Metrizable space

In topology and related areas of mathematics, a metrizable space is a topological space that is homeomorphic to a metric space. That is, a topological space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is said to be metrizable if there is a metric${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$ such that the topology induced by ${\displaystyle d}$ is ${\displaystyle \tau .}$^[1][2]Metrization theorems are theorems that give sufficient conditions for a topological space to be metrizable.

Metrizable spaces inherit all topological properties from metric spaces. For example, they are Hausdorffparacompact spaces (and hence normal and Tychonoff) and first-countable. However, some properties of the metric, such as completeness, cannot be said to be inherited. This is also true of other structures linked to the metric. A metrizable uniform space, for example, may have a different set of contraction maps than a metric space to which it is homeomorphic.

One of the first widely recognized metrization theorems was Urysohn's metrization theorem. This states that every Hausdorff second-countableregular space is metrizable. So, for example, every second-countable manifold is metrizable. (Historical note: The form of the theorem shown here was in fact proved by Tikhonov in 1926. What Urysohn had shown, in a paper published posthumously in 1925, was that every second-countable normal Hausdorff space is metrizable.) The converse does not hold: there exist metric spaces that are not second countable, for example, an uncountable set endowed with the discrete metric.^[3] The Nagata–Smirnov metrization theorem, described below, provides a more specific theorem where the converse does hold.

Several other metrization theorems follow as simple corollaries to Urysohn's theorem. For example, a compact Hausdorff space is metrizable if and only if it is second-countable.

يمكن إعادة صياغة نظرية أوريسون على النحو التالي: يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للفصل وقابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان منتظمًا، وهاوسدورف، وقابلاً للعد من الدرجة الثانية. وتوسع نظرية القياس لناجاتا-سميرنوف هذه النظرية لتشمل حالة الفضاء غير القابل للفصل. وتنص على أن الفضاء الطوبولوجي يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان منتظمًا، وهاوسدورف، وله قاعدة منتهية محليًا من الدرجة σ. والقاعدة منتهية محليًا من الدرجة σ هي قاعدة تتكون من اتحاد عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة المنتهية محليًا . وللاطلاع على نظرية ذات صلة وثيقة، انظر نظرية القياس لبينغ .

يمكن أيضًا وصف الفضاءات القابلة للفصل والقياس بأنها تلك الفضاءات المتماثلة شكليًا مع فضاء جزئي من مكعب هيلبرت.${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$أي أن حاصل الضرب اللانهائي القابل للعد للفترة الوحدوية (مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي الطبيعية من الأعداد الحقيقية) مع نفسه، مزودًا بطوبولوجيا الضرب .

يُقال إن الفضاء قابل للقياس محليًا إذا كانت كل نقطة فيه تمتلك جوارًا قابلًا للقياس . وقد أثبت سميرنوف أن الفضاء القابل للقياس محليًا يكون قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان فضاء هاوسدورف ومتراصًا جزئيًا . وعلى وجه الخصوص، يكون الفضاء متعدد الشعب قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان متراصًا جزئيًا.

مجموعة المؤثرات الوحدوية${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$في مساحة هيلبرت قابلة للفصل${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إن endufed with the strong operator topology is metrizable (see Proposition II.1 in ^{[ 4 ]} ).

لا يمكن قياس الفضاءات غير العادية؛ ومن الأمثلة المهمة على ذلك:

• طوبولوجيا زاريسكي على صنف جبري أو على طيف حلقة ، المستخدمة في الهندسة الجبرية .
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي لجميع الدوال من الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى نفسها، مع طوبولوجيا التقارب النقطي .

الخط الحقيقي ذو التوبولوجيا الحدية الدنيا غير قابل للقياس. دالة المسافة المعتادة ليست مقياسًا على هذا الفضاء لأن التوبولوجيا التي تحددها هي التوبولوجيا المعتادة، وليست التوبولوجيا الحدية الدنيا. هذا الفضاء هاوسدورف، شبه متراص، وقابل للعد من الدرجة الأولى.

• أبولونيان متري – عالم رياضيات وشاعر روماني (1895 - 1961) 
• نظرية بينغ للقياس - تحدد متى يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للقياس 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي القابل للقياس - الفضاء المتجهي الطوبولوجي الذي يمكن تعريف طوبولوجيته بواسطة مقياس 
• فضاء مور (الطوبولوجيا)
• نظرية ناغاتا-سميرنوف للقياس - تحدد متى يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للقياس 
• قابلية التوحيد - فضاء طوبولوجي يتم توليد طوبولوجيته بواسطة بنية موحدة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه ، خاصية الفضاء الطوبولوجي المتمثلة في كونه متماثلًا مع فضاء موحد ، أو بشكل مكافئ، يتم تعريف الطوبولوجيا بواسطة عائلة من المقاييس الزائفة. 

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Metrizable على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .