصّ مبرهنة أوريسون على أن الفضاء الطوبولوجي طبيعي إذا وفقط إذا أمكن فصل أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين بواسطة دالة متصلة.

المجموعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ليس من الضروري فصلها بدقة بواسطة${\displaystyle f}$أي أنه ليس من الضروري والمضمون أن${\displaystyle f(x)\neq 0}$و${\displaystyle \neq 1}$ل${\displaystyle x}$الخارج${\displaystyle A}$و${\displaystyle B.}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$حيث كل مجموعتين فرعيتين مغلقتين منفصلتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم فصلها بدقة بواسطة دالة متصلة، وهذا طبيعي تمامًا .

أدت مبرهنة أوريسون إلى صياغة خصائص طوبولوجية أخرى مثل "خاصية تيكونوف" و"الفضاءات الهاوسدورفية الكاملة". على سبيل المثال، من نتائج هذه المبرهنة أن الفضاءات T1 _{العادية} هي فضاءات تيكونوف .

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة طبيعية إذا وفقط إذا كان، لأي مجموعتين جزئيتين منفصلتين مغلقتين غير فارغتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X,}$توجد خريطة متصلة${\displaystyle f:X\to [0,1]}$بحيث${\displaystyle f(A)=\{0\}}$و${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

يتم البرهان من خلال تطبيق التوصيف البديل التالي للوضع الطبيعي بشكل متكرر. إذا${\displaystyle X}$هو فضاء عادي،${\displaystyle Z}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$، و${\displaystyle Y\subseteq Z}$إذا كان مغلقًا، فإنه يوجد مفتوح${\displaystyle U}$ومغلق${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$.

يترك${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لتكن مجموعات فرعية مغلقة منفصلة من${\displaystyle X}$تتمثل الفكرة الرئيسية للبرهان في تطبيق هذا التوصيف للوضع الطبيعي بشكل متكرر على${\displaystyle A}$و${\displaystyle B^{\complement }}$، والاستمرار في بناء المجموعات الجديدة في كل خطوة.

يتم فهرسة المجموعات التي نبنيها بواسطة الكسور الثنائية . لكل كسر ثنائي${\displaystyle r\in (0,1)}$، نقوم بإنشاء مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U(r)}$ومجموعة فرعية مغلقة${\displaystyle V(r)}$ل${\displaystyle X}$بحيث:

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$و${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$للجميع${\displaystyle r}$،
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$للجميع${\displaystyle r}$،
• ل${\displaystyle r<s}$،${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$.

بشكل بديهي، المجموعات${\displaystyle U(r)}$و${\displaystyle V(r)}$تتوسع للخارج على شكل طبقات من${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

يتم هذا البناء عن طريق الاستقراء الرياضي . بالنسبة للخطوة الأساسية، نُعرّف مجموعتين إضافيتين.${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$و${\displaystyle V(0)=A}$.

والآن افترض أن${\displaystyle n\geq 0}$وأن المجموعات${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$و${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$تم بالفعل بناؤها لـ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$لاحظ أن هذا يتحقق بشكل بديهي بالنسبة لـ${\displaystyle n=0}$. منذ${\displaystyle X}$هذا أمر طبيعي، بالنسبة لأي${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$يمكننا إيجاد مجموعة مفتوحة ومجموعة مغلقة بحيث

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

ثم يتم التحقق من الشروط الثلاثة المذكورة أعلاه.

بمجرد حصولنا على هذه المجموعات، نقوم بتعريفها.${\displaystyle f(x)=1}$لو${\displaystyle x\not \in U(r)}$لأي${\displaystyle r}$؛ خلاف ذلك${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$لكل${\displaystyle x\in X}$، أين${\displaystyle \inf }$يرمز إلى الحد الأدنى . وباستخدام حقيقة أن الأعداد النسبية الثنائية كثيفة ، فليس من الصعب إثبات ذلك.${\displaystyle f}$متصلة ولها الخاصية${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$و${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$تتطلب هذه الخطوة${\displaystyle V(r)}$يتم ضبطها لكي تعمل.

قام مشروع Mizar بصياغة وتأكيد برهان ليمّا أوريسون بشكل كامل وتلقائي في ملف URYSOHN3 .

• مُلَطِّف

• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 . 
• ويلارد، ستيفن (1970). الطوبولوجيا العامة . منشورات دوفر. ISBN 0-486-43479-6.

• "مبدأ أوريسون" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• إثبات نظام الميزار : https://www.mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20